Numero delle radici distinte dell'equazione complessa
Ciao a tutti, non riesco a trovare il modo più veloce e più semplice di questo esercizio. Ditemi qualche vostro suggerimento per favore. Grazie in anticipo.
Sia $\omega_0=(\cos(\pi/10)+i\sin(\pi/10))/((1+i)(\cos(3/5\pi)+i \sin (3/5\pi)))$. Sia $Q$ il qradrante (bordo incluso) contenente $\omega_0$.
Allora quante sono le radici distinte in $Q$ dell'equazione $z^9=\omega_0$?
io ho pensato di svolgere l'esercizio così, però poi mi blocco perchè non riesco a trovare un metodo
allora per iniziare ho messo a posto $\omega_0$, portando tutto in forma eponenziale e svolgendo i calcoli
$\omega_0= (\exp(i(\pi/10)))/(sqrt(2) \exp(i(\pi/4))(\exp(i(3/5\pi))))=(\exp(i(\pi/10)))/(sqrt(2) \exp(i(\pi/4+3/5\pi)))= (\exp(i(\pi/10-17/20\pi)))/(sqrt(2))= (sqrt (2))/2 \exp(i (-3/4\pi))$
che se mi è più comodo $-3/4\pi = 5/4\pi$
per cui $\omega_0 = (sqrt(2))/2 \exp(i(5/4\pi))$
ora dovrei risolvere l'equazione $z^9=\omega_0 \rightarrow root(9)((sqrt(2))/2) \exp(i((5/4\pi +2k\pi))/9)$ con $k=0,1,2,3,4,5,6,7,8$
allora calcolare tutte quelle radici è un procedimento lungo e laborioso per vedere quante radici distinte si hanno, sicuramente ci saranno anche le coniugate!
Un procedimento/idea per non stare lì a calcolarle tutte?
grazie in anticipo.
Sia $\omega_0=(\cos(\pi/10)+i\sin(\pi/10))/((1+i)(\cos(3/5\pi)+i \sin (3/5\pi)))$. Sia $Q$ il qradrante (bordo incluso) contenente $\omega_0$.
Allora quante sono le radici distinte in $Q$ dell'equazione $z^9=\omega_0$?
io ho pensato di svolgere l'esercizio così, però poi mi blocco perchè non riesco a trovare un metodo
allora per iniziare ho messo a posto $\omega_0$, portando tutto in forma eponenziale e svolgendo i calcoli
$\omega_0= (\exp(i(\pi/10)))/(sqrt(2) \exp(i(\pi/4))(\exp(i(3/5\pi))))=(\exp(i(\pi/10)))/(sqrt(2) \exp(i(\pi/4+3/5\pi)))= (\exp(i(\pi/10-17/20\pi)))/(sqrt(2))= (sqrt (2))/2 \exp(i (-3/4\pi))$
che se mi è più comodo $-3/4\pi = 5/4\pi$
per cui $\omega_0 = (sqrt(2))/2 \exp(i(5/4\pi))$
ora dovrei risolvere l'equazione $z^9=\omega_0 \rightarrow root(9)((sqrt(2))/2) \exp(i((5/4\pi +2k\pi))/9)$ con $k=0,1,2,3,4,5,6,7,8$
allora calcolare tutte quelle radici è un procedimento lungo e laborioso per vedere quante radici distinte si hanno, sicuramente ci saranno anche le coniugate!
Un procedimento/idea per non stare lì a calcolarle tutte?
grazie in anticipo.
Risposte
$[theta_2=1/10pi-1/4pi-3/5pi] rarr [theta_2=-3/4pi] rarr [theta_1=5/4pi]$
Ora, dividi per $[9]$, $[phi=5/36pi] vv [phi=25°]$, ed aggiungi $[8]$ volte $[2/9pi] vv [40°]$. Tieni conto solo di quegli angoli che cadono tra $[pi] vv [180°]$ e $[3/2pi] vv [270°]$. Insomma, in gradi fai prima.
Ora, dividi per $[9]$, $[phi=5/36pi] vv [phi=25°]$, ed aggiungi $[8]$ volte $[2/9pi] vv [40°]$. Tieni conto solo di quegli angoli che cadono tra $[pi] vv [180°]$ e $[3/2pi] vv [270°]$. Insomma, in gradi fai prima.
"speculor":
$[theta_2=1/10pi-1/4pi-3/5pi] rarr [theta_2=-3/4pi] rarr [theta_1=5/4pi]$
Ora, dividi per $[9]$, $[phi=5/36pi] vv [phi=25°]$, ed aggiungi $[8]$ volte $[2/9pi] vv [40°]$. Tieni conto solo di quegli angoli che cadono tra $[pi] vv [180°]$ e $[3/2pi] vv [270°]$. Insomma, in gradi fai prima.
non mi è molto chiaro..pardon XD, ci sono con $5/36\pi=25°$, ma come hai fatto ad ottenere $2/9\pi=40°$?
mentre mi è chiaro che devo tenere conto solamente di quel quardrante $ \pi \leq\theta\leq 3/2\pi$
spiegati meglio per favore con il primo procedimento. Non mi è molto chiaro.. Poi come in gradi faccio prima?
