Ordine di infinito/infinitesimo
Come si fa' a stabilire l'ordine di infinito/infinitesimo con lo sviluppo di Taylor e/o con De L'Hopital ?
Grazie =)
Grazie =)
Risposte
Hai studiato la teoria?
Se si, precisa almeno quali sono i tuoi dubbi.
Se si, precisa almeno quali sono i tuoi dubbi.
La teoria l'ho studiata. So che con lo sviluppo di Taylor posso ottenere le funzioni come somme di potenze: sommatoria da $n=0$ a $n=+infty$ di $(f^(n)(x'))/(k!) (x-x')^k;
E con De l'Hopital posso trovare attraverso le derivate i limiti. $lim x->x0 f(x)/g(x) = lim x->x0 (f'(x)) / (g'(x))$.
So la gerarchia degli infiniti come funziona, ma non capisco in che modo si possa dimostrare con questi Teoremi. Se mi vuoi aiutare ti ringrazio.
E con De l'Hopital posso trovare attraverso le derivate i limiti. $lim x->x0 f(x)/g(x) = lim x->x0 (f'(x)) / (g'(x))$.
So la gerarchia degli infiniti come funziona, ma non capisco in che modo si possa dimostrare con questi Teoremi. Se mi vuoi aiutare ti ringrazio.
metti a rapporto 2 funzioni(a(x)/b(x)) o successioni a/b entrambe o infinitesime(coe' vanno a 0) o infinite(cioe' vanno a $ oo $ ):nel caso di infinitesimi se vale 0 a(x) va piu' velocemente a 0 quindi a(x) e'infinetisimo superiore,se e' a(x)/b(x)=L stesso ordine,se vale + $ oo $ a(x) e'inferiore poiche' b(x) va piu'velocemente a 0,;per gli infinitesimi e' lo stesso:a(x) e' superiore se va piu' velocemente a + $ oo $ quindi a(x)/b(x)=+ $ oo $ cosi' via.Con Taylor scomponi molte funzioni in polinomi a(x) e b(x) e sai che vengono presi a modello come ordini principali con i quali mettere a confronto x per gli infiniti(con x rarr $ oo $) e 1/x per gli infinitesimi.Se hai lim xrarr 0 sin(x) ed e' sin(x)=x-(x)^(3)/3*2+ (x)^(5)/5*4*3*2+....ed x per xrarr 0 e metti a confronti questi 2 infinitesimi, semplici polinomi, sinx/x sono dello stesso ordine per la definizione sopra con sinx di ordine 1:[x-(x)^(3)/3*2+ (x)^(5)/5*4*3*2]/x=1+0+0+...con Lim=1
Grazie legendre mi hai già esaurito qualche dubbio. De l'Hopital non c'entra nulla con gli ordini di infinito\infinitesimo allora ?
De l'hopital,che tra l'altro era un mediocre matematico che si era impossessato di questo teorema di bernoulli con il quale fece un patto che avrebbe sotto compenso dato a lui la priorita' delle scoperte del famoso bernoulli, serve solo se a(x) e b(x) sono entrambe infiniti o infinitesimi di cui non sai l'ordine ovvero non sai chi dei 2 va piu velocemente a $ oo $ o a 0.quindi sono 2 forme indeterminate $ oo $ / $ oo $ oppure 0/0.Puoi con accorgimenti ricondurle a queste 2 forme e fare il rapporto delle due derivate lim x $ rarr oo $ a(x)'/b(x)'.Ti consiglio l'utilizzo quando non riesci a venire a capo di un limite perche' credo che i prof.siano piu' interessati alla formula di taylor o di mclaurin
Scusa intendevo lim x $ rarr $ x(0) a(x)'/b(x)' e l'ordine intendo di superiorita' o inferiorita' tra i 2
Prendiamo una funzione [tex]$f:A \rightarrow R$[/tex] e un punto[tex]$x_0 \in R$[/tex] dove [tex]$x_0$[/tex]è di accumulazione per [tex]$A$[/tex]
f si dice un infinitesimo in [tex]$x_0$[/tex] se [tex]$\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$[/tex]
f si dice un infinito in [tex]$x_0$[/tex] se [tex]$\lim_{x \to x_0} |f(x)| = +\infty$[/tex]
Esempio 1:
[tex]$f(x) = x$[/tex] è un infinitesimo per [tex]$x \to 0$[/tex] (infatti [tex]$\lim_{x \to 0} x = 0$[/tex])
mentre è un infinito per [tex]$x \to +\infty $[/tex] (infatti [tex]$\lim_{x \to +\infty} {x} = +\infty$[/tex]) [ovviamente lo è anche per [tex]$x \to -\infty $[/tex]]
Esempio 2:
[tex]$f(x) = \frac{1}{x}$[/tex] è un infinitesimo per [tex]$x \to +\infty$[/tex] (infatti [tex]$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$[/tex]) [ovviamente lo è anche per [tex]$x \to -\infty $[/tex]]
mentre è un infinito per [tex]$x \to 0$[/tex] (infatti [tex]$\lim_{x \to 0} {\frac{1}{x}} = \infty$[/tex])
___________________________________________
Prendiamo ora due funzioni [tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex] infinite (rispettivamente infinitesime) in un punto [tex]$x_0$[/tex] con [tex]$g(x)\not=0$[/tex] in un intorno di [tex]$x_0$[/tex].
[tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex] sono infiniti (infinitesimi) di ordine uguale se e solo se: [tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{|f(x)|}{|g(x)|} = l \in R^*$[/tex]
[tex]$f$[/tex] è un infinito (infinitesimo) di ordine maggiore (minore) a [tex]$g$[/tex] se e solo se: [tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{|f(x)|}{|g(x)|} = +\infty$[/tex]
[tex]$f$[/tex] è un infinito (infinitesimo) di ordine minore (maggiore) a [tex]$g$[/tex] se e solo se: [tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} =0$[/tex]
_____________________________________________
La formula di Taylor a cui ti riferisci è utile, perché ci permette di semplificare notevolmente funzioni piuttosto complesse.
E' molto usata nei limiti, che generalmente poi vanno risolti con una discussione sugli ordini.
Prendiamo ad esempio questo limite:
[tex]$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1-x}{x^2}$[/tex]
Usando Taylor, riscrivo [tex]$e^x$[/tex] in questo modo:
[tex]$e^x=1+x+\frac{x^2}{2} + o(x^2)$[/tex]
Quindi sostituendo nel limite, abbiamo:
[tex]$\lim_{x \to 0} \frac{1+x+\frac{x^2}{2} + o(x^2)-1-x}{x^2}$[/tex]
[tex]$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2}$[/tex]
[tex]$o(x^2)$[/tex] possiamo trascurarlo perché è un infinitesimo di ordine maggiore rispetto a [tex]$\frac{x^2}{2}$[/tex] (*).
Il limite quindi si è semplificato notevolmente:
[tex]$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}$[/tex]
__________________
(*) Posso farlo per il principio di sostituzione degli infiniti (infinitesimi).
Esso afferma, che:
quando abbiamo una somma di infiniti, possiamo trascurare quelli più lenti (quelli di ordine minore).
Mentre quando abbiamo una somma di infinitesimi possiamo trascurare quelli più veloci (quelli di ordine maggiore ) [caso dell'esercizio]
(Ovviamente questo si può dimostrare!)
f si dice un infinitesimo in [tex]$x_0$[/tex] se [tex]$\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$[/tex]
f si dice un infinito in [tex]$x_0$[/tex] se [tex]$\lim_{x \to x_0} |f(x)| = +\infty$[/tex]
Esempio 1:
[tex]$f(x) = x$[/tex] è un infinitesimo per [tex]$x \to 0$[/tex] (infatti [tex]$\lim_{x \to 0} x = 0$[/tex])
mentre è un infinito per [tex]$x \to +\infty $[/tex] (infatti [tex]$\lim_{x \to +\infty} {x} = +\infty$[/tex]) [ovviamente lo è anche per [tex]$x \to -\infty $[/tex]]
Esempio 2:
[tex]$f(x) = \frac{1}{x}$[/tex] è un infinitesimo per [tex]$x \to +\infty$[/tex] (infatti [tex]$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$[/tex]) [ovviamente lo è anche per [tex]$x \to -\infty $[/tex]]
mentre è un infinito per [tex]$x \to 0$[/tex] (infatti [tex]$\lim_{x \to 0} {\frac{1}{x}} = \infty$[/tex])
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Prendiamo ora due funzioni [tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex] infinite (rispettivamente infinitesime) in un punto [tex]$x_0$[/tex] con [tex]$g(x)\not=0$[/tex] in un intorno di [tex]$x_0$[/tex].
[tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex] sono infiniti (infinitesimi) di ordine uguale se e solo se: [tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{|f(x)|}{|g(x)|} = l \in R^*$[/tex]
[tex]$f$[/tex] è un infinito (infinitesimo) di ordine maggiore (minore) a [tex]$g$[/tex] se e solo se: [tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{|f(x)|}{|g(x)|} = +\infty$[/tex]
[tex]$f$[/tex] è un infinito (infinitesimo) di ordine minore (maggiore) a [tex]$g$[/tex] se e solo se: [tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} =0$[/tex]
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La formula di Taylor a cui ti riferisci è utile, perché ci permette di semplificare notevolmente funzioni piuttosto complesse.
E' molto usata nei limiti, che generalmente poi vanno risolti con una discussione sugli ordini.
Prendiamo ad esempio questo limite:
[tex]$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1-x}{x^2}$[/tex]
Usando Taylor, riscrivo [tex]$e^x$[/tex] in questo modo:
[tex]$e^x=1+x+\frac{x^2}{2} + o(x^2)$[/tex]
Quindi sostituendo nel limite, abbiamo:
[tex]$\lim_{x \to 0} \frac{1+x+\frac{x^2}{2} + o(x^2)-1-x}{x^2}$[/tex]
[tex]$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2}$[/tex]
[tex]$o(x^2)$[/tex] possiamo trascurarlo perché è un infinitesimo di ordine maggiore rispetto a [tex]$\frac{x^2}{2}$[/tex] (*).
Il limite quindi si è semplificato notevolmente:
[tex]$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}$[/tex]
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(*) Posso farlo per il principio di sostituzione degli infiniti (infinitesimi).
Esso afferma, che:
quando abbiamo una somma di infiniti, possiamo trascurare quelli più lenti (quelli di ordine minore).
Mentre quando abbiamo una somma di infinitesimi possiamo trascurare quelli più veloci (quelli di ordine maggiore ) [caso dell'esercizio]
(Ovviamente questo si può dimostrare!)
@legendre: Puoi trovare un tutorial per le formule cliccando sulla parola "formule". Così come scrivi i tuoi post sono poco leggibili.
In aggiunta al mio post precedente (tanto per completare!), propongo un esercizio:
[tex]$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2}-1-x^2}{2(1-cosx)-x sen x}$[/tex]
Suggerimento:
[tex]$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2}-1-x^2}{2(1-cosx)-x sen x}$[/tex]
Suggerimento:
@Mathcrazy: Le tue definizioni vanno limate un po'.
Ad esempio, come opero se voglio confrontare intorno a [tex]$0$[/tex] le funzioni [tex]$f(x)=x$[/tex] e [tex]$g(x):=x\ \sin \frac{\pi}{x}$[/tex]?
Ad esempio, come opero se voglio confrontare intorno a [tex]$0$[/tex] le funzioni [tex]$f(x)=x$[/tex] e [tex]$g(x):=x\ \sin \frac{\pi}{x}$[/tex]?
"gugo82":
@Mathcrazy: Le tue definizioni vanno limate un po'.
Ho evitato di entrare troppo nel dettaglio per un semplice motivo:
Non sta a me spiegare dettagliatamente tutta la teoria, ma (oltre che ai docenti) ai libri che andrebbero consultati con un po' più di frequenza!!!A me piace solo dare un input,sperando possa servire a qualche povero disgraziato
!!In questo caso, ho solo cercato di riordinare ciò che aveva già accennato legendre,limitandomi a quei concetti!!.
Comunque; bando alle ciance, quelle due funzioni non sono confrontabili!
Allora "limiamo" :
Mettiamo il caso che [tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex] siano definite in un insieme [tex]$A$[/tex]
Le due funzioni non sono confrontabili se [tex]$\not\exists \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}[/tex].
Inoltre è bene precisare che:
[tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex] sono infiniti (infinitesimi) di ordine uguale se: [tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{|f(x)|}{|g(x)|} = l \in R^*$[/tex]
o più in generale se:
[tex]$\exists h,k > 0$[/tex] e [tex]$\exists I$[/tex] intorno di [tex]$x_0$[/tex] tale che [tex]$\forall x \in A \cap I - \{x_0\} : h<\frac{|f(x)|}{|g(x)|}
Cioè la quantità: [tex]$\frac{|f(x)|}{|g(x)|}[/tex] deve essere limitata e discosta da [tex]$0$[/tex].
Nel caso da te proposto:
[tex]$f(x)=x$[/tex]
[tex]$g(x)= x sen (\frac {1}{x})$[/tex]
Osserviamo che [tex]$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x sen (\frac {1}{x})} = \not\exists$[/tex]
Inoltre, la quantità [tex]$\frac{|f(x)|}{|g(x)|}[/tex] non è limitata discosta da [tex]$0$[/tex]; quindi si tratta di infinitesimi non confrontabili.
