Ottimizzazione Libera
Salve a tutti, sto svolgendo questo esercizio:
Data $ f(x,y) = 2x^2-4xy+2y^2-4x^4+y^4+3>=0 $
a) Trovare i punti critici della funzione e specificarne la natura (max,min, o sella ).
b) Dire se la funzione è inferiormente /superiormente limitata .
Per punto a mostro i passaggi che ho eseguito:
Dal gradiente posto a 0 ottengo che i punti sono $ (0,0) (1/sqrt(2),-1/sqrt(2)) (-1/sqrt(2),1/sqrt(2)) $ Studiando gli ultimi 2 con l'hessiana ottengo che sono punti di Max Locale, mentre per il punto (0,0) ho provato ad utilizzare il metodo delle restrizioni perche il metodo del segno mi è sembrato un po laborioso non riuscendo a fattorizzare la funzione e studiarne quindi piu facilmente il segno:
La soluzione consiglia di restringere sulla retta y=x e x=0 e fare le dovute conclusioni) ma ho un dubbio:
Restringendo a (x=0) ottengo $ f(0,y) = 2y^2-4y^4-12 $ . Da cui studiando la derivata mi risulta che nel punto in questione cioè in y=0 c'è un punto di minimo
Mentre se restringo a ( x=y ) ottengo $ f(x,x)= -8x^4-12$ . Da cui studiando la derivata mi risulta che nel punto in questione cioè in x=0 c'è un punto di max.
Dato che nell'intorno di 0 ho trovato 2 restrizioni la cui natura dei punti e diversa posso concludere che sarà un punto di sella . Corretto?
Se si avrei alcuni dubbi:
1) In questo caso il punto da analizzare era (0,0) quindi io sono andato a restringere per curve banali passanti per l'origine e vedere il comportamento della funzione sostituendo nell'unica variabile che avevo (cioè y=0 nel 1 caso e x=0 nel secondo caso). Ma se avessi avuto ad esempio Hessiano nullo in un punto (4,5) per esempio, dovrei fare restrizioni su curve passanti per il punto (4,5) ma come faccio a individuarle facilmente? E una volta ottenuta la funzione in 1 variabile (dopo la restrizione) - esempio ottengo una funzione tutta nella variabile y- , io andrò a sostituire soltanto la y=5 (della x=4 non dovrei farci nulla)? Se riusciste a farmelo vedere anche con un esempio pratico ve ne sarei grato
2) Il mio professore dopo aver ristretto, non va a studiarsi il comportamento della derivata bensi valuta il segno della funzione $f(x,y)- f(x0,y0)$ dove $x0,y0$ è il punto ad Hessiano nullo. Da ciò che ho capito lo deduce dalle definizioni di massimo e minimo, cioè se in quel punto c'è un minimo, dovrò necessariamente avere che la funzione ha segno sempre maggiore di 0, perchè per qualsiasi coppia di $(x,y) $-> $ f(x,y)$ risulterà maggiore di $ f(x0,y0) $ e quindi la funzione differenza darà segno positivo. Ma se ho un punto di sella nell'intorno del punto non riesco ad avere segno costante perchè per qualsiasi x,y presi , non essendo massimo o minimo f(x,y) potrebbe essere > f(x0,y0) come anche minore, e di conseguenza la funzione differenza non avendo segno costante non potrà essere un max o min, unito poi al fatto che è un punto comunque stazionario per via del gradiente nullo, posso concludere che è sicuramente un punto di sella . Ho ragionato correttamente?
Tornando all'esercizio però utilizzando questo metodo, non riesco a concludere nulla perchè con la 1 restrizione
la funzione $f(0,y)$ è sempre negativa, come anche nella 2 restrizione $f(x,x) $ sempre negativa. Quindi sono costretto a fare le derivate, o trovare altre direzioni?
Per il punto b
Non saprei come procedere, so che per dimostrare che è illimitata basta trovare una direzione su cui restringere la f, il cui limite all'infinito dia infinito. Ma per dimostrare la limitatezza e il valore a cui è limitata, senza ragionare con i p.ti di max e min?
La soluzione dice che si deduce portando f in coordinate polari, e io ho pensato di portarmi la funzione in coordinate polari e poi maggiorarla con una funzione costante (per la limitatezza superiore) e per la limitatezza inferiore non saprei... Ma comunque resta il fatto che, portata in coordinate polari non riesco a ricondurla ad una funzione costante .
