Numero complesso da risolvere.. boh!!
Scusate se non vi posto nemmeno parte del procedimento ma non so proprio da dove cominciare...
Dovrei riuscire a capire come funziona con de mouvre un numero complesso di questo genere.. cmq vi posto quello uscito all'ultimo esame:
$z^4=1/bar(z)$
Pleaseeee...
Dovrei riuscire a capire come funziona con de mouvre un numero complesso di questo genere.. cmq vi posto quello uscito all'ultimo esame:
$z^4=1/bar(z)$
Pleaseeee...
Risposte
ho capito perfettamente adesso il concetto.
In pratica se hai $z^3=1$ si applica la funzione inversa perchè vogliamo sapere quant'è x
Se avevamo una radice di z allora si applicava direttamente de moovre.
In ogni caso chiedendo il prof di usare de moovre.. sicuramente intendeva in questo caso l'inversa.
GRAZIE MILLE.. mi hai salvato la vita
Ciauuuu
In pratica se hai $z^3=1$ si applica la funzione inversa perchè vogliamo sapere quant'è x
Se avevamo una radice di z allora si applicava direttamente de moovre.
In ogni caso chiedendo il prof di usare de moovre.. sicuramente intendeva in questo caso l'inversa.
GRAZIE MILLE.. mi hai salvato la vita
Ciauuuu
"franced":
[quote="nicola de rosa"]
Poniamo $z=rho*e^(i*theta)$ con $rho>=0,theta in [0,2pi]$
Si ha: $rho^4*e^(i*4theta)=1/(rho*e^(-i*theta))=1/rho*e^(i*theta)$ da cui ${(rho^4=1/rho),(4theta=theta+2kpi):}$ e cioè
${(rho^5-1=0),(theta=(2kpi)/3):}$ $<=>$ ${((rho-1)(rho^4+rho^3+rho^2+rho+1)=0),(theta=(2kpi)/3):}$ $<=>$ ${(rho=1),(theta=(2kpi)/3):}$ per cui $z=e^(i*(2kpi)/3)$
Riconosci che il mio metodo è più sintetico?
Non è la prima volta che mi trovo a risolvere queste equazioni senza la forma esponenziale.
Didatticamente, a mio avviso, è consigliabile ricorrere il meno possibile a tale forma.[/quote]
Non ho da riconoscere un bel nulla. Il tuo metodo va bene in questo caso particolare (anche se avresti dovuto spiegare meglio il modulo unitario:si vede che...la matematica non è visione ma dimostrazione)
ma il metodo che fa uso della forma esponenziale è quello maggiormente e largamente usato che risulta utile in tutti i tipi di equazioni in $CC$ soprattutto in quelle ben più complicate.
"nicola de rosa":
Non ho da riconoscere un bel nulla. Il tuo metodo va bene in questo caso particolare (anche se avresti dovuto spiegare meglio il modulo unitario:si vede che...la matematica non è visione ma dimostrazione)
ma il metodo che fa uso della forma esponenziale è quello maggiormente e largamente usato che risulta utile in tutti i tipi di equazioni in $CC$ soprattutto in quelle ben più complicate.
Non è difficile vedere che se
$z^4 = 1/bar(z)$
fosse vero con $|z| \ne 1$ allora avremmo
una uguaglianza tra numeri aventi modulo diverso.
Non so a cosa ti riferisci con il termine "visione"...
Un po' di intuito comunque non guasta mai, a mio avviso!!
Ritengo più elegante il mio metodo perché è più elementare.
Tutto qui.
Io ho dedotto che $zbar(z)=1$ quindi quando vedo $bar(z)$ cercherò sempre di metterlo accanto ad una z per poterlo eliminare.. è così giusto?
"CyberCrasher":
Io ho dedotto che $zbar(z)=1$ quindi quando vedo $bar(z)$ cercherò sempre di metterlo accanto ad una z per poterlo eliminare.. è così giusto?
