Numeri Reali e Numeri Naturali
Io non avevo mai sentito di questa introduzione assiomatica così sono andato a dare un'occhiata: su wikipedia ho trovato questa introduzione assiomatica:
Poi ho dato un'occhiata al rudin e c'ho trovato che il sistema reale è introdotto con questo teorema:
Adesso, so che non avrei mai dovuto avere la presunzione di andare a vedere un nuovo argomento da solo, ma da quello che ho letto mi sembra di avere capito che in questa introduzione assiomatica non si definiscono (per $RR$) né il concetto di numero né quello di numero reale, ma si parte dal fatto che esista questo insieme $RR$ che ha dei non meglio precisati elementi, si assume che assiomaticamente sia ordinato e che sia un campo e che per esso vale l'assioma di dedekind; poi si dimostra che questo insieme è unico con gli isomorfismi; quindi si dimostra che $QQ$ è un suo sottoinsieme e quindi si definiscono rigorosamente i numeri reali.
In altri termini, fino a quando non si completa tutta l'avventura, da ignorante, sarei anche autorizzato a pensare che gli elementi di $RR$, i famigerati numeri reali, siano delle giraffe???
Mi sento un imbecille ad avere fatto questa domanda (:oops:) ma ormai l'argomento l'ho tirato fuori, quindi....abbiate solo pietà di me
Sia $RR$ l'insieme di tutti i numeri reali. Allora:
* L'insieme $RR$, con somma e moltiplicazione usuali, è un campo, essendo valide le proprietà associativa, commutativa, distributiva e di esistenza degli elementi neutri e inversi rispetto a entrambe le operazioni.
* Il campo $RR$ è ordinato, cioè esiste un ordinamento totale, il $leq$ usuale, tale che, per tutti i numeri reali $x$, $y$ e $z$:
1) per ogni coppia $x,y \in \RR$ si ha $x \leq y vv y \leq x$ (dicotomia)
2) $x \leq x$ per ogni $x \in \RR$ (riflessiva)
3) se $x \leq y ^^ y \leq x$ allora $x = y$ (antisimmetrica)
4) da $x \leq y$ e $y \leq z$ segue che $x \leq z$ (transitiva)
* Assioma di Dedekind: L'ordinamento è completo, cioè ogni sottoinsieme non vuoto $S$ di $RR$ con un maggiorante in $RR$ ha un estremo superiore (chiamato anche estremo) in $RR$.
Detto in modo più preciso, dati due campi ordinati completi $RR_1$ e $RR_2$, esiste un unico isomorfismo da $RR_1$ a $RR_2$. Questa proprietà permette di pensare ad essi come ad un unico oggetto matematico.
Poi ho dato un'occhiata al rudin e c'ho trovato che il sistema reale è introdotto con questo teorema:
Esiste un campo ordinato $RR$ che ha la proprietà dell'estremo superiore. $RR$ contiene $QQ$
Gli elementi di $RR$ si chiamano numeri reali e nella dimostrazione si costruisce $RR$ da $QQ$.
Adesso, so che non avrei mai dovuto avere la presunzione di andare a vedere un nuovo argomento da solo, ma da quello che ho letto mi sembra di avere capito che in questa introduzione assiomatica non si definiscono (per $RR$) né il concetto di numero né quello di numero reale, ma si parte dal fatto che esista questo insieme $RR$ che ha dei non meglio precisati elementi, si assume che assiomaticamente sia ordinato e che sia un campo e che per esso vale l'assioma di dedekind; poi si dimostra che questo insieme è unico con gli isomorfismi; quindi si dimostra che $QQ$ è un suo sottoinsieme e quindi si definiscono rigorosamente i numeri reali.
In altri termini, fino a quando non si completa tutta l'avventura, da ignorante, sarei anche autorizzato a pensare che gli elementi di $RR$, i famigerati numeri reali, siano delle giraffe???
Mi sento un imbecille ad avere fatto questa domanda (:oops:) ma ormai l'argomento l'ho tirato fuori, quindi....abbiate solo pietà di me
Risposte
IMHO, questo modo di definirli (introdotto da von Neumann) è il più felice, sia per la rigorosità della logica che per l'aritmetica. Un'altra proposta per definirli fu $0=\emptyset, 1={\emptyset}, 2={{\emptyset}},...$, che non è molto efficace, evidentemente..
"TomSawyer":
IMHO, questo modo di definirli (introdotto da von Neumann) è il più felice, sia per la rigorosità della logica che per l'aritmetica. Un'altra proposta per definirli fu $0=\emptyset, 1={\emptyset}, 2={{\emptyset}},...$, che non è molto efficace, evidentemente..
Eh già, è la prima cosa che verrebbe in mente disponendo solo dell'insieme vuoto e del doubleton ma il buon ordine non coincide con la relazione di appartenenza.
Sono d'accordo per me oramai i numeri li penso come Von Neumann...
"WiZaRd":
Capì. Solo un altra cosa: i numeri rimangono sempre delle entità astratte vero? Chiarisco: quando li si introduce assiomaticamente mi rendo conto che rimangono delle entità astratte; ma anche quando si parte da questa definizione induttiva che hai detto tu restano delle entità astratte o facendoli diventare degli insiemi non sono più entità astratte proprio perchè sono diventati insiemi?
P.S.: perdonami se le mie domande sembrano quelle di un rincoglionito ma sono sveglio da stamattina alle 6.00 e dopo tre giorni che ho dormito solo 5 ore a notte il cervellino mio comincia a fare ancor meno di quel poco che fa.
Quella fatta da Wizard a me sembra una domanda estremamente intelligente. Purtroppo ora non ho tempo per spiegarmi, lo faro' nei prossimi giorni.
"TomSawyer":
IMHO, questo modo di definirli (introdotto da von Neumann) è il più felice, sia per la rigorosità della logica che per l'aritmetica. Un'altra proposta per definirli fu $0=\emptyset, 1={\emptyset}, 2={{\emptyset}},...$, che non è molto efficace, evidentemente..
Le definizioni di $\NN$ sono tante, tutte naturalmente equivalenti fra loro (in fondo, occorre un'infinità numerabile di assiomi di esistenza!).
È solo una questione di gusti. Quell'impostazione non mi piace molto: costruire i numeri naturali usando a ripetizione l'insieme vuoto mi sembra abbastanza... kafkiano.
Quindi quale costruzione preferisci?
I numeri naturali, oltre ad essere definiti induttivamente attraverso gli insiemi, possono anche essere introdotti assiomaticamente con gli assiomi di Peano?
Operata questa introduzione assiomatica si possono poi costruire gli interi relativi, i razionali e i reali: giusto?
Operata questa introduzione assiomatica si possono poi costruire gli interi relativi, i razionali e i reali: giusto?
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