Data $ f(x,y) = 2x^2-4xy+2y^2-4x^4+y^4+3>=0 $
a) Trovare i punti critici della funzione e specificarne la natura (max,min, o sella ).
b) Dire se la funzione è inferiormente /superiormente limitata .
Per punto a mostro i passaggi che ho eseguito:
Dal gradiente posto a 0 ottengo che i punti sono $ (0,0) (1/sqrt(2),-1/sqrt(2)) (-1/sqrt(2),1/sqrt(2)) $ Studiando gli ultimi 2 con l'hessiana ottengo che sono punti di Max Locale, mentre per il punto (0,0) ho provato ad utilizzare il metodo delle restrizioni perche il metodo del segno mi è sembrato un po laborioso non riuscendo a fattorizzare la funzione e studiarne quindi piu facilmente il segno:
La soluzione consiglia di restringere sulla retta y=x e x=0 e fare le dovute conclusioni) ma ho un dubbio:
Restringendo a (x=0) ottengo $ f(0,y) = 2y^2-4y^4-12 $ . Da cui studiando la derivata mi risulta che nel punto in questione cioè in y=0 c'è un punto di minimo
Mentre se restringo a ( x=y ) ottengo $ f(x,x)= -8x^4-12$ . Da cui studiando la derivata mi risulta che nel punto in questione cioè in x=0 c'è un punto di max.
Dato che nell'intorno di 0 ho trovato 2 restrizioni la cui natura dei punti e diversa posso concludere che sarà un punto di sella . Corretto?
Se si avrei alcuni dubbi:
1) In questo caso il punto da analizzare era (0,0) quindi io sono andato a restringere per curve banali passanti per l'origine e vedere il comportamento della funzione sostituendo nell'unica variabile che avevo (cioè y=0 nel 1 caso e x=0 nel secondo caso). Ma se avessi avuto ad esempio Hessiano nullo in un punto (4,5) per esempio, dovrei fare restrizioni su curve passanti per il punto (4,5) ma come faccio a individuarle facilmente? E una volta ottenuta la funzione in 1 variabile (dopo la restrizione) - esempio ottengo una funzione tutta nella variabile y- , io andrò a sostituire soltanto la y=5 (della x=4 non dovrei farci nulla)? Se riusciste a farmelo vedere anche con un esempio pratico ve ne sarei grato
2) Il mio professore dopo aver ristretto, non va a studiarsi il comportamento della derivata bensi valuta il segno della funzione $f(x,y)- f(x0,y0)$ dove $x0,y0$ è il punto ad Hessiano nullo. Da ciò che ho capito lo deduce dalle definizioni di massimo e minimo, cioè se in quel punto c'è un minimo, dovrò necessariamente avere che la funzione ha segno sempre maggiore di 0, perchè per qualsiasi coppia di $(x,y) $-> $ f(x,y)$ risulterà maggiore di $ f(x0,y0) $ e quindi la funzione differenza darà segno positivo. Ma se ho un punto di sella nell'intorno del punto non riesco ad avere segno costante perchè per qualsiasi x,y presi , non essendo massimo o minimo f(x,y) potrebbe essere > f(x0,y0) come anche minore, e di conseguenza la funzione differenza non avendo segno costante non potrà essere un max o min, unito poi al fatto che è un punto comunque stazionario per via del gradiente nullo, posso concludere che è sicuramente un punto di sella . Ho ragionato correttamente?
Tornando all'esercizio però utilizzando questo metodo, non riesco a concludere nulla perchè con la 1 restrizione
la funzione $f(0,y)$ è sempre negativa, come anche nella 2 restrizione $f(x,x) $ sempre negativa. Quindi sono costretto a fare le derivate, o trovare altre direzioni?
Per il punto b
Non saprei come procedere, so che per dimostrare che è illimitata basta trovare una direzione su cui restringere la f, il cui limite all'infinito dia infinito. Ma per dimostrare la limitatezza e il valore a cui è limitata, senza ragionare con i p.ti di max e min?
La soluzione dice che si deduce portando f in coordinate polari, e io ho pensato di portarmi la funzione in coordinate polari e poi maggiorarla con una funzione costante (per la limitatezza superiore) e per la limitatezza inferiore non saprei... Ma comunque resta il fatto che, portata in coordinate polari non riesco a ricondurla ad una funzione costante .
Risposte
"nico_engineering_dd":
Per il punto b
Non saprei come procedere, so che per dimostrare che è illimitata basta trovare una direzione su cui restringere la f, il cui limite all'infinito dia infinito. Ma per dimostrare la limitatezza e il valore a cui è limitata, senza ragionare con i p.ti di max e min?