Assolutamente NO:
$z*bar(z)=|z|^2$ e nel caso particolare di modulo unitario $z*bar(z)=|z|^2=1$
"nicola de rosa":
[quote="CyberCrasher"]Io ho dedotto che $zbar(z)=1$ quindi quando vedo $bar(z)$ cercherò sempre di metterlo accanto ad una z per poterlo eliminare.. è così giusto?
Assolutamente NO:
$z*bar(z)=|z|^2$ e nel caso particolare di modulo unitario $z*bar(z)=|z|^2=1$[/quote]
Quindi la trasformazione standard è $z*bar(z)=|z|^2$.. ma come ha fatto allora a metterlo uguale a 1? Avrebbe dovuto farlo diventare $z^2$? Per favore spiegatemelo in maniera chiara.. tra mezz'ora vado all'esame
dedotto che la tua equazione si può scrivere $z^3*|z|^2=1$ scrivendola nella forma esponenziale diventa $rho^5*e^(3itheta)=1$, uguagliando i moduli ricavi $|rho^5*e^(3itheta)|=|1|$,il modulo del primo membro è dato dal prodotto tra $rho^5$ che è reale e $|e^(3itheta)|=1$ per definizione, quindi $rho=1$ e in modulo di z è 1
"@melia":
dedotto che la tua equazione si può scrivere $z^3*|z|^2=1$ scrivendola nella forma esponenziale diventa $rho^5*e^(3itheta)=1$, uguagliando i moduli ricavi $|rho^5*e^(3itheta)|=|1|$,il modulo del primo membro è dato dal prodotto tra $rho^5$ che è reale e $|e^(3itheta)|=1$ per definizione, quindi $rho=1$ e in modulo di z è 1
Arrivata all'equazione $rho^5*e^(3itheta)=1$ basta equagliare membro a membro modulo e fase, e per i moduli si ha $rho^5=1->rho=1$ senza applicare ulteriormente il modulo
Oppure si può osservare che $|z|=|overline{z}|$ e quindi da $z^4 overline{z} = 1$ segue prendendo i moduli, $|z^4 overline{z}| = |z|^4 |overline{z}| = |z|^5 = 1$ e quindi $|z|=1$.
Allora, l'esame è andato maluccio cmq c'era un'altro numero complesso con coniugato.
Lui continuava a suggerire di utilizzare de moovre.. e diceva che le coordinate si dovevano prendere polari.. diceva di mettere qualcosa al posto dell'angolo... boh.. vi prego fatemi capire di cosa si tratta e come si svolgono sti esercizi con la coniugata..
L'esercizio di oggi cmq era questo:
$bar(z)^5=i/z^2$
Boh!
Lui continuava a suggerire di utilizzare de moovre.. e diceva che le coordinate si dovevano prendere polari.. diceva di mettere qualcosa al posto dell'angolo... boh.. vi prego fatemi capire di cosa si tratta e come si svolgono sti esercizi con la coniugata..
L'esercizio di oggi cmq era questo:
$bar(z)^5=i/z^2$
Boh!
"CyberCrasher":
Allora, l'esame è andato maluccio cmq c'era un'altro numero complesso con coniugato.
Lui continuava a suggerire di utilizzare de moovre.. e diceva che le coordinate si dovevano prendere polari.. diceva di mettere qualcosa al posto dell'angolo... boh.. vi prego fatemi capire di cosa si tratta e come si svolgono sti esercizi con la coniugata..
L'esercizio di oggi cmq era questo:
$bar(z)^5=i/z^2$
Boh!
