Operatore illimitato

[5mrkv]

Si chiede di mostrare che \(x\) è illimitato in \(L^{2}[-\infty,\infty]\). Lo si può mostrare verificando che esiste una successione \(f_{n}\) che rendo falsa la definizione di limitatezza per \(x\).

Nella soluzione invece mostra prima che esiste una funzione \(f\in L^{2}[-\infty,\infty]\) tale che \(xf\) non appartiene a tale spazio, perché? Fa lo stesso con l'operatore \(d/dx\).

[gugo82]

Quando ti si assegna un operatore \(T\), in generale, esso non è definito su tutto lo spazio in cui vivono le variabili, ma solo su una sua parte che tu devi determinare (e.g., come nello studio della funzione \(f(x)=\sqrt{x+1}\)): tale parte si chiama dominio dell'operatore \(T\) e si indica con \(\operatorname{Dom} T\), con \(\operatorname{D}(T)\) o \(\mathcal{D}(T)\).
Fatto ciò, puoi pure porti la questione della limitatezza, ma ovviamente devi farlo dentro \( \operatorname{Dom} T\).

Ora, nel tuo caso, l'operatore è del tipo:
\[
(Tu)(x) = x\ u(x)
\]
con \(u\in L^2(\mathbb{R})\). Chiaramente questo operatore non è definito dappertutto in \(L^2\), perché la funzione:
\[
v(x) := \begin{cases} \frac{1}{x} & \text{, se } |x|\geq 1\\
x &\text{, se } |x|\leq 1
\end{cases}
\]
ha immagine:
\[
(Tv)(x) = \begin{cases} 1 & \text{, se } |x|\geq 1\\
x^2 &\text{, se } |x|\leq 1
\end{cases}
\]
che non appartiene ad \(L^2\).
Quindi \(\operatorname{Dom} T \) è un sottoinsieme, anzi addirittura un sottospazio, proprio di \(L^2(\mathbb{R})\).

Fatto ciò, per mostrare che \(T \) non è limitato, ti basta trovare una successione \((u_n)\subset \operatorname{Dom} T\) tale che \(\| Tu_n\|_2\geq n\ \| u_n\|_2\) e questo mi pare si possa fare abbastanza semplicemente.

[5mrkv]

Ok, grazie. Anche se come idea mi sembra più difficile determinare il dominio di un operatore rispetto uno studio di una funzione reale di variabile reale, che di solito ho visto come composizione di funzioni di cui già conosco il dominio di definizione.

[dissonance]

Ciao a tutti! Intervengo sulla questione perché ho faticato a comprenderla, in passato. Specialmente in meccanica quantistica, che poi è l'ambito che interessa 5mrkv (immagino), quando si parla di "operatore non limitato" si sta parlando di due cose: un dominio e una applicazione lineare in esso definita. Formalmente, dato uno spazio di Hilbert $H$ (che fisicamente è lo spazio di Hilbert del sistema in analisi), un operatore non limitato su $H$ è una coppia $(T, D(T))$, dove $D(T)\subset H$ è un sottospazio vettoriale di $H$ e $T: D(T)\to H$ è una applicazione lineare. Quindi il dominio non "si determina". Il dominio va assegnato a priori.

La cosa può sembrare una pignoleria da matematico perditempo ma in realtà ha un significato, anche fisico, profondo. Ad esempio, consideriamo i seguenti sottospazi di $L^2(\mathbb{R})$:
\begin{align}
D_1&=\{ \psi \in L^2(\mathbb{R})\ |\ \psi \in C^1(\mathbb{R}),\ \psi(x)=0\ \text{se}\ x\notin (0, 1)\},\\
D_2&=\{\psi \in L^2(\mathbb{R})\ |\ \psi \in C^1(\mathbb{R})\}.
\end{align}
Definiamo due operatori non limitati su $L^2(\mathbb{R})$: $(T_1, D_1)$ e $(T_2, D_2)$, dove
\begin{align}
T_1\psi=-i\frac{d\psi}{dx}, & \forall \psi \in D_1\\
T_2\psi=-i\frac{d\psi}{dx}, & \forall \psi \in D_2.
\end{align}
Nonostante le apparenze questi operatori sono molto diversi. Il primo è l'operatore momento di una particella obbligata in una porzione limitata di spazio, il secondo invece è il momento di una particella libera. Ecco quindi che, solo cambiando il dominio e lasciando invariata l'espressione analitica di un operatore si stanno descrivendo situazioni fisiche completamente diverse.

[5mrkv]

Ottimo dissonance, grazie.