Operazioni con distribuzioni e delta di dirac

[LucaGessi]

Salve. Sto studiando elaborazione dei segnali e sono arrivato allo studio delle proprietà della delta di Dirac. A parte la frustrazione per il fatto che si trattano distribuzioni e simili quando nel mio corso ci sono solo accenni, non capisco le dimostrazioni di alcune proprietà della delta.
Ad esempio il primo dubbio è relativo alla trasformata di fourier di un integrale. Secondo le proprietà di fourier tale trasformata corrisponde alla funzione stessa diviso j2πf. Perché con l'introduzione della delta si somma un termine?

[LucaGessi]

Ho notato che nelle proprietà della trasformata spicca a lato per X(0)=0 quindi è un caso particolare.
Non capisco però perché l'integrale di una generica funzione viene scritta come la convoluzione della stessa per il gradino unitario.
Grazie

[dissonance]

Devi scrivere delle formule e delle domande più precise, così non ti si può rispondere.

[LucaGessi]

OK scusate. Non capisco, ad esempio nella dimostrazione dell'integrale della delta di dirac:

$ int_(-oo )^(t)delta (tau) d tau =
int_(-oo)^(+oo)delta(t)*u(t - tau)d tau $

Dove u(t) è la funzione gradino. Non capisco perché vale l'uguaglianza.
Grazie

[dissonance]

Quella è una formula generale , non c'entra la delta di Dirac. E' proprio la stessa cosa scrivere
\[
\int_{-\infty}^\infty f(\tau)u(-\tau)d\tau
\]
e
\[
\int_{-\infty}^0 f(\tau)d\tau.\]

[LucaGessi]

OK grazie. Era più semplice di quello che pensavo .
Nella formula che hai scritto credo che il gradino sia riflesso, quindi in meno tau.

[dissonance]

Si certo, correggo subito. Comunque ci siamo capiti