Il problema rimane... 
Quello che intendevo dire prima con "limare la definizione" è che, così come è scritta, essa non ha senso se [tex]$g$[/tex] non è definitivamente non nulla intorno ad [tex]$x_0$[/tex] (così come [tex]$g(x)=x\ \sin \tfrac{\pi}{x}$[/tex], che si annulla nei punti [tex]$x_n:=\tfrac{1}{n}$[/tex] con [tex]$n\in \mathbb{Z}\setminus \{ 0\}$[/tex]).
Ad esempio, una definizione più corretta di infinitesimo d'ordine superiore è la seguente:
[tex]$\forall \varepsilon >0,\ \exists I(x_0) \text{ intorno di $x_0$}:\ \forall x\in A\cap I(x_0)\setminus \{ x_0\} ,\ |f(x)|\leq \varepsilon \ |g(x)|$[/tex]
la quale non esclude il fatto che [tex]$g$[/tex] possa annullarsi da qualche parte intorno a [tex]$x_0$[/tex] e che si riduce alla tua se e solo se [tex]$g(x)\neq 0$[/tex] in tutto un intorno di [tex]$x_0$[/tex].
Le stesse modifiche vanno fatte per infinitesimo d'ordine inferiore, etc...
Quello che intendevo dire prima con "limare la definizione" è che, così come è scritta, essa non ha senso se [tex]$g$[/tex] non è definitivamente non nulla intorno ad [tex]$x_0$[/tex] (così come [tex]$g(x)=x\ \sin \tfrac{\pi}{x}$[/tex], che si annulla nei punti [tex]$x_n:=\tfrac{1}{n}$[/tex] con [tex]$n\in \mathbb{Z}\setminus \{ 0\}$[/tex]).
Ad esempio, una definizione più corretta di infinitesimo d'ordine superiore è la seguente:
[tex]$\forall \varepsilon >0,\ \exists I(x_0) \text{ intorno di $x_0$}:\ \forall x\in A\cap I(x_0)\setminus \{ x_0\} ,\ |f(x)|\leq \varepsilon \ |g(x)|$[/tex]
la quale non esclude il fatto che [tex]$g$[/tex] possa annullarsi da qualche parte intorno a [tex]$x_0$[/tex] e che si riduce alla tua se e solo se [tex]$g(x)\neq 0$[/tex] in tutto un intorno di [tex]$x_0$[/tex].
Le stesse modifiche vanno fatte per infinitesimo d'ordine inferiore, etc...
Grazie tante avete esaurito tutti i miei dubbi. L'unica incertezza resta, sempre sullo sviluppo di Taylor, il resto del polinomio di Taylor, se potete aiutarmi mi fate un grande favore ! =) Grazie ancora =)
"gugo82":
Il problema rimane...
Quello che intendevo dire prima con "limare la definizione" è che, così come è scritta, essa non ha senso se [tex]$g$[/tex] non è definitivamente non nulla intorno ad [tex]$x_0$[/tex] (così come [tex]$g(x)=x\ \sin \tfrac{\pi}{x}$[/tex], che si annulla nei punti [tex]$x_n:=\tfrac{1}{n}$[/tex] con [tex]$n\in \mathbb{Z}\setminus \{ 0\}$[/tex]).
Ad esempio, una definizione più corretta di infinitesimo d'ordine superiore è la seguente:
[tex]$\forall \varepsilon >0,\ \exists I(x_0) \text{ intorno di $x_0$}:\ \forall x\in A\cap I(x_0)\setminus \{ x_0\} ,\ |f(x)|\leq \varepsilon \ |g(x)|$[/tex]
la quale non esclude il fatto che [tex]$g$[/tex] possa annullarsi da qualche parte intorno a [tex]$x_0$[/tex] e che si riduce alla tua se e solo se [tex]$g(x)\neq 0$[/tex] in tutto un intorno di [tex]$x_0$[/tex].
Le stesse modifiche vanno fatte per infinitesimo d'ordine inferiore, etc...
Si hai ragione;ovviamente [tex]$g(x)\not=0$[/tex] nell'intorno di [tex]$x_0$[/tex]; vado a precisarlo nel post precedente
.Graziee gugo!
"pitrineddu90":
Grazie tante avete esaurito tutti i miei dubbi. L'unica incertezza resta, sempre sullo sviluppo di Taylor, il resto del polinomio di Taylor, se potete aiutarmi mi fate un grande favore ! =) Grazie ancora =)
Qual è l'incertezza?
Spiegati meglio, magari con un esempio!
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