Ordinamento

[elatan1]

Come potrei dimostrare che Il campo dei complessi non è totalmente ordinato utilizzando l assioma di ordinamento? Io avrei pensato a questa dimostrazione, ma non so se va. Dateci un'occhiata: $ i>0 $ allora $ i*i>0*i $ di conseguenza $ -1>0 $ ma ancora questo non ci può bastare, allora $ -1>0 rArr1-1>1+0 rArr 0>1 $
Poi ho considerato $ i<0 rArr -1<0 rArr-1+1<0+1 rArr0<1 $
Ed alla fine dico che 0 e 1 non sono confrontabili, cioè non è rispettata la proprietà di totalità. E' corretto? Vi ringrazio

[billyballo2123]

Il problema è che per dimostrare che $0>1$ supponi $i>0$, mentre per dimostrare $0<1$ supponi $i<0$, quindi non arrivi a nessuna contraddizione. La dimostrazione sarebbe valida se, supponendo $i>0$, dimostrassi che $0<1$ e $0>1$, e potresti quindi dire che $0$ e $1$ non sono confrontabili. Io ti suggerisco questa dimostrazione:

Supponiamo di aver definito un ordinamento totale su $\mathbb{C}$; allora per ogni $z_1,z_2\in \mathbb{C}$ tali che $z_1< z_2$e ogni $w> 0$ si ha che $z_1w
Supponiamo ora che $0< i$; ponendo $z_1=0$, $z_2=i$ e $w=i$, per quanto detto sopra $0 Con un ragionamento simmetrico dimostri che non può essere nemmeno $0>i$, da cui deduci che $0$ e $i$ non sono confrontabili.

[elatan1]

Ora tutto torna! Perfetto! Ti ringrazio

[Fioravante Patrone1]

Temo che non torni niente...

Ovvio che il campo dei complessi possa essere totalmente ordinato. Almeno, così capita nella matematica in uso solitamente. O vogliamo fare a meno dell'assioma di scelta, da cui segue il "teorema del buon ordinamente", il quale ci garantisce che ogni insieme può essere ben ordinato (ovvero, totalmente ordinato con qualche gadget in più)?

In realtà, vedendo i ragionamenti fatti, la questione cui pensavate di rispondere non è quella. Ma quella, solita e la cui risposta è ben nota (ed è "no"):
E' possibile definire nel campo dei numeri complessi un ordinamento totale che sia compatibile con le (consuete) operazioni algebriche?

[elatan1]

"Fioravante Patrone":

In realtà, vedendo i ragionamenti fatti, la questione cui pensavate di rispondere non è quella. Ma quella, solita e la cui risposta è ben nota (ed è "no"):
E' possibile definire nel campo dei numeri complessi un ordinamento totale che sia compatibile con le (consuete) operazioni algebriche?

Non ho ben capito se la dimostrazione del fatto che il campo dei numeri complessi sia ordinato sia errata o meno.....

[elatan1]

Io non volevo sapere se il campo dei complessi potesse essere reso totalmente ordinato, ma se lo fosse con le usuali operazioni di somma e prodotto

[billyballo2123]

"Fioravante Patrone":Temo che non torni niente...

Io temo invece che torni tutto.

"Fioravante Patrone":
In realtà, vedendo i ragionamenti fatti, la questione cui pensavate di rispondere non è quella. Ma quella, solita e la cui risposta è ben nota (ed è "no"):
E' possibile definire nel campo dei numeri complessi un ordinamento totale che sia compatibile con le (consuete) operazioni algebriche?

Non stiamo parlando di un ordinamento sull'INSIEME dei numeri complessi. Noi stiamo parlando di un ordinamento sul CAMPO complesso; è quindi ovvio che stiamo tenendo in considerazione anche le operazioni algebriche che rendono l'insieme dei numeri complessi il campo complesso.

[Fioravante Patrone1]

"billyballo2123":
...
Supponiamo di aver definito un ordinamento totale su $\mathbb{C}$; allora per ogni $z_1,z_2\in \mathbb{C}$ tali che $z_1< z_2$e ogni $w> 0$ si ha che $z_1w ...

scripta manent

"billyballo2123":
...
Non stiamo parlando di un ordinamento sull'INSIEME dei numeri complessi. Noi stiamo parlando di un ordinamento sul CAMPO complesso; è quindi ovvio che stiamo tenendo in considerazione anche le operazioni algebriche che rendono l'insieme dei numeri complessi il campo complesso.

perseverare autem diabolicum


Posso magnanimemente concederti che tu avessi in testa abbastanza chiaro dove fosse il problema, ma la matematica è una severa maestra e bisogna rassegnarsi ad esprimersi correttamente, quando si parla in matematichese. Suggerirei una spruzzatina di bourbaki per rendere meno allappante il cocktail di relazioni ed operazioni

[billyballo2123]

"elatan":Come potrei dimostrare che Il campo dei complessi non è totalmente ordinato utilizzando l assioma di ordinamento?

Fioravante Patrone, fin dalla prima frase (ovvero questa sopra che ho citato) si sta parlando di campo complesso, e quindi durante tutto il seguito della discussione si sottintendono le operazioni algebriche del caso.

Bah... comunque fa come ti pare... il forum a me sembra fatto per quelli che vogliono chiarimenti sui propri dubbi. Dal primo messaggio era chiaro quale fosse il dubbio, e dal terzo messaggio era chiaro che il dubbio era stato risolto. Non capisco tutta questa tua voglia di contestare ad ogni costo.