$z=rho*e^(i*theta)$ con $rho>=0,theta in [0,2pi]$
Si ha:
$(rho*e^(-i*theta))^5=(e^(i*pi/2))/((rho*e^(i*theta))^2)->rho^5*e^(-5i*theta)=1/(rho^2)*e^(i*(pi/2-2theta))$ da cui
${(rho^5=1/(rho^2)),(-5theta=pi/2-2theta+2kpi):}$ $<=>$ ${(rho^7-1=0),(theta=-pi/6+2kpi/3):}$
$<=>$ ${(rho=1),(theta=-pi/6+2kpi/3):}$ da cui $z=e^(i(-pi/6+2kpi/3))$
In altro modo l'equazione è $(bar z)^5*z^2=i$ $<=>$ $(bar z)^3*(bar(z)*z)^2=(bar z)^3*|z|^4=1$ e poichè il modulo è unitario l'equazione diventa $(bar z)^3=i$ da cui per de Moivre $bar z=e^(i/3*(pi/2+2kpi))=e^(i*(pi/6+2kpi/3))$ con $k=0,1,2$ da cui $z=e^(i*(-pi/6+2kpi/3))$ con $k=0,1,2$
"CyberCrasher":
L'esercizio di oggi cmq era questo:
$bar(z)^5=i/z^2$
Allora, prendiamo i moduli:
$|z|^5 = (1)/(|z|^2)$ (ho sfruttato il fatto che $|bar z| = |z|$)
otteniamo:
$|z|^7 = 1$ da cui, ovviamente, $|z|=1$.
Scriviamo ora l'equazione iniziale nella forma:
$bar z^5 \cdot z^2 = i$ da cui $bar z^3 \cdot (bar z^2 \cdot z^2) = i$;
$bar z^3 \cdot 1 = i$ (ho sfruttato il fatto che $bar z^2 \cdot z^2 = (bar z \cdot z)^2 = (|z|^2)^2 = 1^4 = 1$)
Otteniamo:
$bar z^3 = i$ e quindi: $(bar z^3)/i = 1$;
coniugando otteniamo: $(z^3)/(-i) = 1$
che possiamo riscrivere così (si tenga conto che $i^3=-i$):
$(z/i)^3 = 1$ cioè $w^3 = 1$ con $w=z/i$
Le soluzioni dell'equazione sono dunque le radici terze dell'unità moltiplicate per $i$ (infatti $z=w \cdot i$);
in sostanza basta prendere il triangolo equilatero che fornisce le radici terze dell'unità
e ruotarlo in senso antiorario di 90 gradi.
In definitiva:
$z_1 = i$
$z_2 = -\sqrt(3)/2 - 1/2 i$
$z_3 = \sqrt(3)/2 - 1/2 i$
"franced":
[quote="CyberCrasher"]L'esercizio di oggi cmq era questo:
$bar(z)^5=i/z^2$
In definitiva:
$z_1 = i$
$z_2 = -\sqrt(3)/2 - 1/2 i$
$z_3 = \sqrt(3)/2 - 1/2 i$
[/quote]
Si osservi questo:
le soluzioni sono simmetriche rispetto all'asse immaginario.
Se $z$ è una soluzione dell'equazione anche $- bar z$ è soluzione.
Si noti (per chi non lo sapesse) che la funzione $z \to - bar z$ fornisce il numero complesso
simmetrico rispetto all'asse immaginario.
Visto che ci sono generalizzo la formula per la simmetria di un numero complesso
rispetto ad una retta passante per il numero complesso $z_0$ ed inclinata di $\varphi$ rad
rispetto all'asse reale:
$\psi:$ $z \to e^(2i\varphi) (bar z - bar z_0) + z_0$
(ho il pallino delle trasformazioni con i numeri complessi...)
rispetto ad una retta passante per il numero complesso $z_0$ ed inclinata di $\varphi$ rad
rispetto all'asse reale:
$\psi:$ $z \to e^(2i\varphi) (bar z - bar z_0) + z_0$
(ho il pallino delle trasformazioni con i numeri complessi...)
Mi sono dato matematicaaaaaaaaaaaaaaaaaa... tutti a mareeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
Credevo fosse andato maluccio ma in realtà era tutto giusto.. ciauuu
Credevo fosse andato maluccio ma in realtà era tutto giusto.. ciauuu
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo