Numero complesso da risolvere.. boh!!
Scusate se non vi posto nemmeno parte del procedimento ma non so proprio da dove cominciare...
Dovrei riuscire a capire come funziona con de mouvre un numero complesso di questo genere.. cmq vi posto quello uscito all'ultimo esame:
$z^4=1/bar(z)$
Pleaseeee...
Dovrei riuscire a capire come funziona con de mouvre un numero complesso di questo genere.. cmq vi posto quello uscito all'ultimo esame:
$z^4=1/bar(z)$
Pleaseeee...
Risposte
$z^4 = 1/bar(z)$
si vede subito che le soluzioni avranno modulo uguale a 1.
Moltiplico per $bar(z)$:
$z^4 \cdot bar(z) = 1$
che è equivalente a:
$z^3 \cdot z \cdot bar(z) = 1$
cioè
$z^3 \cdot (z \cdot bar(z)) = 1$
Sfruttiamo ora l'informazione $|z|=1$, che equivale a $|z|^2=1$
ma sappiamo che risulta $|z|^2 = z \cdot bar(z)$, quindi:
$z^3 \cdot |z|^2 = 1$
e quindi, in definitiva:
$z^3 = 1$.
L'ho fatta un po' troppo lunga, ma spero che si capisca tutto..
si vede subito che le soluzioni avranno modulo uguale a 1.
Moltiplico per $bar(z)$:
$z^4 \cdot bar(z) = 1$
che è equivalente a:
$z^3 \cdot z \cdot bar(z) = 1$
cioè
$z^3 \cdot (z \cdot bar(z)) = 1$
Sfruttiamo ora l'informazione $|z|=1$, che equivale a $|z|^2=1$
ma sappiamo che risulta $|z|^2 = z \cdot bar(z)$, quindi:
$z^3 \cdot |z|^2 = 1$
e quindi, in definitiva:
$z^3 = 1$.
L'ho fatta un po' troppo lunga, ma spero che si capisca tutto..
Ma scusa.. e finisce qui? Il testo chiedeva l'uso di de moovre.
Da quello che hai scritto deduco e mi trascrivo dunque che:
$z⋅bar(z)=|z|=|z^2|=z^2=1$
Ma a questo punto mi viene spontaneo continuare a dire (procedendo con l'esercizio):
$z^3=1$
$z⋅z^2=1$
$z⋅1=1$
$z=1$
Troppo facile no? Mi pare un po un'assurdità quindi correggimi please.. dovrei capire quando e come posso usare queste trasformazioni.. e soprattutto come si procede 
Da quello che hai scritto deduco e mi trascrivo dunque che:
$z⋅bar(z)=|z|=|z^2|=z^2=1$
Ma a questo punto mi viene spontaneo continuare a dire (procedendo con l'esercizio):
$z^3=1$
$z⋅z^2=1$
$z⋅1=1$
$z=1$
Troppo facile no? Mi pare un po un'assurdità quindi correggimi please.. dovrei capire quando e come posso usare queste trasformazioni.. e soprattutto come si procede
"CyberCrasher":
Ma scusa.. e finisce qui? Il testo chiedeva l'uso di de moovre.
Scusa, quando hai $z^3=1$ significa che le soluzioni sono le radici terze dell'unità.
Spero che tu le sappia calcolare!
"CyberCrasher":
Da quello che hai scritto deduco e mi trascrivo dunque che:
$z \cdot \bar(z) = |z| = |z^2| = z^2 = 1$
Ma a questo punto mi viene spontaneo continuare a dire (procedendo con l'esercizio):
$z^3=1$
$z \cdot z^2=1$
$z \cdot 1=1$
$z=1$
No, hai commesso degli errori.
L'identità è
$|z|^2 = z \cdot bar(z)$
"CyberCrasher":
Scusate se non vi posto nemmeno parte del procedimento ma non so proprio da dove cominciare...
Dovrei riuscire a capire come funziona con de mouvre un numero complesso di questo genere.. cmq vi posto quello uscito all'ultimo esame:
$z^4=1/bar(z)$
Pleaseeee...
Poniamo $z=rho*e^(i*theta)$ con $rho>=0,theta in [0,2pi]$
Si ha: $rho^4*e^(i*4theta)=1/(rho*e^(-i*theta))=1/rho*e^(i*theta)$ da cui ${(rho^4=1/rho),(4theta=theta+2kpi):}$ e cioè
${(rho^5-1=0),(theta=(2kpi)/3):}$ $<=>$ ${((rho-1)(rho^4+rho^3+rho^2+rho+1)=0),(theta=(2kpi)/3):}$ $<=>$ ${(rho=1),(theta=(2kpi)/3):}$ per cui $z=e^(i*(2kpi)/3)$
"nicola de rosa":
Poniamo $z=rho*e^(i*theta)$ con $rho>=0,theta in [0,2pi]$
Si ha: $rho^4*e^(i*4theta)=1/(rho*e^(-i*theta))=1/rho*e^(i*theta)$ da cui ${(rho^4=1/rho),(4theta=theta+2kpi):}$ e cioè
${(rho^5-1=0),(theta=(2kpi)/3):}$ $<=>$ ${((rho-1)(rho^4+rho^3+rho^2+rho+1)=0),(theta=(2kpi)/3):}$ $<=>$ ${(rho=1),(theta=(2kpi)/3):}$ per cui $z=e^(i*(2kpi)/3)$
Riconosci che il mio metodo è più sintetico?
Non è la prima volta che mi trovo a risolvere queste equazioni senza la forma esponenziale.
Didatticamente, a mio avviso, è consigliabile ricorrere il meno possibile a tale forma.
