Numero complesso. Tema esame. Aiuto

[21zuclo]

Questo è un esercizio da un tema d'esame che non riesco a finire. Aiutatemi per favore. GRAZIE IN ANTICIPO

Scrivere in forma esponenziale il numero complesso
\(\displaystyle z=(\sqrt{3}+\imath)(1-\imath) \)
Fra le 24 radici 24-esime complesse dell'unità, determinare quindi in forma algebrica le due radici diverse da \(\displaystyle -1 \) più vicine a \(\displaystyle -1 \) (nel senso della metrica euclidea \(\displaystyle \mathbb{C} \))

L'ho svolto così.

il numero z in forma esponenziale

\(\displaystyle 2\sqrt{2}e^{\imath\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}\right)}= 2\sqrt{2}e^{\imath\left(-\frac{\pi}{12}\right)} \)

ma non riesco a fare la seconda parte dell'esercizio!..

[Camillo]

Le radici 24-esime dell'unità stanno su una crf di centro l'origine e raggio=1 e sono date dalla formula $w_k=e^(ikpi/12)$ con $k= 0,1,2....23$.
Se $k=12 $ si ottiene il numero $ -1$ , se invece $ k=..., k=... $ si ottengono i numeri più vicini a $-1$.

[21zuclo]

"Camillo":Le radici 24-esime dell'unità stanno su una crf di centro l'origine e raggio=1 e sono date dalla formula $w_k=e^(ikpi/12)$ con $k= 0,1,2....23$.
Se $k=12 $ si ottiene il numero $ -1$ , se invece $ k=..., k=... $ si ottengono i numeri più vicini a $-1$.

ma la formula delle radici non dovrebbe essere \(\displaystyle \rho^{\frac{1}{n}} e^{\imath\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)} \)

e tu invece hai scritto \(\displaystyle e^{\imath k \frac{\pi}{12}} \)

poi va bé per \(\displaystyle k= 0, 1, 2 .......n-1 \)

vorrei capire xkè hai scritto così invece della formula normale..

[Camillo]

Stiamo parlando delle radici ( 24-esime ) dell'unità quindi $rho=1$ e $theta =0 $ .
Di conseguenza la formula generale $ rho^(1/n)*e^(i(theta+2kpi)/n)$ diventa $e^(i*2 kpi /n )$ ma $n=24 $ e quindi ottengo
$e^(i*kpi/12)$.