Numeri Reali e Numeri Naturali
Io non avevo mai sentito di questa introduzione assiomatica così sono andato a dare un'occhiata: su wikipedia ho trovato questa introduzione assiomatica:
Poi ho dato un'occhiata al rudin e c'ho trovato che il sistema reale è introdotto con questo teorema:
Adesso, so che non avrei mai dovuto avere la presunzione di andare a vedere un nuovo argomento da solo, ma da quello che ho letto mi sembra di avere capito che in questa introduzione assiomatica non si definiscono (per $RR$) né il concetto di numero né quello di numero reale, ma si parte dal fatto che esista questo insieme $RR$ che ha dei non meglio precisati elementi, si assume che assiomaticamente sia ordinato e che sia un campo e che per esso vale l'assioma di dedekind; poi si dimostra che questo insieme è unico con gli isomorfismi; quindi si dimostra che $QQ$ è un suo sottoinsieme e quindi si definiscono rigorosamente i numeri reali.
In altri termini, fino a quando non si completa tutta l'avventura, da ignorante, sarei anche autorizzato a pensare che gli elementi di $RR$, i famigerati numeri reali, siano delle giraffe???
Mi sento un imbecille ad avere fatto questa domanda (:oops:) ma ormai l'argomento l'ho tirato fuori, quindi....abbiate solo pietà di me
Sia $RR$ l'insieme di tutti i numeri reali. Allora:
* L'insieme $RR$, con somma e moltiplicazione usuali, è un campo, essendo valide le proprietà associativa, commutativa, distributiva e di esistenza degli elementi neutri e inversi rispetto a entrambe le operazioni.
* Il campo $RR$ è ordinato, cioè esiste un ordinamento totale, il $leq$ usuale, tale che, per tutti i numeri reali $x$, $y$ e $z$:
1) per ogni coppia $x,y \in \RR$ si ha $x \leq y vv y \leq x$ (dicotomia)
2) $x \leq x$ per ogni $x \in \RR$ (riflessiva)
3) se $x \leq y ^^ y \leq x$ allora $x = y$ (antisimmetrica)
4) da $x \leq y$ e $y \leq z$ segue che $x \leq z$ (transitiva)
* Assioma di Dedekind: L'ordinamento è completo, cioè ogni sottoinsieme non vuoto $S$ di $RR$ con un maggiorante in $RR$ ha un estremo superiore (chiamato anche estremo) in $RR$.
Detto in modo più preciso, dati due campi ordinati completi $RR_1$ e $RR_2$, esiste un unico isomorfismo da $RR_1$ a $RR_2$. Questa proprietà permette di pensare ad essi come ad un unico oggetto matematico.
Poi ho dato un'occhiata al rudin e c'ho trovato che il sistema reale è introdotto con questo teorema:
Esiste un campo ordinato $RR$ che ha la proprietà dell'estremo superiore. $RR$ contiene $QQ$
Gli elementi di $RR$ si chiamano numeri reali e nella dimostrazione si costruisce $RR$ da $QQ$.
Adesso, so che non avrei mai dovuto avere la presunzione di andare a vedere un nuovo argomento da solo, ma da quello che ho letto mi sembra di avere capito che in questa introduzione assiomatica non si definiscono (per $RR$) né il concetto di numero né quello di numero reale, ma si parte dal fatto che esista questo insieme $RR$ che ha dei non meglio precisati elementi, si assume che assiomaticamente sia ordinato e che sia un campo e che per esso vale l'assioma di dedekind; poi si dimostra che questo insieme è unico con gli isomorfismi; quindi si dimostra che $QQ$ è un suo sottoinsieme e quindi si definiscono rigorosamente i numeri reali.
In altri termini, fino a quando non si completa tutta l'avventura, da ignorante, sarei anche autorizzato a pensare che gli elementi di $RR$, i famigerati numeri reali, siano delle giraffe???
