Numero di nepero
Buonasera,
vi mostro la dimostrazione che c'è sul mio libro, sul numero di Nepero. Ho diversi dubbi al riguardo, quindi vi riporterò le domande una dietro l'altra. Cosi facendo potrei risolvere per conto mio le altre dopo aver risolte quelle precedenti. Quindi se c'è qualcuno armato di santa pazienza si faccia avanti !!
Cominciamo:
si ponga, per ogni \(\displaystyle n\in\mathbb{N};n\ge 1 \), \(\displaystyle a_n=(1+\tfrac{1}{n})^n \).
Si osserva che per \(\displaystyle n=1, a_1=2 \) e inoltre, per la formula del binomio di Newton e per ogni \(\displaystyle n\in\mathbb{N};n\ge 2 \),si ha :
\(\displaystyle a_n=(1+\tfrac{1}{n})^n= **\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \tfrac{1}{n^k}= 1+1+\sum_{k=2}^n \tfrac{n(n-1)...(n.k+1)}{k!}\tfrac{1}{n^k}=2+\sum_{k=2}^n \tfrac{1}{k!}\tfrac{n}{n}\tfrac{n-1}{n}...\tfrac{n-k+1}{n}=2+\sum_{k=2}^n\tfrac{1}{k!}(1-\tfrac{1}{n})...(1-\tfrac{k-1}{n})\).
Da ciò segue che innanzitutto che 2 è il minimo della successione in esame.
domanda perché fa vedere questa catena di uguaglianze, quando benissimo si può osservare che per \(\displaystyle n=1 \) si ottiene il minimo della successione... se è questo l'intento della prima parte della dimostrazione
Grazie per la bontà di collaborazione
cordiali saluti.
vi mostro la dimostrazione che c'è sul mio libro, sul numero di Nepero. Ho diversi dubbi al riguardo, quindi vi riporterò le domande una dietro l'altra. Cosi facendo potrei risolvere per conto mio le altre dopo aver risolte quelle precedenti. Quindi se c'è qualcuno armato di santa pazienza si faccia avanti !!
Cominciamo:
si ponga, per ogni \(\displaystyle n\in\mathbb{N};n\ge 1 \), \(\displaystyle a_n=(1+\tfrac{1}{n})^n \).
Si osserva che per \(\displaystyle n=1, a_1=2 \) e inoltre, per la formula del binomio di Newton e per ogni \(\displaystyle n\in\mathbb{N};n\ge 2 \),si ha :
\(\displaystyle a_n=(1+\tfrac{1}{n})^n= **\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \tfrac{1}{n^k}= 1+1+\sum_{k=2}^n \tfrac{n(n-1)...(n.k+1)}{k!}\tfrac{1}{n^k}=2+\sum_{k=2}^n \tfrac{1}{k!}\tfrac{n}{n}\tfrac{n-1}{n}...\tfrac{n-k+1}{n}=2+\sum_{k=2}^n\tfrac{1}{k!}(1-\tfrac{1}{n})...(1-\tfrac{k-1}{n})\).
Da ciò segue che innanzitutto che 2 è il minimo della successione in esame.
domanda perché fa vedere questa catena di uguaglianze, quando benissimo si può osservare che per \(\displaystyle n=1 \) si ottiene il minimo della successione... se è questo l'intento della prima parte della dimostrazione
Grazie per la bontà di collaborazione
cordiali saluti.
