Ordine di Infinitesimo (Help!)
salve, sto studiando la convergenza degli integrali impropri ed ho un problema nel calcolo degli infinitesimi, ovvero ho studiato la teoria ma non riesco a capire gli esempi proposti dal libro, spero mi possiate aiutare. non chiedo di farmi capire tutti gli esercizi, anche qualcuno basta; tento di capire come si trova l'ordine di infinitesimo, è una settimana che mi scervello su questo, ho comprato anche un altro libro ma dice le stesse cose 
.
premessa: io so che
forse perché il denominatore diventa $x^2+x+1$? ed a $+oo$ consideriamo solo il termine con esponente maggiore?
perchè?
qui credo abbia usato: se esiste Alpha >1 tale che f è infinitesimo d'ordine maggiore di Alpha per $x->+oo$ rispetto a u(x) allora l'integrale è convergente.
da dove viene questo $x^(3/2)$, è scelto arbitrario da me? (e poi non capisco come quel limite fa 0).
questo è molto simile al precedente ma perchè al posto di $x^3/2$ sceglie $x^1$?:
spero in qualche aiuto
Grazie per qualsiasi risposta
.premessa: io so che
cito qualche esempio proposto:
$ f(x)=1/(sqrt(x^4+x^2+1)) $ è equivalente a $+oo$ alla funzione $1/x^2$
forse perché il denominatore diventa $x^2+x+1$? ed a $+oo$ consideriamo solo il termine con esponente maggiore?
$ f(x)=1/(sqrt(x+1)) $ ha ordine d'infinitesimo $1/2$ per $x->oo$ rispetto a $u(x) =1/x$
perchè?
$f(x)=1/(x^2logx)$ non ha ordine d'infinitesimo per $x->+oo$ rispetto a $u(x)=1/x$ ma si ha
$ lim_(x -> +oo)x^(3/2) 1/(x^2logx) =0$ quindi f è infinitesimo di ordine maggiore di 3/2per $x->+oo$
qui credo abbia usato: se esiste Alpha >1 tale che f è infinitesimo d'ordine maggiore di Alpha per $x->+oo$ rispetto a u(x) allora l'integrale è convergente.
da dove viene questo $x^(3/2)$, è scelto arbitrario da me? (e poi non capisco come quel limite fa 0).
questo è molto simile al precedente ma perchè al posto di $x^3/2$ sceglie $x^1$?:
$f(x)=1/logx$ non ha ordine d'infinitesimo per $x->+oo$ rispetto a $u(x)=1/x$ ma si ha
$ lim_(x -> +oo)x 1/(x^2logx) =+oo$ quindi f è infinitesimo di ordine minore di 1 per $x->+oo$
spero in qualche aiuto
Grazie per qualsiasi risposta
Risposte
nessuno è in grado di aiutarmi? anche un suggerimento va bene.
Ciao, vediamo se riesco ad aiutarti.
Il passaggio che hai scritto sotto il primo esempio è sbagliato: la radice di una somma NON è la somma delle radici, tuttavia il radicando è di grado 4, e per $x \to +\infty$ il termine di quarto grado prevale sugli altri, che quindi si possono trascurare; in questo modo il denominatore si riduce a $\sqrt{x^4}=|x^2|=x^2$.
Il secondo esempio: la funzione $f$ che devi esaminare ha denominatore $\sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}$. se la confronti con la funzione prova $g(x)=1/x^\alpha$ trovi che $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=l, \quad l \in \RR^+$ quando $\alpha = 1/2$ (è proprio questa la procedura per trovare l'ordine di infinitesimo).
Terzo esempio: $x^{3/2}$ è arbitrario,come al caso precedente, è stato fatto il rapporto con la funzione $g(x)=1/x^\alpha$ con $\alpha=3/2$. Sempre dalla definizione di confronto tra infinitesimi, se il limite del rapporto delle funzioni è 0, la funzione a denominatore ha ordine maggiore di quella a numeratore. Il limite fa zero perché il numeratore è $x^{3/2}$ ed il denominatore è $x^{3/2}*\sqrt{x}*\log(x)$.
Il quarto è sostanzialmente come il terzo.
Il passaggio che hai scritto sotto il primo esempio è sbagliato: la radice di una somma NON è la somma delle radici, tuttavia il radicando è di grado 4, e per $x \to +\infty$ il termine di quarto grado prevale sugli altri, che quindi si possono trascurare; in questo modo il denominatore si riduce a $\sqrt{x^4}=|x^2|=x^2$.
Il secondo esempio: la funzione $f$ che devi esaminare ha denominatore $\sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}$. se la confronti con la funzione prova $g(x)=1/x^\alpha$ trovi che $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=l, \quad l \in \RR^+$ quando $\alpha = 1/2$ (è proprio questa la procedura per trovare l'ordine di infinitesimo).