Mi sento un imbecille ad avere fatto questa domanda (:oops:) ma ormai l'argomento l'ho tirato fuori, quindi....abbiate solo pietà di me
Risposte
"WiZaRd":
Io non avevo mai sentito di questa introduzione assiomatica così sono andato a dare un'occhiata: su wikipedia ho trovato questa introduzione assiomatica:
Sia $RR$ l'insieme di tutti i numeri reali. Allora:
* L'insieme $RR$, con somma e moltiplicazione usuali, è un campo, essendo valide le proprietà associativa, commutativa, distributiva e di esistenza degli elementi neutri e inversi rispetto a entrambe le operazioni.
* Il campo $RR$ è ordinato, cioè esiste un ordinamento totale, il $leq$ usuale, tale che, per tutti i numeri reali $x$, $y$ e $z$:
1) per ogni coppia $x,y \in \RR$ si ha $x \leq y vv y \leq x$ (dicotomia)
2) $x \leq x$ per ogni $x \in \RR$ (riflessiva)
3) se $x \leq y ^^ y \leq x$ allora $x = y$ (antisimmetrica)
4) da $x \leq y$ e $y \leq z$ segue che $x \leq z$ (transitiva)
* Assioma di Dedekind: L'ordinamento è completo, cioè ogni sottoinsieme non vuoto $S$ di $RR$ con un maggiorante in $RR$ ha un estremo superiore (chiamato anche estremo) in $RR$.
Detto in modo più preciso, dati due campi ordinati completi $RR_1$ e $RR_2$, esiste un unico isomorfismo da $RR_1$ a $RR_2$. Questa proprietà permette di pensare ad essi come ad un unico oggetto matematico.
Poi ho dato un'occhiata al rudin e c'ho trovato che il sistema reale è introdotto con questo teorema:
Esiste un campo ordinato $RR$ che ha la proprietà dell'estremo superiore. $RR$ contiene $QQ$
Gli elementi di $RR$ si chiamano numeri reali e nella dimostrazione si costruisce $RR$ da $QQ$.
Adesso, so che non avrei mai dovuto avere la presunzione di andare a vedere un nuovo argomento da solo, ma da quello che ho letto mi sembra di avere capito che in questa introduzione assiomatica non si definiscono (per $RR$) né il concetto di numero né quello di numero reale, ma si parte dal fatto che esista questo insieme $RR$ che ha dei non meglio precisati elementi, si assume che assiomaticamente sia ordinato e che sia un campo e che per esso vale l'assioma di dedekind; poi si dimostra che questo insieme è unico con gli isomorfismi; quindi si dimostra che $QQ$ è un suo sottoinsieme e quindi si definiscono rigorosamente i numeri reali.
In altri termini, fino a quando non si completa tutta l'avventura, da ignorante, sarei anche autorizzato a pensare che gli elementi di $RR$, i famigerati numeri reali, siano delle giraffe???
Mi sento un imbecille ad avere fatto questa domanda (:oops:) ma ormai l'argomento l'ho tirato fuori, quindi....abbiate solo pietà di me
ma guarda che definisci parendo da Q le operazioni su R e una volta definite DIMOSTRI che esso è un campo e che vale l'assioma di dedekind...
mi sfugge la tua domanda forse...
"WiZaRd":
In altri termini, fino a quando non si completa tutta l'avventura, da ignorante, sarei anche autorizzato a pensare che gli elementi di $RR$, i famigerati numeri reali, siano delle giraffe???
E perché no?
WiZard, vedo che cominci ad entrare nello spirito dell'università 
Spesso (secondo la mia esperienza) non è tanto importante sapere cosa sia una cosa, ma piuttosto è importante conoscere le proprietà che ha e che la caratterizzano (ove per "la caratterizzano" intendo qualcosa come "ne individuano univocamente la classe di isomorfismo").
Ricordo in particolare una frase pronunciata da un nostro professore che voleva farci capire che uno spazio affine non era uno spazio vettoriale travestito, ma proprio qualcosa di indipendente: volendo spiegarci che si trattava di un insieme dotato di un'azione di uno spazio vettoriale, parlava così degli elementi dello spazio affine: "possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!".
