Oridine di Infinitesimi.
BUongiorno,
sto studiando l'ordine di infinitesimo,
La def è: $fx$ è una funzione infinitesima di ordine $\alpha$ se $|fx|$ e $|x-x_0|^\alpha$ sono infinitesimi dello stesso ordine per $x\rightarrow x_0$.
Pero a questo punto non so calcolarlo.
Mi potete spiegare come? se ho per esempio $sen2x$ con$ x \rightarrow 0$ come trovo l'ordine? ( dovrebbe venire 1). xd
sto studiando l'ordine di infinitesimo,
La def è: $fx$ è una funzione infinitesima di ordine $\alpha$ se $|fx|$ e $|x-x_0|^\alpha$ sono infinitesimi dello stesso ordine per $x\rightarrow x_0$.
Pero a questo punto non so calcolarlo.
Mi potete spiegare come? se ho per esempio $sen2x$ con$ x \rightarrow 0$ come trovo l'ordine? ( dovrebbe venire 1). xd
Risposte
Il limite notevole $lim_(yto0)siny/y=1$ ti fa venire in mente niente? 
Allora io mi ricordavo che si doveva fare una cosa del genere $lim_(yto0)siny/y=1$
devo fare il limite $ [lim_(xto0)(sin2x)/(2x)]*2x$ ? quindi mi rimane il 2x fuori???
oppure $sen2x = 2senxcosx$ e quindi$ [(2senxcosx)/(x)]*x = 2cosx $ e quindi il limite = 2?
p.s tutti gli ordini di infinitesimi si fanno con i limiti notevili?
devo fare il limite $ [lim_(xto0)(sin2x)/(2x)]*2x$ ? quindi mi rimane il 2x fuori???
oppure $sen2x = 2senxcosx$ e quindi$ [(2senxcosx)/(x)]*x = 2cosx $ e quindi il limite = 2?
p.s tutti gli ordini di infinitesimi si fanno con i limiti notevili?
Quasi tutti , c'è anche Taylor 
Nono, aspetta. Tu devi confrontare $sin2x$ con $x^(\alpha)$ (poiché $x_0=0$). Perciò, devi calcolare il limite $lim_(xto0)(sin2x)/(x^(\alpha))$. Discutere per quali valori di $\alpha$ questo limite è finito, non è difficile 
In questo caso riconosco il limite notevole e sapendo che $\alpha$ è l'indice che rende finito quel limite e visto che $sin2x$ posso spostare il quadrato sulla x, per il limite notevole ci vogliono 2 x sotto e quindi il grado è 2...
In che senso spostare il quadrato sulla $x$? Comunque, l'ordine di infinitesimo non è il valore del limite. Se hai $lim_(xtox_0)(f(x))/(x-x_0)^(\alpha)=l!=0$, $linRR$. Allora $\alpha$ è l'ordine di infinitesimo di $f(x)$ per $xtox_0$, NON $l$.
sisi e io che ho detto..
forse non ci siamo capiti...comunque a quanto dici, sen2x ha grado 1 giusto? quindi ci vuole una sola x quindi $x^1$ e l'ordine è uno?
forse non ci siamo capiti...comunque a quanto dici, sen2x ha grado 1 giusto? quindi ci vuole una sola x quindi $x^1$ e l'ordine è uno?
Sìsì, altrimenti con $x^2$ te ne vai a $+infty$
EDIT: Comunque, ho modificato il post sopra. Non so perché ci avevo messo in mezzo $g(x)$ Non si tratta di confrontare due funzioni generiche, ma di confrontare $f(x)$ con $(x-x_0)^(\alpha)$ per stabilire l'ordine di $f(x)$, ma penso che mi avevi comunque capito.
EDIT: Comunque, ho modificato il post sopra. Non so perché ci avevo messo in mezzo $g(x)$
Non si tratta di confrontare due funzioni generiche, ma di confrontare $f(x)$ con $(x-x_0)^(\alpha)$ per stabilire l'ordine di $f(x)$, ma penso che mi avevi comunque capito.
Comuque vediamo se ho capito. se ho $1-cosx$ devo fare:
$lim_(xto0)(1- cosx)/(x^(\alpha))$ = ( conoscendo che il limite notevole $lim_(xto0)(cosx)/(x^2)=1/2$ so che quella funzione ha un valore finito quando $\alpha=2$. quindi ordine 2.
Quindi per $\alpha=2$ il limite tende a $1/2$. Giusto?
$lim_(xto0)(1- cosx)/(x^(\alpha))$ = ( conoscendo che il limite notevole $lim_(xto0)(cosx)/(x^2)=1/2$ so che quella funzione ha un valore finito quando $\alpha=2$. quindi ordine 2.