Terzo esempio: $x^{3/2}$ è arbitrario,come al caso precedente, è stato fatto il rapporto con la funzione $g(x)=1/x^\alpha$ con $\alpha=3/2$. Sempre dalla definizione di confronto tra infinitesimi, se il limite del rapporto delle funzioni è 0, la funzione a denominatore ha ordine maggiore di quella a numeratore. Il limite fa zero perché il numeratore è $x^{3/2}$ ed il denominatore è $x^{3/2}*\sqrt{x}*\log(x)$.
Il quarto è sostanzialmente come il terzo.
Grazie Mille, sei stato molto chiaro, non so come ringraziarti.
Proverò subito a risolvere qualche esercizio,
Grazie Ancora
Proverò subito a risolvere qualche esercizio,
Grazie Ancora
Prego!
non vorrei chiedere troppo, ma il limite del terzo esempio non mi viene come hai detto tu:
ma $lim_(x-> +oo) x^{3/2} / (x^2*\log(x))$ che risolvo dicendo che è $= 0$ perchè il grado del num è minore del grado del denom. è giusto?
cosa che però non posso usare nel quarto esempio, perchè il limite è $lim_(x-> +oo) x/logx$ e non riesco a risolverlo, è una forma indet $oo/oo$ ma non riesco a trasformarla.
nel secondo esempio il limite mi viene = 1
Grazie!
"Raptorista":
Il limite fa zero perché il numeratore è $x^{3/2}$ ed il denominatore è $x^{3/2}*\sqrt{x}*\log(x)$.
ma $lim_(x-> +oo) x^{3/2} / (x^2*\log(x))$ che risolvo dicendo che è $= 0$ perchè il grado del num è minore del grado del denom. è giusto?
cosa che però non posso usare nel quarto esempio, perchè il limite è $lim_(x-> +oo) x/logx$ e non riesco a risolverlo, è una forma indet $oo/oo$ ma non riesco a trasformarla.
nel secondo esempio il limite mi viene = 1
Grazie!
Nella frase che hai citato ho solo sott'inteso questi passaggi: $x^2=x^4/2=x^3/2*x^1/2=x^3/2*sqrt(x)$. Il ragionamento sui gradi è giusto, ma è in questo modo che si verifica.
Per il quarto: devi solo fare la verifica dell'ordine di infinito (o infinitesimo); mai sentito parlare del Teorema della Gerarchia degli Infiniti?
Per il quarto: devi solo fare la verifica dell'ordine di infinito (o infinitesimo); mai sentito parlare del Teorema della Gerarchia degli Infiniti?
non capisco perchè trasformare la $x^2$, cosa cambia?
del teorema della Gerarchia degli Infiniti il mio libro non ne parla, mi dice che alcuni infiniti "crescono" più velocemente di altri, l'unico modo che ho per studiarli è confrontarli con $lim_(x->+oo) f(x)/g(x)$.
ma io so che $x$ tende a $oo$ più velocemente di $log x$, da questo dovrei capire che il numeratore (x) è di grado (ovvero gerarchia) superiore al denom(log x), se è cosi, il limite sarebbe uguale a $+oo$ ed è coerente con il libro
ma questo ragionamento è corretto?
Grazie mille per la pazienza
del teorema della Gerarchia degli Infiniti il mio libro non ne parla, mi dice che alcuni infiniti "crescono" più velocemente di altri, l'unico modo che ho per studiarli è confrontarli con $lim_(x->+oo) f(x)/g(x)$.
ma io so che $x$ tende a $oo$ più velocemente di $log x$, da questo dovrei capire che il numeratore (x) è di grado (ovvero gerarchia) superiore al denom(log x), se è cosi, il limite sarebbe uguale a $+oo$ ed è coerente con il libro
ma questo ragionamento è corretto?Grazie mille per la pazienza
L'ho trasformato per farti vedere che si può semplificare XD
Il ragionamento che fai è corretto, è proprio a questo che porta il teorema che ho citato
Il ragionamento che fai è corretto, è proprio a questo che porta il teorema che ho citato
bene
solo un'ultima cosa ti vorrei chiedere, non conosco tutte le gerarchie di infinito, e non trovo nessuna tabella che le elenca (ciò che si avvicina di più è la voce Stima asintotica su wikipedia ma non è suff).
se incontro funzioni del tipo sin x, cos x, tg x, arctg x queste sai che grado hanno rispetto ad es. x, log x ?
(io penso che sin x e cos x siano infiniti minori di x, (ma anche di log x?) invece tan x maggiore di x e forse anche di log x, e arctg x?)
solo un'ultima cosa ti vorrei chiedere, non conosco tutte le gerarchie di infinito, e non trovo nessuna tabella che le elenca (ciò che si avvicina di più è la voce Stima asintotica su wikipedia ma non è suff).
se incontro funzioni del tipo sin x, cos x, tg x, arctg x queste sai che grado hanno rispetto ad es. x, log x ?
(io penso che sin x e cos x siano infiniti minori di x, (ma anche di log x?) invece tan x maggiore di x e forse anche di log x, e arctg x?)
cmq ti volevo ringraziare per tutto, mi hai aiutato tantissimo, era una settimana che cercavo di capire, sto studiando la matematica da solo e mi ritrovo mille problemi.
