Ordine di infinito infinitesimo?
In parole povere, ma molto molto povere, l'ordine di infinitesimo-infinito è quel numero al quale bisogna elevare una delle due funzioni che formano il quoziente affinchè il quoziente converga ad un limite finito?
Risposte
Ok povere, ma qui si fa la fame!
Dunque... Intanto si parla di ordine di infinito di una funzione rispetto ad un altra.
E poi, in parole povere, è il quoziente dei valori assoluti che deve convergere ad un limite finito!
Quindi, in parole un po' meno povere, se $f$ e $g$ sono entrambe infinitesimi (o infiniti) per $x to p$, $g(x) != 0$ e $alpha in RR$, $f(x)$ è un infinitesimo (o un infinito) di ordine $\alpha$ rispetto a $g(x)$ se esiste $\beta > 0$ tale che $lim_(x \to p)|f(x)|/|g(x)|^\alpha\ \to beta$.
Ciao!
Dunque... Intanto si parla di ordine di infinito di una funzione rispetto ad un altra.
E poi, in parole povere, è il quoziente dei valori assoluti che deve convergere ad un limite finito!
Quindi, in parole un po' meno povere, se $f$ e $g$ sono entrambe infinitesimi (o infiniti) per $x to p$, $g(x) != 0$ e $alpha in RR$, $f(x)$ è un infinitesimo (o un infinito) di ordine $\alpha$ rispetto a $g(x)$ se esiste $\beta > 0$ tale che $lim_(x \to p)|f(x)|/|g(x)|^\alpha\ \to beta$.
Ciao!
"Titania":
E poi, in parole povere, è il quoziente dei valori assoluti che deve convergere ad un limite finito!
Perché complicarci la vita?
[tex]\displaystyle \frac{a}{b}=l_1 \in \mathbb{R}_0 \Leftrightarrow \frac{|a|}{|b|}=l_2 \in \mathbb{R}_0[/tex]
Non è vero quello che dici, Raptorista. Prendi come esempio $a(x)=|x|, b(x)=x$ e fai tendere $x$ a zero. E' corretto quanto dice Titania.
@dissonance: Ho pure controllato il mio libro di Analisi 1 e gli appunti di lezione prima di rispondere, ma a questo non avevo pensato; in effetti il tuo esempio converge a sign(x) che non ha limite in zero, però i limiti destro e sinistro sono limitati!
E controllando anche su altri libri di analisi ho ritrovato la definizione senza valore assoluto.
Comunque poi mi sono consultato con un altro amico che è anche lui un matematico e mi ha detto che ci possono essere diverse definizioni [ad esempio che lui ha studiato la definizione data con il lim inf] e con quella che hanno insegnato a me, per le funzioni che dissonance propone, semplicemente non esiste il limite.
In fin dei conti non è una cosa così grave, volevo solo sapere perché aggiungere il valore assoluto, che non avevo mai visto
Comunque poi mi sono consultato con un altro amico che è anche lui un matematico e mi ha detto che ci possono essere diverse definizioni [ad esempio che lui ha studiato la definizione data con il lim inf] e con quella che hanno insegnato a me, per le funzioni che dissonance propone, semplicemente non esiste il limite.
In fin dei conti non è una cosa così grave, volevo solo sapere perché aggiungere il valore assoluto, che non avevo mai visto
Infatti puoi fare come vuoi tu, non c'è mica una legge che ti proibisca arbitrariamente di prendere una definizione invece di un'altra. Ma secondo me ci sono molteplici vantaggi ad aggiungere il valore assoluto. Essenzialmente perché quando si fornisce una stima di qualcosa (una stima asintotica è sempre una stima), questa deve essere in valore assoluto, perché è il valore assoluto che misura la grandezza delle quantità: e infatti la definizione con valore assoluto si estende immediatamente alle funzioni a valori complessi, o vettoriali. E per lo stesso motivo, è la definizione con valore assoluto ad essere compatibile con le notazioni spiegate dettagliatamente da Gugo qui.
@dissonance: sono d'accordo sull'apportare la piccola modifica del modulo, che non avevo mai considerato perché non ne avevo mai sentito la necessità!
Volevo solo dimostrare di non aver fatto un intervento a vuoto e l'ho difeso con le unghie e con i denti
Per tutto il resto ti (vi) appoggio in pieno
Volevo solo dimostrare di non aver fatto un intervento a vuoto e l'ho difeso con le unghie e con i denti
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