Operazioni di funzioni
Salve, oggi mi cimento nel ripasso delle operazioni di funzioni. O meglio, nello studio. In pratica la professoressa di analisi ha inserito nel programma questo "argomento", ma sul libro di testo non vi sono neanche citate, io non ritrovo gli appunti presi a lezione e su internet non sono molto chiari.
In particolare, le operazioni in programma sono: somma, prodotto, quoziente e composizione.
Faccio degli esempi:
se io trovo:
$f(x)=x^2+4x-1$
$g(x)=3x+2$
e devo fare $f(x)+g(x)$, io farei una semplice somma raggruppando simili con simili, e come dominio l'intersezione dei domini.
Se io trovo le stesse funzioni, ma devo fare $f(x)*g(x)$, allora farei una normale moltiplicazione del tipo $(x^2+4x-1)(3x+2)$, e come dominio l'intersezione dei domini.
Per il quoziente, insomma, $f(x)/g(x)$, imponendo $g(x) != 0$, e per la composizione mi blocco.
Mi sapete dire se ho pensato bene riguardo a sopra, e magari delucidazioni sulle funzioni continue?
Grazie
In particolare, le operazioni in programma sono: somma, prodotto, quoziente e composizione.
Faccio degli esempi:
se io trovo:
$f(x)=x^2+4x-1$
$g(x)=3x+2$
e devo fare $f(x)+g(x)$, io farei una semplice somma raggruppando simili con simili, e come dominio l'intersezione dei domini.
Se io trovo le stesse funzioni, ma devo fare $f(x)*g(x)$, allora farei una normale moltiplicazione del tipo $(x^2+4x-1)(3x+2)$, e come dominio l'intersezione dei domini.
Per il quoziente, insomma, $f(x)/g(x)$, imponendo $g(x) != 0$, e per la composizione mi blocco.
Mi sapete dire se ho pensato bene riguardo a sopra, e magari delucidazioni sulle funzioni continue?
Grazie
Risposte
Si tratta semplicemente delle operazioni tra funzioni. Rigorosamente, se $f$ è definita in $A sub RR$ e $g$ è definita in $B sub RR$, $f+g$ è quella funzione che ad ogni $x in A nn B$ associa $f(x)+g(x)$, ossia il valore che $f$ associa ad $x$, sommato al valore che $g$ associa ad $x$. Per la moltiplicazione è la stessa cosa; per la divisione, $f / g$ è definita in $A nn B \\ {x in B : g(x) = 0}$.
La composizione tra $f$ e $g$, invece, è quella funzione che ad ogni $x in A nn f^{-1}(B)$ associa $g(f(x))$, cioè ad $x$ associa quel valore ottenuto mandando prima $x$ in $f(x)$, e poi facendo agire $g$.
(Per definizione, dato $Y sub RR$, la controimmagine di $Y$ tramite $f$ è l'insieme $f^{-1}(Y) = {x in A : f(x) in Y}$.) Perché bisogna mettere in mezzo le controimmagini? Perché non è detto che $f$ mandi $x in A$ in un $y in B$! (Ossia, non è detto che $f(x) in B$.) In tal caso, infatti, $g$ non potrebbe agire su $f(x)$. Nota: la composizione non è commutativa. Cioè, $f(g(x)) != g(f(x))$ in generale. E la cosa peggiore è che i libri a volte indicano la funzione che ti ho descritto come $f @ g$, altre volte come $g @ f$... Quindi facci molta attenzione.
Veniamo al tuo esempio.
$f$ e $g$ sono definite su tutto $RR$, quindi:
$(f+g)(x) = f(x)+g(x) = (x^2 + 4x - 1) + (3x + 2) = x^2 + 7x + 1$, definita su tutto $RR$
$(fg)(x) = f(x)g(x) = (x^2 + 4x - 1)(3x + 2) = 3x^3 + 14x^2 + 5x + 2$, anch'essa definita su tutto $RR$
$(f/g)(x) = f(x)/g(x) = (x^2 + 4x - 1)/(3x+2)$, definita per $3x+2 != 0 hArr x != -2/3$
$f(g(x)) = f(3x+2) = (3x+2)^2 + 4(3x+2) - 1 = 9x^2+24x+11$, definita su tutto $RR$
$g(f(x)) = g(x^2+4x-1) = 3(x^2+4x-1)+2 = 3x^2 + 12x - 1$, definita su tutto $RR$
Le composizioni sono definite su $RR$ perché $f^{-1}(RR) = {x in RR : f(x) in RR} = RR$ banalmente (e analogamente con $g$).
Tra l'altro, nota come $g(f(x))$ è ben diversa da $f(g(x))$.