Quindi per $\alpha=2$ il limite tende a $1/2$. Giusto?
Esattamente.
In questo modo, già sai tutti gli ordini di infinitesimo per $xto0$ delle funzioni $f(x)=e^x-1$, $g(x)=log(1+x)$, $h(x)=(1+x)^(\theta)-1$, ecc.
Basta ripescarle dai limite notevoli
Basta ripescarle dai limite notevoli
Ok..capito..Visto che 6 cosi esperto in materia vediamo se riesco a risolvere un esercizio un po piu difficile (forse ).
$/sqrt(1+x^5)-(/sqrt(1-x^5))$
Risolvo gli ordini separti.
vedo $(1+x^5)^(1/5)$ e $(1-x^5)^(1/5)$
mmm...no non riesco...esite un limite notevole per risolverlo? xd
).$/sqrt(1+x^5)-(/sqrt(1-x^5))$
Risolvo gli ordini separti.
vedo $(1+x^5)^(1/5)$ e $(1-x^5)^(1/5)$
mmm...no non riesco...esite un limite notevole per risolverlo? xd
ehm, non riesco a capire l'espressione sopra: ci sono un meno e una barra vaganti
La radice è al denominatore?
Comunque, la $x$ a cosa tende? Devi studiare l'ordine di infinitesimo?
La radice è al denominatore?
Comunque, la $x$ a cosa tende? Devi studiare l'ordine di infinitesimo?
sisi infinitesimo...sorry ho aggiustato...
"Antimius":
In questo modo, già sai tutti gli ordini di infinitesimo per $xto0$ delle funzioni $f(x)=e^x-1$, $g(x)=log(1+x)$, $h(x)=(1+x)^(\theta)-1$, ecc.
Basta ripescarle dai limite notevoli
E come faccio quando non è un limite notevole?
E' per $xto0$ immagino.
Io scriverei la tua espressione nella forma: $((1+x^5)^(1/5)-1)/(x^(\alpha))+((1-x^5)^(1/5)-1)/(-x^(\alpha))$
Forse così ti è più chiaro quale limite notevole usare
Io scriverei la tua espressione nella forma: $((1+x^5)^(1/5)-1)/(x^(\alpha))+((1-x^5)^(1/5)-1)/(-x^(\alpha))$
Forse così ti è più chiaro quale limite notevole usare
"kiblast":
[quote="Antimius"]In questo modo, già sai tutti gli ordini di infinitesimo per $xto0$ delle funzioni $f(x)=e^x-1$, $g(x)=log(1+x)$, $h(x)=(1+x)^(\theta)-1$, ecc.
Basta ripescarle dai limite notevoli
E come faccio quando non è un limite notevole?[/quote]
Dipende. Alla fine, si tratta di discutere quando il limite $lim_(xtox_0)f(x)/(x-x_0)^(\alpha)$ è finito. Devi cercare innanzitutto di farti un'idea e poi procedere con varie tecniche: limiti notevoli, trasformazioni algebriche, Taylor,...
"Antimius":
E' per $xto0$ immagino.
Io scriverei la tua espressione nella forma: $((1+x^5)^(1/5)-1)/(x^(\alpha))+((1-x^5)^(1/5)-1)/(-x^(\alpha))$
Forse così ti è più chiaro quale limite notevole usare
allora penso al limite note $lim_(xto0)(a^x-1)/(x)=loga$ giusto?
Attento, la $x$ non è all'esponente. Guarda su, fra i tre limiti notevoli che ho scritto quale meglio gli si adatta
Apparte che non lo conoscevo ( o forse in qualche altrca forma) $h(x)=(1+x)^(\theta)-1$ a cosa tende?
intanto ho provato a fare questo ....$log(1+x)^x$.
ho pensato di fare:
$lim_(xto0)(log(1+x)^x)/(|x|^\alpha)$=$lim_(xto0)(x)/(|x|^\alpha)+lim_(xto0)log(1+x)^x/(|x|^\alpha)$
ora $log(1+x)/(x^\alpha)$ tende a 1 per $\alpha=1$
$x/|x|^\alpha$ tende a 1 per $\alpha=1$ e quindi tutto il limite ha ordine 2. giusto?
intanto ho provato a fare questo ....$log(1+x)^x$.
ho pensato di fare:
$lim_(xto0)(log(1+x)^x)/(|x|^\alpha)$=$lim_(xto0)(x)/(|x|^\alpha)+lim_(xto0)log(1+x)^x/(|x|^\alpha)$
ora $log(1+x)/(x^\alpha)$ tende a 1 per $\alpha=1$
$x/|x|^\alpha$ tende a 1 per $\alpha=1$ e quindi tutto il limite ha ordine 2. giusto?
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