Per determinare velocemente la posizione angolare della prima radice, dopo aver calcolato l'anomalia del radicando compresa tra $[0°]$ e $[360°]$, basta dividere per l'indice $[n]$. Tutte le altre si ottengono aggiungendo iterativamente $[n-1]$ volte $[(360°)/n]$. Del resto, le radici sono i vertici di un poligono regolare di $[n]$ lati. In questo e in altri casi, fai sicuramente prima in gradi perchè non devi sommare delle frazioni.
ok dimmi se ho fatto bene, il risultato a me viene 2
ho ragionato così, porto tutto come mi hai detto in gradi
quindi ho $\exp(i((225°+360°)/9))=\exp(i((585°)/(9)))$
e il $\rho=(sqrt(2)/2)^{1/9}$
ora faccio, devo trovare gli angoli compresi $\pi \leq \theta \leq 3/2\pi$
$(585°)/(9)=65°$,
$(585°)/(8)=73°$
$(585°)/(7)=83$
$(585°)/(6)=97,5°$
$(585°)/(5)=117°$
$(585°)/(4)=146°$
$(585°)/(3)=195°$
$(585°)/(2)=292°$
$(585°)/(1)=585°= 225°+360°$
L'unico angolo compreso tra $[\pi,3/2\pi]$ è $195°$ e $585°=225°+360°$, per l'ulimo angolo ricade sempre su $225°$ compie 1 giro su se stesso!
Quindi la risposta alla domanda è 2
Dimmi se è corretto. Se ci dovesse essere qualcosa di sbagliato scrivilo pure..
ho ragionato così, porto tutto come mi hai detto in gradi
quindi ho $\exp(i((225°+360°)/9))=\exp(i((585°)/(9)))$
e il $\rho=(sqrt(2)/2)^{1/9}$
ora faccio, devo trovare gli angoli compresi $\pi \leq \theta \leq 3/2\pi$
$(585°)/(9)=65°$,
$(585°)/(8)=73°$
$(585°)/(7)=83$
$(585°)/(6)=97,5°$
$(585°)/(5)=117°$
$(585°)/(4)=146°$
$(585°)/(3)=195°$
$(585°)/(2)=292°$
$(585°)/(1)=585°= 225°+360°$
L'unico angolo compreso tra $[\pi,3/2\pi]$ è $195°$ e $585°=225°+360°$, per l'ulimo angolo ricade sempre su $225°$ compie 1 giro su se stesso!
Quindi la risposta alla domanda è 2
Dimmi se è corretto. Se ci dovesse essere qualcosa di sbagliato scrivilo pure..
No, non va bene.
$[theta_1=225°]$
$[phi_1=(225°)/9=25°]$
$[phi_2=25°+(360°)/9=25°+40°=65°]$
$[phi_3=65°+40°=105°]$
$[phi_4=105°+40°=145°]$
$[phi_5=145°+40°=185°]$
$[phi_6=185°+40°=225°]$
$[phi_7=225°+40°=265°]$
$[phi_8=265°+40°=305°]$
$[phi_9=305°+40°=345°]$
Inoltre, non è necessario calcolare il loro modulo comune. In definitiva, le radici da considerare sono $[3]$, $[phi_5=185°]$, $[phi_6=225°]$ e $[phi_7=265°]$.
"speculor":
Per determinare velocemente la posizione angolare della prima radice, dopo aver calcolato l'anomalia del radicando compresa tra $[0°]$ e $[360°]$...
$[theta_1=225°]$
"speculor":
...basta dividere per l'indice $[n]$...
$[phi_1=(225°)/9=25°]$
"speculor":
...tutte le altre si ottengono aggiungendo iterativamente $[n-1]$ volte $[(360°)/n]$...
$[phi_2=25°+(360°)/9=25°+40°=65°]$
$[phi_3=65°+40°=105°]$
$[phi_4=105°+40°=145°]$
$[phi_5=145°+40°=185°]$
$[phi_6=185°+40°=225°]$
$[phi_7=225°+40°=265°]$
$[phi_8=265°+40°=305°]$
$[phi_9=305°+40°=345°]$
Inoltre, non è necessario calcolare il loro modulo comune. In definitiva, le radici da considerare sono $[3]$, $[phi_5=185°]$, $[phi_6=225°]$ e $[phi_7=265°]$.
grazie!..ora ho capito 
grazie 1000..
grazie 1000..
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