Opinione su calcolo limite parametrico

[francesco.gazzola.18]

Ciao a tutti!
Volevo sapere se è giusto il procedimento con cui ho risolto questo limite parametrico

$lim_(x->0^+)( x^(\alpha)(cosx-1-x^2/2)-x^5/24)/(log(1+x^5)-x^(4+\alpha))$

in particolare vorrei sapere se ho sviluppato fino all'ordine corretto: io ho sviluppato fino al secondo ordine dato che ho letto in internet e su diversi forum che è sempre meglio sviluppare fino al primo termine che non si annulla.

$cosx=1-x^2/2 $

$ log(1+x^5)=x^5-x^10/2$
quindi diventa

$lim_(x->0^+)( x^(\alpha)(1-x^2/2-1-x^2/2)-x^5/24)/(x^5-x^10/2-x^(4+\alpha))$

perciò i casi da studiare sono per alfa=1;<1 e >1.

$alpha=1$
$lim_(x->0^+)(-x^3-x^5/24)*-2/x^10=2/x^7+1/(12x^5)=+oo$

$alpha<1$ per esempio se $alpha=1/2$
$lim_(x->0^+)(-x^(5/2)-x^5/24)/(x^5-x^(9/2)-x^10/2)=(x^(5/2)(1+x^(5/2)/24))/(x^(9/2)(1-x^(1/2)+x^(11/2)/2))=(1+x^(5/2)/24)/(x^2(1-x^(1/2)+x^(11/2)/2))=1/0=+oo$

$alpha>1$ per esempio se $alpha=2$
$lim_(x->0^+)(-x^4-x^5/24)/(x^5-x^10/2-x^6)=(-x^4(1+x/24))/(x^5(1-x^5/2-x))=-1/0=-oo$

[21zuclo]

"95gazz":

perciò i casi da studiare sono per alfa=1;<1 e >1.

perché solo $ \alpha\in(1,+\infty), \alpha \in (-\infty, 1), \alpha=1 $ ?

te lo dice il testo dell'esercizio oppure l'hai detto tu?..
perché secondo me dovevi studiare in base al parametro $\alpha\in RR$

[francicko]

Secondo la mia opinione l'inizio e' corretto, il proseguimento non del tutto, ti faccio notare ad esempio che per $alpha=3>1$ il limite e' tutt'altro che $-infty $, calcolando avrai:
$lim_(x->0) (-x^5-x^5/(24))/(x^5)=-25/24$, che e' come puoi ben vedere un valore finito.

[francesco.gazzola.18]

no i casi li avevo posti io perchè avevo visto che con $alpha=1$ al denominatore $x^5$ si sarebbe semplificato. Quindi i casi da studiare sarebbero $alpha=3$ | $alpha<3$ | $alpha>3$ giusto? Se si come si fa allora a determinare in modo veloce e corretto per quali casi andare a studiare alpha?

[francesco.gazzola.18]

comunque si la consegna è con $α∈R$