Operatori essenzialmente autoaggiunti
Ciao ragazzi,
vorrei porvi la seguente questione: è giusto definire un operatore essenzialmente autoaggiunto come un operatore simmetrico che presenta chiusura autoaggiunta? o è sufficiente che abbia un'estensione autoaggiunta? Potete farmi un esempio di un operatore essenzialmente autoaggiunto, ma non autoaggiunto? Ciao e grazie anticipatamente.
vorrei porvi la seguente questione: è giusto definire un operatore essenzialmente autoaggiunto come un operatore simmetrico che presenta chiusura autoaggiunta? o è sufficiente che abbia un'estensione autoaggiunta? Potete farmi un esempio di un operatore essenzialmente autoaggiunto, ma non autoaggiunto? Ciao e grazie anticipatamente.
Risposte
Sono questioni strettamente matematiche, sposto in Analisi matematica.
Comunque, per definizione un operatore è essenzialmente autoaggiunto quando è chiudibile e la sua chiusura è autoaggiunta. Un operatore ess.autoaggiunto è necessariamente simmetrico e non ha altre estensioni autoaggiunte al di fuori della sua chiusura. L'esempio classico di operatore essenzialmente autoaggiunto ma non autoaggiunto è \(-\Delta\) definito sul dominio \(C^\infty_c(\mathbb{R}^n)\).
Prova a consultare questa pagina di Terence Tao:
http://terrytao.wordpress.com/2011/12/2 ... operators/
Comunque, per definizione un operatore è essenzialmente autoaggiunto quando è chiudibile e la sua chiusura è autoaggiunta. Un operatore ess.autoaggiunto è necessariamente simmetrico e non ha altre estensioni autoaggiunte al di fuori della sua chiusura. L'esempio classico di operatore essenzialmente autoaggiunto ma non autoaggiunto è \(-\Delta\) definito sul dominio \(C^\infty_c(\mathbb{R}^n)\).
Prova a consultare questa pagina di Terence Tao:
http://terrytao.wordpress.com/2011/12/2 ... operators/
Grazie per la tua risposta. Scusa se ne approfitto, ma vorrei chiederti dell'altro.
1. Se consideriamo sempre l'operatore laplaciano, ma stavolta con dominio pari al secondo spazio di Sobolev, l'operatore considerato diventa autoaggiunto?
2. Nel caso dell'hamiltoniana del'oscillatore armonico avente come dominio lo spazio delle funzioni a decrescita rapida (o di Schwartz), si tratta di un operatore autoaggiunto o essenzialmente autoaggiunto?
Ciao
Salvatore
1. Se consideriamo sempre l'operatore laplaciano, ma stavolta con dominio pari al secondo spazio di Sobolev, l'operatore considerato diventa autoaggiunto?
2. Nel caso dell'hamiltoniana del'oscillatore armonico avente come dominio lo spazio delle funzioni a decrescita rapida (o di Schwartz), si tratta di un operatore autoaggiunto o essenzialmente autoaggiunto?
Ciao
Salvatore
1) Se intendi \(H^2(\mathbb{R}^n)\), si.
2) Essenzialmente autoaggiunto.
2) Essenzialmente autoaggiunto.
Grazie per le tue risposte.
Quindi anche nel caso dell'oscillatore armonico se l'hamiltoniana presenta dominio pari al secondo spazio di sobolev diventa autoaggiunta?
Quindi anche nel caso dell'oscillatore armonico se l'hamiltoniana presenta dominio pari al secondo spazio di sobolev diventa autoaggiunta?
"Secondo spazio di Sobolev" è una notazione che hai inventato tu o l'hai sentita da qualcuno? Non mi piace molto, meglio dire \(H^2\), è più preciso.
Comunque, non conosco la risposta a questa domanda. A quanto ne so non è troppo importante conoscere il dominio di autoaggiunzione, perché nel caso dell'oscillatore armonico tutte le autofunzioni sono di classe Schwartz e quindi si può fare *tutto* in questo spazio.
Comunque, non conosco la risposta a questa domanda. A quanto ne so non è troppo importante conoscere il dominio di autoaggiunzione, perché nel caso dell'oscillatore armonico tutte le autofunzioni sono di classe Schwartz e quindi si può fare *tutto* in questo spazio.
Se devo dirti la verità, il professore a lezione ha sempre chiamato lo spazio che tu hai indicato come secondo spazio di sobolev...
Comunque, forse non sto afferrando qualcosa: abbiamo detto in precedenza che nel caso dell'hamiltoniana dell'oscillatore armonico con dominio pari allo spazio di schwartz, l'operatore hamiltoniana è essenzialmente autoaggiunto; quindi, secondo te, non ha senso definire un dominio all'interno del quale tale hamiltoniana diventa autoaggiunta?
Grazie.
Salvatore
Comunque, forse non sto afferrando qualcosa: abbiamo detto in precedenza che nel caso dell'hamiltoniana dell'oscillatore armonico con dominio pari allo spazio di schwartz, l'operatore hamiltoniana è essenzialmente autoaggiunto; quindi, secondo te, non ha senso definire un dominio all'interno del quale tale hamiltoniana diventa autoaggiunta?
Grazie.
Salvatore
Se devo dirti la verità, il professore a lezione ha sempre chiamato lo spazio che tu hai indicato come secondo spazio di sobolev...Se l'ha detto il professore è un altro paio di maniche e tu segui i suoi suggerimenti, non i miei.
non ha senso definire un dominio all'interno del quale l'hamiltoniana diventa autoaggiunta...Non ho assolutamente detto questo!
Al contrario, dalla teoria sappiamo che un tale dominio esiste ed è unico (se un operatore è essenzialmente autoaggiunto allora ha un'unica estensione autoaggiunta). Il fatto è che non saprei determinare esplicitamente questo dominio, non ti so dire qual è. Ma come dicevamo questo non è un grosso problema.
Va bene.
Anche nel caso dell'hamiltoniana dell'atomo di idrogeno non conosci "esplicitamente" il dominio nel quale l'operatore diventa autoaggiunto?
Anche nel caso dell'hamiltoniana dell'atomo di idrogeno non conosci "esplicitamente" il dominio nel quale l'operatore diventa autoaggiunto?
Mi sa che in quel caso è \(H^2(\mathbb{R^3})\). Su queste cose feci la tesi di laurea, ti passo il link (chissà mai ti può servire):
https://www.box.com/shared/o9fs4sol7s
L'oscillatore armonico è nel secondo capitolo, l'atomo di idrogeno nel terzo come applicazione del teorema di Kato - Rellich.
https://www.box.com/shared/o9fs4sol7s
L'oscillatore armonico è nel secondo capitolo, l'atomo di idrogeno nel terzo come applicazione del teorema di Kato - Rellich.
Va bene. Ti ringrazio.
ciao
ciao
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