Da allora non disdegno di pensare ai punti del piano come a patate. Li distinguo in base alla forma e al livello di cottura
Spesso (secondo la mia esperienza) non è tanto importante sapere cosa sia una cosa, ma piuttosto è importante conoscere le proprietà che ha e che la caratterizzano (ove per "la caratterizzano" intendo qualcosa come "ne individuano univocamente la classe di isomorfismo").
Ricordo in particolare una frase pronunciata da un nostro professore che voleva farci capire che uno spazio affine non era uno spazio vettoriale travestito, ma proprio qualcosa di indipendente: volendo spiegarci che si trattava di un insieme dotato di un'azione di uno spazio vettoriale, parlava così degli elementi dello spazio affine: "possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!".
Da allora non disdegno di pensare ai punti del piano come a patate. Li distinguo in base alla forma e al livello di cottura
Anche il mio professore di geometria quando ci ha parlato per la prima volta degli spazi vettoriali ha detto una cosa del genere: "vi ricordate i vettori che avete studiato al liceo? Sì? Bene: dimenticateli; prendete un insieme qualunque: se ha quelle proprietà che vi ho indicato prima allora i suoi elementi sono vettori! Se andate a comprare una mela e aggiungete una mela avete ancora una mela: bene! una mela è un vettore!!!"
Quindi, in questa introduzione assiomatica, devo pensare all'insieme dei numeri reali come ad un insieme qualunque i cui elementi si chiamano numeri reali;di questo insieme ne postulo assiomaticamente l'esistenza, sempre assiomaticamente postulo la validità delle proprietà che lo rendono un campo ordinato e, ancora assiomaticamente, dico che per esso vale il postulato di Dedekind; fino a questo punto non so cosa sono gli elementi di questo insieme, so solo che si chiamano numeri reali ma non so se i numeri reali sono o meno dei numeri, potrebbero essere anche delle patate; poi arriva qualcuno che dimostra che questo insieme è unico e come lui non c'è nessuno; dopo, arriva uno stile Rudin, che mi dimostra che $RR$ ha $QQ$ come sottoinsieme: a questo punto posso dire che gli elementi di $RR$, che io pensavo fossero patate, sono effettivamente dei numeri. Poi, dopo avere visto che sono effettivamente dei numeri (o anche in alternativa a questa definizione assiomatica) li posso definire in modo costruttivo con le sezioni di Dedkind o le successioni di Cauchy.
Quanto sono lontano dalla comprensione "in stile università" di questa introduzione assiomatica?
Quindi, in questa introduzione assiomatica, devo pensare all'insieme dei numeri reali come ad un insieme qualunque i cui elementi si chiamano numeri reali;di questo insieme ne postulo assiomaticamente l'esistenza, sempre assiomaticamente postulo la validità delle proprietà che lo rendono un campo ordinato e, ancora assiomaticamente, dico che per esso vale il postulato di Dedekind; fino a questo punto non so cosa sono gli elementi di questo insieme, so solo che si chiamano numeri reali ma non so se i numeri reali sono o meno dei numeri, potrebbero essere anche delle patate; poi arriva qualcuno che dimostra che questo insieme è unico e come lui non c'è nessuno; dopo, arriva uno stile Rudin, che mi dimostra che $RR$ ha $QQ$ come sottoinsieme: a questo punto posso dire che gli elementi di $RR$, che io pensavo fossero patate, sono effettivamente dei numeri. Poi, dopo avere visto che sono effettivamente dei numeri (o anche in alternativa a questa definizione assiomatica) li posso definire in modo costruttivo con le sezioni di Dedkind o le successioni di Cauchy.
Quanto sono lontano dalla comprensione "in stile università" di questa introduzione assiomatica?
"WiZaRd":
Quanto sono lontano dalla comprensione "in stile università" di questa introduzione assiomatica?
Non stai andando male
Meno male
Ritieni ci sia qualche cosa d'altro da aggiungere per completare l'argomento "introduzione assiomatoca"?
Ritieni ci sia qualche cosa d'altro da aggiungere per completare l'argomento "introduzione assiomatoca"?
Questa definizione rozza (almeno a mio avviso) è efficace: ti ringrazio per averla tirata fuori.
