Operatore lineare continuo tra sottospazi di $l^q$ ed $l^p$ con $p<q$
Sia $1 \leq p < q \leq \infty$ e siano $X$ sottospazio infinito dimensionale di $l^q$ e $Y$ sottospazio infinito dimensionale di $l^p$
Sia $T: X \to Y$ un operatore lineare.
E possibile che $T$ sia una operatore lineare continuo?
Grazie
Sia $T: X \to Y$ un operatore lineare.
E possibile che $T$ sia una operatore lineare continuo?
Grazie
Risposte
Certamente. Prendi \(q=\infty\) e
\[
(Tf)_n = (\epsilon_1 f_1, \epsilon_2 f_2, \ldots ), \]
dove \(n\in\mathbb N\) e \((\epsilon_n)_n\in\ell^p\). Allora
\[
\| Tf \|_{\ell^p}^p = \sum_n |\epsilon_n|^p |f_n|^p \le \| f\|_{\ell^\infty}^p \| \epsilon\|_{\ell^p}^p, \]
quindi \(T\colon \ell^\infty \to \ell^p\) è continuo.
Ora non ti so dire se \(T\) è surgettivo, probabilmente dipenderà da \(\epsilon\), ma se \(\epsilon_n\ne 0\) per ogni \(n\) allora \(T\) ha immagine densa perché \(T(c_{00})=c_{00}\) (dove \(c_{00}\) sono le successioni definitivamente nulle).
\[
(Tf)_n = (\epsilon_1 f_1, \epsilon_2 f_2, \ldots ), \]
dove \(n\in\mathbb N\) e \((\epsilon_n)_n\in\ell^p\). Allora
\[
\| Tf \|_{\ell^p}^p = \sum_n |\epsilon_n|^p |f_n|^p \le \| f\|_{\ell^\infty}^p \| \epsilon\|_{\ell^p}^p, \]
quindi \(T\colon \ell^\infty \to \ell^p\) è continuo.
Ora non ti so dire se \(T\) è surgettivo, probabilmente dipenderà da \(\epsilon\), ma se \(\epsilon_n\ne 0\) per ogni \(n\) allora \(T\) ha immagine densa perché \(T(c_{00})=c_{00}\) (dove \(c_{00}\) sono le successioni definitivamente nulle).
grazie dissonance per la tua risposta, ne approfitto per farti un'altra domanda, se $q$ fosse distinto da infinito, la risposta sarebbe ancora affermativa?
Si, con lo stesso esempio.
scusami se insisto, quindi può esistere un operatore lineare avente come dominio un sottospazio infinito dimensionale di $l^2$ e codominio $l^1$ ?
Si, con lo stesso esempio
Qui poi è ancora più facile perché ti basta prendere \(\epsilon\in\ell^2\): allora
\[
\| Tf\|_{\ell^1} \le \|{\epsilon}\|_{\ell^2}\|{f}\|_{\ell^2}\]
non è altro che Cauchy-Schwarz. Prima ho detto che non sapevo se questo operatore fosse surgettivo. Pensandoci un attimo vedo che se \(\epsilon_n\ne 0\) per ogni \(n\) allora \(T\) non può mai essere surgettivo: infatti, \(T\) è ingettivo e se fosse anche surgettivo allora, per il teorema dell'applicazione aperta, esso sarebbe un isomorfismo tra \(\ell^1\) ed \(\ell^2\). Un simile isomorfismo non esiste, perché \(\ell^2\) è di Hilbert ed \(\ell^1\) no.
ok grazie dissonance sei stato gentile e chiaro
Prego. Comunque, l'argomento di non esistenza basato sul teorema dell'applicazione aperta ti preclude l'esistenza di molti operatori di questo tipo. Nello specifico, non esiste nessun operatore lineare continuo \(T\colon \ell^q\to \ell^p\) (con \(phttps://mathoverflow.net/q/112679/13042)
Sono sicuro che la cosa resta valida se \(T\colon X\to Y\) e \(X\subset \ell^q, Y\subset \ell^p\) sono sottospazi chiusi, ma la dimostrazione vattelapesca, tocca spulciare il link. Invece se fai cadere l'ipotesi che \(Y\) sia chiuso ecco che spunta il controesempio dei post precedenti.
Sono sicuro che la cosa resta valida se \(T\colon X\to Y\) e \(X\subset \ell^q, Y\subset \ell^p\) sono sottospazi chiusi, ma la dimostrazione vattelapesca, tocca spulciare il link. Invece se fai cadere l'ipotesi che \(Y\) sia chiuso ecco che spunta il controesempio dei post precedenti.
infatti, dissonance, facevo un di confusione tra la non esistenza e quando può esistere, per questo la mia domanda era sulla pssibilità di esistenza.
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