Grazie Veramente!
ciao
Grazie Veramente!
ciao
Se mi chiedi questa cosa mi accorgo che non hai capito come funziona il confronto asintotico XD
Prendi la funzione $f(x)=\sin x$: per $x\to +\infty$ è limitata, quindi non c'è problema; la funzione è infinitesima per $x \to x_0,\quad x_0=0$. A questo punto valuto il grado di infinitesimo, facendo il limite del rapporto tra la funzione che sto valutando e la "funzione test" $g(x)=(x-x_0)^\alpha$. Al variare di $\alpha$, quando il $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = l$ con $l$ numero reale finito e DIVERSO DA ZERO, $\alpha$ mi indica il grado di infinitesimo (o di infinito) della funzione $f$.
Adesso valutami il grado di infinitesimo della funzione seno, poi coseno, tangente (seconda relazione fondamentale) e gli altri vengono da sé
Prendi la funzione $f(x)=\sin x$: per $x\to +\infty$ è limitata, quindi non c'è problema; la funzione è infinitesima per $x \to x_0,\quad x_0=0$. A questo punto valuto il grado di infinitesimo, facendo il limite del rapporto tra la funzione che sto valutando e la "funzione test" $g(x)=(x-x_0)^\alpha$. Al variare di $\alpha$, quando il $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = l$ con $l$ numero reale finito e DIVERSO DA ZERO, $\alpha$ mi indica il grado di infinitesimo (o di infinito) della funzione $f$.
Adesso valutami il grado di infinitesimo della funzione seno, poi coseno, tangente (seconda relazione fondamentale) e gli altri vengono da sé
allora, per il grado di infinitesimo di seno ho seguito il seguente ragionamento:
$f(x)=sin x$, $lim_(x->x_0) f(x), per x_0=0$ è $=0$ quindi è un infinitesimo (come hai detto tu)
facendo il confronto con g(x) ottengo: $lim_(x->x_0) sinx/(x-x_0)^alpha$ per far sì che questo limite sia uguale ad $l$ devo scegliere $alpha = 1$ [così il denominatore ha lo stesso grado del numeratore]
ed allora l'ordine di infinitesimo della funzione sin x è 1.
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per il coseno:
$f(x)=cos x$, $lim_(x->x_0) f(x), per x_0=0$ è $=1$ [cos 0 = 1] quindi non è un infinitesimo, ma neanche un infinito
questo non mi è mai capitato, non so che fare 
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per la tangente:
$f(x)=tan x$, $lim_(x->x_0) f(x) [per x_0=0]= lim_(x->x_0) sin x / cos x=+oo$ quindi è un infinito
come funzione di confronto so (dal libro) che si sceglie $g(x)=1/(|x-x_0|)$ quindi
$lim_(x->x_0) f(x)/g(x) =|x-x_0|* sinx / cosx=(|x-x_0|* sinx )/ cosx = 0/1 = infty$
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Il pezzo sul seno è perfetto.
Quello sul coseno ti serve a capire che $f(x)=\cos x$ e $g(x)=x$ non sono infinitesimi simultanei quando $x$ tende a zero, dunque non ha senso confrontarli.
Per la tangente, non mi risulta nessuno dei passaggi che hai fatto, controlla bene perché ci sono due errori abbastanza vistosi!
Quello sul coseno ti serve a capire che $f(x)=\cos x$ e $g(x)=x$ non sono infinitesimi simultanei quando $x$ tende a zero, dunque non ha senso confrontarli.
Per la tangente, non mi risulta nessuno dei passaggi che hai fatto, controlla bene perché ci sono due errori abbastanza vistosi!
buongiorno!!
per il seno sono contentissimo hehe 
per il coseno, è vero non ci avevo pensato alla possibilità che non si potevano confrontare
per la tangente: per $x_0=0$, $ lim_(x->x_0)$ $tan x = 0 $ quindi è infinitesimo
ed allora per $x_0=0$, $ lim_(x->x_0) tan x/(x-x_0)^alpha$ è lo stesso discorso del seno e quindi $alpha$ deve essere $=1$ ordine infinitesimo = 1
forse ieri ero un pò troppo stanco
finalmente ho capito come funziona l'ordine di infinitesimo
ed è anche merito tuo!
ora cercherò di addentrarmi nel calcolo della parte principale di infinitesimo, speriamo non trovo altri problemi (ho l'esame fra pochi giorni)
per il seno sono contentissimo
hehe per il coseno, è vero non ci avevo pensato alla possibilità che non si potevano confrontare
per la tangente: per $x_0=0$, $ lim_(x->x_0)$ $tan x = 0 $ quindi è infinitesimo
ed allora per $x_0=0$, $ lim_(x->x_0) tan x/(x-x_0)^alpha$ è lo stesso discorso del seno e quindi $alpha$ deve essere $=1$ ordine infinitesimo = 1
forse ieri ero un pò troppo stanco
finalmente ho capito come funziona l'ordine di infinitesimo
ed è anche merito tuo!
ora cercherò di addentrarmi nel calcolo della parte principale di infinitesimo, speriamo non trovo altri problemi (ho l'esame fra pochi giorni)
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