La composizione tra $f$ e $g$, invece, è quella funzione che ad ogni $x in A nn f^{-1}(B)$ associa $g(f(x))$, cioè ad $x$ associa quel valore ottenuto mandando prima $x$ in $f(x)$, e poi facendo agire $g$.
(Per definizione, dato $Y sub RR$, la controimmagine di $Y$ tramite $f$ è l'insieme $f^{-1}(Y) = {x in A : f(x) in Y}$.) Perché bisogna mettere in mezzo le controimmagini? Perché non è detto che $f$ mandi $x in A$ in un $y in B$! (Ossia, non è detto che $f(x) in B$.) In tal caso, infatti, $g$ non potrebbe agire su $f(x)$. Nota: la composizione non è commutativa. Cioè, $f(g(x)) != g(f(x))$ in generale. E la cosa peggiore è che i libri a volte indicano la funzione che ti ho descritto come $f @ g$, altre volte come $g @ f$... Quindi facci molta attenzione.
Veniamo al tuo esempio.
$f$ e $g$ sono definite su tutto $RR$, quindi:
$(f+g)(x) = f(x)+g(x) = (x^2 + 4x - 1) + (3x + 2) = x^2 + 7x + 1$, definita su tutto $RR$
$(fg)(x) = f(x)g(x) = (x^2 + 4x - 1)(3x + 2) = 3x^3 + 14x^2 + 5x + 2$, anch'essa definita su tutto $RR$
$(f/g)(x) = f(x)/g(x) = (x^2 + 4x - 1)/(3x+2)$, definita per $3x+2 != 0 hArr x != -2/3$
$f(g(x)) = f(3x+2) = (3x+2)^2 + 4(3x+2) - 1 = 9x^2+24x+11$, definita su tutto $RR$
$g(f(x)) = g(x^2+4x-1) = 3(x^2+4x-1)+2 = 3x^2 + 12x - 1$, definita su tutto $RR$
Le composizioni sono definite su $RR$ perché $f^{-1}(RR) = {x in RR : f(x) in RR} = RR$ banalmente (e analogamente con $g$).
Tra l'altro, nota come $g(f(x))$ è ben diversa da $f(g(x))$.
"renyhp":
Si tratta semplicemente delle operazioni tra funzioni. Rigorosamente, se $f$ è definita in $A sub RR$ e $g$ è definita in $B sub RR$, $f+g$ è quella funzione che ad ogni $x in A nn B$ associa $f(x)+g(x)$, ossia il valore che $f$ associa ad $x$, sommato al valore che $g$ associa ad $x$. Per la moltiplicazione è la stessa cosa; per la divisione, $f / g$ è definita in $A nn B \\ {x in B : g(x) = 0}$.
La composizione tra $f$ e $g$, invece, è quella funzione che ad ogni $x in A nn f^{-1}(B)$ associa $g(f(x))$, cioè ad $x$ associa quel valore ottenuto mandando prima $x$ in $f(x)$, e poi facendo agire $g$.
(Per definizione, dato $Y sub RR$, la controimmagine di $Y$ tramite $f$ è l'insieme $f^{-1}(Y) = {x in A : f(x) in Y}$.) Perché bisogna mettere in mezzo le controimmagini? Perché non è detto che $f$ mandi $x in A$ in un $y in B$! (Ossia, non è detto che $f(x) in B$.) In tal caso, infatti, $g$ non potrebbe agire su $f(x)$. Nota: la composizione non è commutativa. Cioè, $f(g(x)) != g(f(x))$ in generale. E la cosa peggiore è che i libri a volte indicano la funzione che ti ho descritto come $f @ g$, altre volte come $g @ f$... Quindi facci molta attenzione.
Veniamo al tuo esempio.
$f$ e $g$ sono definite su tutto $RR$, quindi:
$(f+g)(x) = f(x)+g(x) = (x^2 + 4x - 1) + (3x + 2) = x^2 + 7x + 1$, definita su tutto $RR$
$(fg)(x) = f(x)g(x) = (x^2 + 4x - 1)(3x + 2) = 3x^3 + 14x^2 + 5x + 2$, anch'essa definita su tutto $RR$
$(f/g)(x) = f(x)/g(x) = (x^2 + 4x - 1)/(3x+2)$, definita per $3x+2 != 0 hArr x != -2/3$
$f(g(x)) = f(3x+2) = (3x+2)^2 + 4(3x+2) - 1 = 9x^2+24x+11$, definita su tutto $RR$
$g(f(x)) = g(x^2+4x-1) = 3(x^2+4x-1)+2 = 3x^2 + 12x - 1$, definita su tutto $RR$
Le composizioni sono definite su $RR$ perché $f^{-1}(RR) = {x in RR : f(x) in RR} = RR$ banalmente (e analogamente con $g$).
Tra l'altro, nota come $g(f(x))$ è ben diversa da $f(g(x))$.
Grazie mille!!!
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