Il mio limite consiste proprio nell'essere nel terzo millennio. Quando ho letto di questa definizione assiomatica dove si assume che esistano gli "enti" numeri reali senza sapere se sono numeri o meno mi ha fatto uno strano effetto, mi son detto "se sono numeri e questo lo insegnano addirittura alle scuole medie, perchè dovrei supporre, almeno inizialmente, che non so cosa sono e li chiamo come li chiamo perchè mi paice il nome???", proprio perchè nel terzo millennio a scuola ti insegnano che quelli sono numeri.
Da quì tutto il casino che ho fatto.
Il mio limite consiste proprio nell'essere nel terzo millennio. Quando ho letto di questa definizione assiomatica dove si assume che esistano gli "enti" numeri reali senza sapere se sono numeri o meno mi ha fatto uno strano effetto, mi son detto "se sono numeri e questo lo insegnano addirittura alle scuole medie, perchè dovrei supporre, almeno inizialmente, che non so cosa sono e li chiamo come li chiamo perchè mi paice il nome???", proprio perchè nel terzo millennio a scuola ti insegnano che quelli sono numeri.
Da quì tutto il casino che ho fatto.
Nel momento in cui riesci a parlare di somma e prodotto, di una relazione d'ordine totale compatibile, di completezza e di altre belle cose così, che importanza ha che i suoi elementi siano effettivamente numeri o meno?
Non ti so dire molto sulla tua introduzione assiomatica perché l'unica definizione che ho visto è quella che parte da Q e lo "completa" (ma non ci sono mai ritornato).
Non ti so dire molto sulla tua introduzione assiomatica perché l'unica definizione che ho visto è quella che parte da Q e lo "completa" (ma non ci sono mai ritornato).
Sì, la cosa migliore da fare a questo livello è dare la definizione per via assiomatica, più avanti vedrai delle costruzioni possibili dei reali.
Ok. Grazie.
Aggiornamento: il prof. di Analisi ha introdotto il sistema dei numeri reali in modo assiomatico e poi, con i numeri reali ha costruito i naturali, i razionali e i relativi interi. Alla fine però ha detto che non ha comunque detto cos'è un numero reale (che resta dunque qualche cosa di astratto e non meglio definito o precisato), questo perchè avrebbe dovuto prima dire cos'è un razionale e per fare questo avrebbe dovuto dire cos'è un intero e prima ancora cos'è un naturale.
Adesso ho una curiosità che non riguarda quello che fatto il prof. Mi chiedevo quanto segue: dare la definizione di numero naturale equivale a dare la definizione di numero? Mi spiego meglio: la definizione di numero naturale è la stessa di numero e basta?
Grazie a tutti e buon proseguimento di serata.
Adesso ho una curiosità che non riguarda quello che fatto il prof. Mi chiedevo quanto segue: dare la definizione di numero naturale equivale a dare la definizione di numero? Mi spiego meglio: la definizione di numero naturale è la stessa di numero e basta?
Grazie a tutti e buon proseguimento di serata.
Cos'è la definizione di numero? 
Non lo so, infatti lo sto chiedendo.
Se non ho capito male (probabilissimo che invece sia così) è possibile definire il concetto di numero naturale (con gli insiemi); ora volevo sapere se anche il concetto di numero può essere definito in modo preciso o se rimane un ente matematico astratto e basta.
Se non ho capito male (probabilissimo che invece sia così) è possibile definire il concetto di numero naturale (con gli insiemi); ora volevo sapere se anche il concetto di numero può essere definito in modo preciso o se rimane un ente matematico astratto e basta.
Certo, i numeri naturali si definiscono induttivamente con gli insiemi, facendoli diventare semplici insiemi. (e.g $0=\emptyset, 1={\emptyset}, 2={\emptyset, {\emptyset}}, ...$.
Comunque, dire "numero" non penso significhi molto, se non si precisa il tipo di numero.
Comunque, dire "numero" non penso significhi molto, se non si precisa il tipo di numero.
Bella domanda, caro Wizard.
