Orientazione della normale
Ciao ho un dubbio su come stabilire l'orientazione del verso della normale a una superficie.
Per esempio:
Calcola il flusso del campo vettoriale ... attraverso la superficie cartesiana $ Z=√(x^2 + y^2) $ per $ 1
Per trovare la normale io parametrizzo la superficie del cono (tagliato in Z=1 e Z=2) come $ (x,y,√(x^2 + y^2) ) $ , faccio le derivate rispetto a x,y e poi faccio il prodotto vettoriale. Ottengo il versore normale $ (-x/(√(x^2 + y^2)) , -y/(√(x^2 + y^2)) , 1) $ o in coordinate polari $ (-cos a, -sen a, 1) $. Da cosa ora dovrei capire che è orientato verso l'alto?
Per esempio:
Calcola il flusso del campo vettoriale ... attraverso la superficie cartesiana $ Z=√(x^2 + y^2) $ per $ 1
Per trovare la normale io parametrizzo la superficie del cono (tagliato in Z=1 e Z=2) come $ (x,y,√(x^2 + y^2) ) $ , faccio le derivate rispetto a x,y e poi faccio il prodotto vettoriale. Ottengo il versore normale $ (-x/(√(x^2 + y^2)) , -y/(√(x^2 + y^2)) , 1) $ o in coordinate polari $ (-cos a, -sen a, 1) $. Da cosa ora dovrei capire che è orientato verso l'alto?
Risposte
Lo capisci dal fatto che il terzo componente è 1, ergo sempre positivo. Ciò non implica che punti direttamente verso l'alto, ma ti sta dicendo che una sua parte lo fa.
Sennò sentiti libero di disegnarne un paio scegliendo tu le coordinate.
Sennò sentiti libero di disegnarne un paio scegliendo tu le coordinate.
Se provo a disegnarlo il vettore che mi viene non è normale alla superficie. Sono le coordinate x e y del vettore che mi confondono.
Se la terza componente è positiva allora punta verso l'alto, mentre se è negativa verso il basso?
Se la terza componente è positiva allora punta verso l'alto, mentre se è negativa verso il basso?
Se non ti viene normale probabilmente vuol dire che hai sbagliato i calcoli. Comunque si, perché "verso l'alto" vuol dire "nella stessa direzione dell'asse dell'altezza".
Un vettore $$ punterà sempre verso l'alto per qualsiasi $c>0$, per lo stesso motivo per cui un vettore $$ non punterà mai nella direzione opposta a $\haty$ per qualsiasi $e>0$.
Ad esempio considera $\vecv = <999, 1>$: ha un enorme componente in x rispetto a quello in y. Cosa vuol dire? Vuol dire che sarà un vettore che punta verso $\hatx$, quasi parallelo all'asse delle ascisse ma leggermente orientato verso l'alto. Non importa quanto è grande o quanto è piccolo il componente in x, puoi essere sicuro che finchè il componente in y è positivo non avrai mai un vettore che punta diagonalmente verso il basso (cioè con componente in $-\haty$).
Un vettore $
Ad esempio considera $\vecv = <999, 1>$: ha un enorme componente in x rispetto a quello in y. Cosa vuol dire? Vuol dire che sarà un vettore che punta verso $\hatx$, quasi parallelo all'asse delle ascisse ma leggermente orientato verso l'alto. Non importa quanto è grande o quanto è piccolo il componente in x, puoi essere sicuro che finchè il componente in y è positivo non avrai mai un vettore che punta diagonalmente verso il basso (cioè con componente in $-\haty$).
I calcoli sono giusti, coincidono con quelli del libro.
Come è possibile che la normale al cerchio superiore (z=2) sia $ (−cos a,-sen a,1) $ ? Casomai non dovrebbe essere $ (0,0,1) $ ?
Come è possibile che la normale al cerchio superiore (z=2) sia $ (−cos a,-sen a,1) $ ? Casomai non dovrebbe essere $ (0,0,1) $ ?
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