Risposte
Ciao galles90,
L'intento della prima parte della dimostrazione è mostrare che $a_n $ è strettamente crescente, cioè $a_n < a_{n + 1} \qquad \AA n \in \NN_{>0} $
L'intento della seconda parte della dimostrazione, che non hai scritto, è mostrare che la successione $a_n $ è limitata e più precisamente si ha $2 < a_n < 3 \qquad \AA n \in \NN_{>1} $
Dai un'occhiata qui:
http://calvino.polito.it/canuto-tabacco/analisi_1/nepero.pdf
"galles90":
domanda perché fa vedere questa catena di uguaglianze, quando benissimo si può osservare che per n=1 si ottiene il minimo della successione... se è questo l'intento della prima parte della dimostrazione
L'intento della prima parte della dimostrazione è mostrare che $a_n $ è strettamente crescente, cioè $a_n < a_{n + 1} \qquad \AA n \in \NN_{>0} $
L'intento della seconda parte della dimostrazione, che non hai scritto, è mostrare che la successione $a_n $ è limitata e più precisamente si ha $2 < a_n < 3 \qquad \AA n \in \NN_{>1} $
Dai un'occhiata qui:
http://calvino.polito.it/canuto-tabacco/analisi_1/nepero.pdf
Ciao pilloeffe,
grazie per il link che hai postato, li è molto più chiara la dimostrazione. Però data la mia ignoranza
come faccio a dedurre che lo scopo della sola prima parte, è quello di far vedere che la successione è crescente, ovvero da cosa posso capire che la successione :
OOO
è crescente ?
io quello che vedo nelle due righe OOO:è l'applicazione del binomio di newton sulla successione \(\displaystyle a_n \), e che dopo un certo \(\displaystyle n \) cioè abbastanza grande, questa quantità $2+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $ tende a 2, quindi ottengo il minimo della successione.
cordiali saluti
grazie per il link che hai postato, li è molto più chiara la dimostrazione. Però data la mia ignoranza
come faccio a dedurre che lo scopo della sola prima parte, è quello di far vedere che la successione è crescente, ovvero da cosa posso capire che la successione :OOO
"galles90":
\( \displaystyle a_n=(1+\tfrac{1}{n})^n= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \tfrac{1}{n^k}= 1+1+\sum_{k=2}^n \tfrac{n(n-1)...(n.k+1)}{k!}\tfrac{1}{n^k}=2+\sum_{k=2}^n \tfrac{1}{k!}\tfrac{n}{n}\tfrac{n-1}{n}...\tfrac{n-k+1}{n}=2+\sum_{k=2}^n\tfrac{1}{k!}(1-\tfrac{1}{n})...(1-\tfrac{k-1}{n}) \).
è crescente ?
io quello che vedo nelle due righe OOO:è l'applicazione del binomio di newton sulla successione \(\displaystyle a_n \), e che dopo un certo \(\displaystyle n \) cioè abbastanza grande, questa quantità $2+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $ tende a 2, quindi ottengo il minimo della successione.
cordiali saluti
"galles90":
ovvero da cosa posso capire che la successione : [...] è crescente ?
Non lo puoi dedurre solo da quello che hai scritto per $a_n $, ma considerando $a_{n + 1} $ ed il relativo sviluppo col binomio di Newton (che poi è uguale a quello relativo ad $a_n $, basta che scrivi $n + 1$ al posto di $n$), proprio come nel link che ti ho postato. Poi si fa vedere che ogni termine della somma relativa ad $a_{n + 1} $ è maggiore di ogni termine della somma relativa ad $a_n $ e pertanto si conclude che $ a_n < a_{n + 1} \qquad \AA n \in \NN_{>0} $ che è ciò che si vuole dimostrare.
Ecco cosi mi è chiaro 
allora quello che ha fatto fino ad ora, è quello di sviluppare il binomio di Newton, cioè di esplicitarlo.Poi in secondo momento si fa vedere che la successione è crescente. Se è cosi comincia a prendere forma !!
allora quello che ha fatto fino ad ora, è quello di sviluppare il binomio di Newton, cioè di esplicitarlo.Poi in secondo momento si fa vedere che la successione è crescente. Se è cosi comincia a prendere forma !!