La soluzione dice che si deduce portando f in coordinate polari, e io ho pensato di portarmi la funzione in coordinate polari e poi maggiorarla con una funzione costante (per la limitatezza superiore) e per la limitatezza inferiore non saprei... Ma comunque resta il fatto che, portata in coordinate polari non riesco a ricondurla ad una funzione costante .
Non mi sembra molto limitata... Prendi \( f(0,y) = y^4 + 2 y^2 +3 \to \infty \) per \( y \to \pm \infty \). Similmente per \( f(x,0) = -4x^4 + 2x^2 + 3 \).
Probabilmente ci sarà un errore nella soluzione allora, perchè dice che è superiormente limitata ma effettivamente ciò che hai detto tu è vero. Per gli altri dubbi cosa sapresti dirmi invece?
Ciao nico_engineering_dd,
Se la funzione è quella che hai scritto, $f: \RR^2 \rightarrow \RR $ e si vede facilmente che è pari, infatti $f(- x, - y) = f(x, y) $
Quindi la risposta alla domanda b) per me è semplicemente "La funzione non è né inferiormente né superiormente limitata".
D'altronde la funzione proposta si può anche scrivere nel modo seguente:
$f(x,y)=2x^2−4xy+2y^2−4x^4+y^4+3 = 2(x - y)^2 - (4x^4 - y^4) + 3 = $
$ = 2(x - y)^2 - (2x^2 - y^2)(2x^2 + y^2) + 3 = 2(x - y)^2 - (\sqrt2 x - y)(\sqrt2 x + y)(2x^2 + y^2) + 3$
Scritta in quest'ultima forma si vede subito che non è neanche vero che è sempre positiva o al più nulla, perché il primo e l'ultimo termine sono sempre positivi (nullo il primo se e solo se $y = x$), ma il secondo termine può essere tranquillamente negativo...
In realtà a me risulta solo il primo, $O(0,0) $, quindi si ha:
$f(x, y) - f(0, 0) = 2x^2−4xy+2y^2−4x^4+y^4 = $
$ = 2(x - y)^2 - (2x^2 - y^2)(2x^2 + y^2) = 2(x - y)^2 - (\sqrt2 x - y)(\sqrt2 x + y)(2x^2 + y^2) $
Per $y = x $ si ha $ f(x, x) - f(0, 0) \le 0 $, mentre per $x = 0 $ si ha $ f(0, y) - f(0, 0) \ge 0 $
"nico_engineering_dd":
Data $f(x,y)=2x^2−4xy+2y^2−4x^4+y^4+3 \ge 0$
Se la funzione è quella che hai scritto, $f: \RR^2 \rightarrow \RR $ e si vede facilmente che è pari, infatti $f(- x, - y) = f(x, y) $
Quindi la risposta alla domanda b) per me è semplicemente "La funzione non è né inferiormente né superiormente limitata".
D'altronde la funzione proposta si può anche scrivere nel modo seguente:
$f(x,y)=2x^2−4xy+2y^2−4x^4+y^4+3 = 2(x - y)^2 - (4x^4 - y^4) + 3 = $
$ = 2(x - y)^2 - (2x^2 - y^2)(2x^2 + y^2) + 3 = 2(x - y)^2 - (\sqrt2 x - y)(\sqrt2 x + y)(2x^2 + y^2) + 3$
Scritta in quest'ultima forma si vede subito che non è neanche vero che è sempre positiva o al più nulla, perché il primo e l'ultimo termine sono sempre positivi (nullo il primo se e solo se $y = x$), ma il secondo termine può essere tranquillamente negativo...
"nico_engineering_dd":
Dal gradiente posto a 0 ottengo che i punti sono $(0,0)$ $(1/\sqrt2,−1/\sqrt2) $ $(−1/\sqrt2,1/\sqrt2) $
In realtà a me risulta solo il primo, $O(0,0) $, quindi si ha:
$f(x, y) - f(0, 0) = 2x^2−4xy+2y^2−4x^4+y^4 = $
$ = 2(x - y)^2 - (2x^2 - y^2)(2x^2 + y^2) = 2(x - y)^2 - (\sqrt2 x - y)(\sqrt2 x + y)(2x^2 + y^2) $
Per $y = x $ si ha $ f(x, x) - f(0, 0) \le 0 $, mentre per $x = 0 $ si ha $ f(0, y) - f(0, 0) \ge 0 $
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