Ti rispondo citando una famosa frase di Hilbert: "Faremmo meglio a chiamare gli enti della geometria non punti, rette e piani, ma bicchieri, tovaglioli e forchette" (o qualcosa del genere, vado a memoria).
Questo fatto per svincolare completamente gli oggetti della matematica dalla nostra intuizione (che a volte può portarci fuori strada). Quello che conta sono solo le proprietà degli oggetti. Questa è, in fondo, l'essenza del metodo assiomatico.
Ciao,
L.
Ti rispondo citando una famosa frase di Hilbert: "Faremmo meglio a chiamare gli enti della geometria non punti, rette e piani, ma bicchieri, tovaglioli e forchette" (o qualcosa del genere, vado a memoria).
Questo fatto per svincolare completamente gli oggetti della matematica dalla nostra intuizione (che a volte può portarci fuori strada). Quello che conta sono solo le proprietà degli oggetti. Questa è, in fondo, l'essenza del metodo assiomatico.
Ciao,
L.
Capì. Solo un altra cosa: i numeri rimangono sempre delle entità astratte vero? Chiarisco: quando li si introduce assiomaticamente mi rendo conto che rimangono delle entità astratte; ma anche quando si parte da questa definizione induttiva che hai detto tu restano delle entità astratte o facendoli diventare degli insiemi non sono più entità astratte proprio perchè sono diventati insiemi?
P.S.: perdonami se le mie domande sembrano quelle di un rincoglionito ma sono sveglio da stamattina alle 6.00 e dopo tre giorni che ho dormito solo 5 ore a notte il cervellino mio comincia a fare ancor meno di quel poco che fa.
P.S.: perdonami se le mie domande sembrano quelle di un rincoglionito ma sono sveglio da stamattina alle 6.00 e dopo tre giorni che ho dormito solo 5 ore a notte il cervellino mio comincia a fare ancor meno di quel poco che fa.
"WiZaRd":
Se non ho capito male (probabilissimo che invece sia così) è possibile definire il concetto di numero naturale (con gli insiemi); ora volevo sapere se anche il concetto di numero può essere definito in modo preciso o se rimane un ente matematico astratto e basta.
Anche questa è una buona domanda. I numeri complessi possono essere definiti a partire dai reali, i reali dai razionali, i razionali dagli interi, gli interi dai naturali... E poi?
C'è un limite a questo "scaricabarile"?
La risposta è no. Da qualche parte bisogna partire. Aggiungi poi che nessun sistema assiomatico che definisca l'artimetica e che sia non contraddittorio può essere completo (cioè dimostrare tutte le verità aritmetiche) e capisci che la parola "fine" non potrà mai essere detta.
"WiZaRd":
i numeri rimangono sempre delle entità astratte vero? Chiarisco: quando li si introduce assiomaticamente mi rendo conto che rimangono delle entità astratte; ma anche quando si parte da questa definizione induttiva che hai detto tu restano delle entità astratte o facendoli diventare degli insiemi non sono più entità astratte proprio perchè sono diventati insiemi?
Ehi, tutti gli oggetti matematici sono astratti! Poi alcuni oggetti vengono introdotti in un modo (per esempio: costruttivamente), altri in un altro (per esempio: come classi di oggetti che soddisfano un sistema di assiomi).
"TomSawyer":
Certo, i numeri naturali si definiscono induttivamente con gli insiemi, facendoli diventare semplici insiemi. (e.g $0=\emptyset, 1={\emptyset}, 2={\emptyset, {\emptyset}}, ...$.
Quello è uno dei (tanti) modi per introdurli, e nemmeno uno dei più felici, IMHO.
ci vorrano due anni per dimostrare che il numero di nepero è un numero trascendente quindi tranquillo per la definizione dell'insieme dei numeri reali.
Cmq alla definizione manca forse una cosa, quella di essere un insieme denso, cioè presi due qualsiasi numeri reali, ne esiste un terzo compreso tra i due.
A presto Mari
Cmq alla definizione manca forse una cosa, quella di essere un insieme denso, cioè presi due qualsiasi numeri reali, ne esiste un terzo compreso tra i due.
A presto Mari
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