Ciao,
Questa è la seconda parte della dimostrazione che si trova sul mio libro. La quale mostra che la successione $a_n$ è limitata superiormente, seguono le testuali parole:
Infatti si ha per ogni $n in mathbb{N};n ge 2$ dalla successione
\( \displaystyle a_n=(1+\tfrac{1}{n})^n= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \tfrac{1}{n^k}= 1+1+\sum_{k=2}^n \tfrac{n(n-1)...(n.k+1)}{k!}\tfrac{1}{n^k}=2+\sum_{k=2}^n \tfrac{1}{k!}\tfrac{n}{n}\tfrac{n-1}{n}...\tfrac{n-k+1}{n}=2+\sum_{k=2}^n\tfrac{1}{k!}(1-\tfrac{1}{n})...(1-\tfrac{k-1}{n}) \)
segue che
$***$ $a_n le 2+sum_{k=2}^n frac{1}{k!}$
sappiamo che $frac{1}{k!} le frac{1}{2^{k-1}}$, quindi si ottiene che \(\displaystyle a_n \le 2+\sum_{k=2}^n \tfrac{1}{2^{k-1}}=2+\sum_{h=1}^{n-1} \tfrac{1}{2^h}=1+\sum_{h=0}^{n-1}\tfrac{1}{2^h} \)
quindi per l'identità \(\displaystyle a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k} \) ed è valida per ogni \(\displaystyle a,b \in \mathbb{R} \) si ottiene in finale :
\(\displaystyle a_n \le 1+ \tfrac{1-\tfrac{1}{2^n}}{1-\tfrac{1}{2}}=1+2-\tfrac{1}{2^{n-1}}<3 \).
Quindi la successione è limitata superiormente, il suo estremo è $e$ il numero di Nepero.
La domanda che mi faccio è sulla successione $***$, cioè perché "diciamo" scompare tutta quella parte, ovviamente lo fa per maggiorare, ma da cosa lo deduco? Se io in precedenza avevo supposto che la quantità
quindi questa quantità $sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $dovrebbe tendere a zero. Ma non avrebbe senso tutto questo.
cordiali saluti
Questa è la seconda parte della dimostrazione che si trova sul mio libro. La quale mostra che la successione $a_n$ è limitata superiormente, seguono le testuali parole:
Infatti si ha per ogni $n in mathbb{N};n ge 2$ dalla successione
\( \displaystyle a_n=(1+\tfrac{1}{n})^n= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \tfrac{1}{n^k}= 1+1+\sum_{k=2}^n \tfrac{n(n-1)...(n.k+1)}{k!}\tfrac{1}{n^k}=2+\sum_{k=2}^n \tfrac{1}{k!}\tfrac{n}{n}\tfrac{n-1}{n}...\tfrac{n-k+1}{n}=2+\sum_{k=2}^n\tfrac{1}{k!}(1-\tfrac{1}{n})...(1-\tfrac{k-1}{n}) \)
segue che
$***$ $a_n le 2+sum_{k=2}^n frac{1}{k!}$
sappiamo che $frac{1}{k!} le frac{1}{2^{k-1}}$, quindi si ottiene che \(\displaystyle a_n \le 2+\sum_{k=2}^n \tfrac{1}{2^{k-1}}=2+\sum_{h=1}^{n-1} \tfrac{1}{2^h}=1+\sum_{h=0}^{n-1}\tfrac{1}{2^h} \)
quindi per l'identità \(\displaystyle a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k} \) ed è valida per ogni \(\displaystyle a,b \in \mathbb{R} \) si ottiene in finale :
\(\displaystyle a_n \le 1+ \tfrac{1-\tfrac{1}{2^n}}{1-\tfrac{1}{2}}=1+2-\tfrac{1}{2^{n-1}}<3 \).
Quindi la successione è limitata superiormente, il suo estremo è $e$ il numero di Nepero.
La domanda che mi faccio è sulla successione $***$, cioè perché "diciamo" scompare tutta quella parte, ovviamente lo fa per maggiorare, ma da cosa lo deduco? Se io in precedenza avevo supposto che la quantità
"galles90":
$ 2+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $ tende a 2
quindi questa quantità $sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $dovrebbe tendere a zero. Ma non avrebbe senso tutto questo.
cordiali saluti
"galles90":
La domanda che mi faccio è sulla successione $\star $, cioè perché "diciamo" scompare tutta quella parte, ovviamente lo fa per maggiorare, ma da cosa lo deduco?
