Ortogonalità dei sistemi: esponenziale e trigonometrico

[giocind_88]

Buonasera a tutti . Chiedo scusa, prima di introdurre la serie di Fourier, sugli appunti di analisi vengono presentati il sistema esponenziale e quello trigonometrico 1, cos nx, sen nx. C'è scritto che si tratta di sistemi ortogonali ma non vi è dato alcun accenno alla giustificazione di tale affermazione. Ho cercato e ricercato tra il materiale cartaceo e internet ma non ho trovato nulla . Molto gentilmente qualcuno potrebbe aiutarmi ? Vi ringrazio tanto tanto tanto tanto

[coffee2]

Se parliamo di ortogonalità, il nostro contesto è uno spazio vettoriale $V$ dotato di un prodotto scalare $\langle\cdot,\cdot\rangle$.

Quindi la prima domanda a cui rispondere è: di che spazio vettoriale stiamo parlando? E la seconda domanda è: come è definito il prodotto scalare?

[giocind_88]

Buonasera . Grazie . Siamo in L2 (X). Il prodotto scalare (f,g) è definito uguale all'integrale lungo X del prodotto di f(x) per il coniugato di g(x). Ancora grazie, grazie, grazie mille.

[gugo82]

Beh, si tratta di provare che in $L^2(-\pi, \pi)$ le funzioni scelte siano ortogonali, ossia che:
\[
\begin{split}
\int_{-\pi}^\pi \cos nx\ \cos mx\ \text{d} x &=0\quad \forall n\neq m\\
\int_{-\pi}^\pi \sin nx\ \sin mx\ \text{d} x &=0\quad \forall n\neq m\\
\int_{-\pi}^\pi \cos nx\ \sin mx\ \text{d} x &=0\quad \forall n, m
\end{split}
\]
e ciò si fa facendo i conti a mano, aiutandosi con le formule di Werner.

[giocind_88]

Buonasera . Grazie mille ^_^