Ordine di infinitesimo/infinito
Vorrei un suppoto a queste considerazioni:
dal punto di vista teorico, posso sostituire una funzione con la sua parte principale che si ricava moltiplicando l'odine di infinitesimo (infinito) per il limite. In tal modo commettetto un piccolo, ma trascurable errore, dovuto alla parte complementare. Giusto?
Ma come si calcola l'ordine di un infinito/infinitesimo?
POtreste chiarirmi il tutto con un esempio?
Perchè $x-log(1+x)$ per $x->0$ è un infinitesimo di ordine 2?
Queso procedimento per il calcolo dei limiti è più vantaggioso di L'Hospital e dei limiti notevoli?
Mi rendo conto della banalità delle domande ma sono piantato.
Grazie
dal punto di vista teorico, posso sostituire una funzione con la sua parte principale che si ricava moltiplicando l'odine di infinitesimo (infinito) per il limite. In tal modo commettetto un piccolo, ma trascurable errore, dovuto alla parte complementare. Giusto?
Ma come si calcola l'ordine di un infinito/infinitesimo?
POtreste chiarirmi il tutto con un esempio?
Perchè $x-log(1+x)$ per $x->0$ è un infinitesimo di ordine 2?
Queso procedimento per il calcolo dei limiti è più vantaggioso di L'Hospital e dei limiti notevoli?
Mi rendo conto della banalità delle domande ma sono piantato.
Grazie
Risposte
Utilizzare gli sviluppi in serie di Taylor per calcolare i limiti, quando non è possibile procedere con i limiti notevoli, è MOLTO vantaggioso.
Gli sviluppi in serie di Taylor li puoi calcolare utilizzando la definizione, oppure per le funzioni più frequenti li trovi già sviluppati.
Per calcolare l'ordine di infinito (o infinitesimo) di una funzione, cioè la «velocità» con cui tende a $\infty$ o a $0$ devi confrontare la funzione (facendone il limite del rapporto) con una "funzione campione", che è $|x-x_0|^\alpha$. Se questo limite è finito, ed è diverso da $0$, $\alpha$ è l'infinitesimo della funzione che stai considerando.
Esempio, per $x-log(1+x)$ e $\alpha =1$:
$\lim_{x\to 0} \frac{x-log(1+x)}{|x-0|}=0$, zero non va bene, passiamo ad $\alpha=2$:
$\lim_{x\to 0} \frac{x-log(1+x)}{|x-0|^2}=\frac{1}{2}$, è finito e diverso da zero, quindi la funzione è di ordine 2.
Gli sviluppi in serie di Taylor li puoi calcolare utilizzando la definizione, oppure per le funzioni più frequenti li trovi già sviluppati.
Per calcolare l'ordine di infinito (o infinitesimo) di una funzione, cioè la «velocità» con cui tende a $\infty$ o a $0$ devi confrontare la funzione (facendone il limite del rapporto) con una "funzione campione", che è $|x-x_0|^\alpha$. Se questo limite è finito, ed è diverso da $0$, $\alpha$ è l'infinitesimo della funzione che stai considerando.
Esempio, per $x-log(1+x)$ e $\alpha =1$:
$\lim_{x\to 0} \frac{x-log(1+x)}{|x-0|}=0$, zero non va bene, passiamo ad $\alpha=2$:
$\lim_{x\to 0} \frac{x-log(1+x)}{|x-0|^2}=\frac{1}{2}$, è finito e diverso da zero, quindi la funzione è di ordine 2.
grazie mi hai illuminato
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