Ogni fattore dell'ultima sommatoria che hai scritto prima della $\star $ è minore di $1$, quindi non fa altro che sostituire ogni fattore con $1$ per maggiorare, come hai intuito, ottenendo semplicemente $sum_{k=2}^n frac{1}{k!} $
ciao,
allora questa scrittura
\( \displaystyle \sum_{k=2}^n\tfrac{1}{k!}(1-\tfrac{1}{n})...(1-\tfrac{k-1}{n}) \)
può avere più di un significato, cioè varia in base al contesto in cui la vediamo ?
Nel mio caso, considerando il mio intendo che è quello di maggiorare, quindi devo avere una quantità più grande di due, vado a considerare i fattori della sommatoria tutti uguale a uno ? proprio perché sto maggiorando
Giusto ?
allora questa scrittura
\( \displaystyle \sum_{k=2}^n\tfrac{1}{k!}(1-\tfrac{1}{n})...(1-\tfrac{k-1}{n}) \)
può avere più di un significato, cioè varia in base al contesto in cui la vediamo ?
Nel mio caso, considerando il mio intendo che è quello di maggiorare, quindi devo avere una quantità più grande di due, vado a considerare i fattori della sommatoria tutti uguale a uno ? proprio perché sto maggiorando
Giusto ?
"galles90":
può avere più di un significato, cioè varia in base al contesto in cui la stiamo guardando ?
Qui non capisco bene cosa intendi...
"galles90":
Nel mio caso, considerando il mio intento che è quello di maggiorare, quindi devo avere una quantità più grande di due, vado a considerare i fattori della sommatoria tutti uguale a uno ? proprio perché sto maggiorando
Giusto ?
ieri scrissi che questa quantità :
"galles90":[/quote] in particolare la quantità $\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $ tende a zero, per n abbastanza grande. Per questo motivo ho scritto quello.
[quote="galles90"]$ 2+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $ tende a 2
"galles90":
in particolare la quantità [...] tende a zero, per $n$ abbastanza grande. Per questo motivo ho scritto quello.
No, sai solo che è positiva e minore di $1$:
$ sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})\cdot ...\cdot (1-\frac{k-1}{n}) < \sum_{k=2}^n frac{1}{k!} \le sum_{k=2}^n frac{1}{2^{k-1}} = sum_{h=1}^{n-1} frac{1}{2^h} = sum_{h=0}^{n-1} frac{1}{2^h} - 1 = $
$ = frac{1 - frac{1}{2^n}}{1- frac{1}{2}} - 1 = 1 - frac{1}{2^{n - 1}} $
Quindi si ha:
$ lim_{n to +\infty} sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})\cdot ...\cdot(1-\frac{k-1}{n}) < lim_{n to +\infty} (1 - frac{1}{2^{n - 1}}) = 1 $
Ho fatto confusione quando il mio libro mi ha fatto notare:
Dicendo le testuali parole:
"Da ciò segue che 2 è il minimo della successione in esame (tale valore viene assunto per n=1)...."
data la mia furbizia, ho interpretato tale scrittura, un modo per farmi vedere soltanto il minimo della successione, ma in realtà ha fatto notare che 2 è il minimo della successione, e in più ha esplicitato la successione, cosa che avevo già detto !!
quando il mio libro mi ha fatto notare:"galles90":[/quote]
$ 2+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n}) $
Dicendo le testuali parole:
"Da ciò segue che 2 è il minimo della successione in esame (tale valore viene assunto per n=1)...."
data la mia furbizia, ho interpretato tale scrittura, un modo per farmi vedere soltanto il minimo della successione, ma in realtà ha fatto notare che 2 è il minimo della successione, e in più ha esplicitato la successione, cosa che avevo già detto !!
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