Scusate ma adesso la confusione è aumentata
A parte il fatto che ho visto l'esercizio di nicola e sono impazzito
Cioè è un criterio standard quello di porre quei valori oppure dovevo arrivarci in qualche modo? (cosa assurda)
e ancora.. ma un metodo più semplice non c'è?
Il punto in cui arriva franced è $z^3=1$.. come si procede in maniera semplice senza dover fare intuizioni?
A parte il fatto che ho visto l'esercizio di nicola e sono impazzito
Cioè è un criterio standard quello di porre quei valori oppure dovevo arrivarci in qualche modo? (cosa assurda)
e ancora.. ma un metodo più semplice non c'è?
Il punto in cui arriva franced è $z^3=1$.. come si procede in maniera semplice senza dover fare intuizioni?
"CyberCrasher":
...
Il punto in cui arriva franced è $z^3=1$.. come si procede in maniera semplice senza dover fare intuizioni?
"Fare intuizioni"?
Io ho risolto in modo assolutamente normale, nessun trucco!
si ma non si procede?
Qualcuno mi aiuta? devo risolvere questo numero complesso.. per favore qualcuno mi spiega come si procede? scusate l'up
"CyberCrasher":
Qualcuno mi aiuta? devo risolvere questo numero complesso.. per favore qualcuno mi spiega come si procede? scusate l'up
Scusa, ma ti sono state fornite due soluzioni, entrambe corrette.
Cosa vuoi di più?
allora.. la prima soluzione raggiunge l'espressione $z^3=1$ e l'altra $z=e^(i⋅2kπ/3)$
Sono entrambe complete? se si perchè sono diverse tra loro?
Sono entrambe complete? se si perchè sono diverse tra loro?
Le radici terze dell'unità sono:
$z = 1$
$z = -1/2 + i \sqrt(3)/2$
$z = -\1/2 - i \sqrt(3)/2$
$z = 1$
$z = -1/2 + i \sqrt(3)/2$
$z = -\1/2 - i \sqrt(3)/2$
Ecco è questo procedimento che non capisco..
cioè a me l'angolo viene 2pi quindi poi i 3 risultati vengono sempre 1.. saresti così cortese da mostrarmi i procedimenti e le formule da cui ti ricavi i risultati?
grazie infinite
cioè a me l'angolo viene 2pi quindi poi i 3 risultati vengono sempre 1.. saresti così cortese da mostrarmi i procedimenti e le formule da cui ti ricavi i risultati?
grazie infinite
"CyberCrasher":
cioè a me l'angolo viene 2pi quindi poi i 3 risultati vengono sempre 1.. saresti così cortese da mostrarmi i procedimenti e le formule da cui ti ricavi i risultati?
Io mi riferisco sempre al piano.
Per le radici terze dell'unità faccio riferimento al triangolo equilatero inscritto
nella circonferenza di raggio unitario ed avente un vertice nel punto $(1;0)$.
scusa non ti seguo.. perdona il mio essere ottuso ma vorrei vedere i procedimenti per capirci qualcosa.. grazie per la pazienza
Uppettino.. raga mi manca solo questo da capire.. come procedo dopo aver ottenuto $x^3=1$
"CyberCrasher":
allora.. la prima soluzione raggiunge l'espressione $z^3=1$ e l'altra $z=e^(i⋅2kπ/3)$
Sono entrambe complete? se si perchè sono diverse tra loro?
Le radici n-esime dell'unità sono date da $cos (k(2 pi)/n)+i sin (k(2 pi)/n)$ con $k=0, 1,...,n-1$
Nel caso delle radici terze si ottiene $cos (k(2 pi)/3)+i sin (k(2 pi)/3)$ con $k=0, 1, 2$
da cui per $k=0$ si ha $z_0=cos 0+i sin 0=1$,
con $k=1$ si ottiene $z_1=cos ((2 pi)/3)+i sin ((2 pi)/3)=-1/2+i sqrt3/2$,
con $k=2$ si ottiene $z_2=cos ((4 pi)/3)+i sin ((4 pi)/3)=-1/2-i sqrt3/2$
allo stesso modo nell'altra soluzione assegnando a k i valori 0, 1, 2 ottieni gli stessi identici risultati, ma scritti in forma esponenziale.
GRAZIEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
Il procedimento è chiarissimo e l'ho capito perfettamente.
In pratica se mi trovo di fronte il coniugato lo posiziono in modo tale da essere in prodotto con z e lo faccio diventare 1 ($bar(z)z=1)
Poi il procedimento da @melia è perfetto e l'ho capito. Sei un genio
(o una genia O.o)
L'ultima cosa che ti chiedo è se questa formula che hai usato è la formula di de moovre perchè il prof richiedeva questo procedimento all'esame.
GRAZIE
Il procedimento è chiarissimo e l'ho capito perfettamente.
In pratica se mi trovo di fronte il coniugato lo posiziono in modo tale da essere in prodotto con z e lo faccio diventare 1 ($bar(z)z=1)
Poi il procedimento da @melia è perfetto e l'ho capito. Sei un genio
(o una genia O.o)L'ultima cosa che ti chiedo è se questa formula che hai usato è la formula di de moovre perchè il prof richiedeva questo procedimento all'esame.
GRAZIE
"CyberCrasher":
L'ultima cosa che ti chiedo è se questa formula che hai usato è la formula di de moovre perchè il prof richiedeva questo procedimento all'esame.
GRAZIE
Sì, quasi, nel senso che è proprio l'inversa della formula di De Moivre che puoi trovare qui http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_De_Moivre
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