Numeri periodici

[daisu1]

scusatemi se non è la sezione giusta, ma vorrei chiedervi se esiste un teorema nel calcolo infinitesimale (ai tempi del liceo mi sembra che il prof ce ne avesse accennato, ma potrei sbagliare) che dimostra che i numeri periodici , o certi numeri periodici, equivalgono a numeri limitati, ad es. 0,999... = 1.
se ci fosse, vi sarei grato se me ne scriveste anche la dimostrazione.
grazie mille.

[daisu1]

allora, un piccolo aggiornamento, ho trovato la dimostrazione proprio del caso particolare 0,999... = 1 (incredibilmente semplice tra l'altro) , ma quello di cui ho bisogno sarebbe la dimostrazione generale...

[dissonance]

Ma la dimostrazione di cosa, esattamente? Non hai dato un enunciato preciso. Cosa sarebbe un "numero limitato"?

[daisu1]

per numero limitato intendo un numero decimale limitato. la dimostrazione che cerco è che tutti i numeri periodici equivalgono al loro limite (o meglio hanno un limite cui equivalgono), ad es. 2,333... = 2,4 ; 77,5888... = 77,59 e così via.

[axpgn]

Gli esempi che hai scritto non rappresentano TUTTI i numeri periodici (prova con $1/7$) inoltre quello non è un limite e soprattutto non si equivalgono (prova a farne la differenza, non è nulla)

Cordialmente, Alex

[daisu1]

"axpgn":Gli esempi che hai scritto non rappresentano TUTTI i numeri periodici (prova con $1/7$) inoltre quello non è un limite e soprattutto non si equivalgono (prova a farne la differenza, non è nulla)

Cordialmente, Alex

gli esempi sono - appunto - esempi, non casi generali, la mia domanda riguarda proprio questo: esiste una dimostrazione generale del caso speciale 0,999... = 1 ?

la dimostrazione di 0,999... = 1 è molto semplice.
0,999... = c
9,999... = 10c
9,999... - 0,999... = 10c - c
9 = 9c
1 = c
1 = 0,999...

in altre parole (e spero di aver scritto il quesito correttamente): sia x la parte periodica di qualsiasi numero decimale periodico il cui periodo abbia una sola cifra, e x' ciascuno dei decimali di x, si dimostri che x = x' + k, dove k è una costante.

è possibile domostrare questa cosa, che mi sembra abbastanza intuitiva? grazie

[axpgn]

Premesso che il quesito a me non è chiaro (potresti fare un esempio), quello che ritieni "il caso generale" è falso.

Esempio come il tuo:

$0.333...=c$
$3.333...=10c$
$3.333...-0.333...=10c-c$
$3=9c$
$c=1/3$

Cordialmente, Alex

[daisu1]

e infatti c = 1/3 è corretto, ma è del tutto inutile per dimostrare che 0,333... = 0,k dove k appartiene a N (io prima nella fretta ho scritto 2,333... = 2,4, ma è ovviamente sbagliato). a me serve, se esiste, una dimostrazione valida per qualunque numero periodico (con periodo a una cifra, così semplifichiamo rispetto a 1/7) della quale 0,999... = 1 sia un caso particolare.
ad es.
0,999... = 1 VERO
0,333... = 0,4 FALSO
0,333... = 0,34 FALSO
0,333... = 0,K VERO
9,999... = 10 VERO
5,999... = 6 VERO

[axpgn]

Continui a voler dimostrare una cosa falsa (premesso che non è chiarissimo quello che vuoi dimostrare)
Non esiste un $k$ per cui $0.333...=0.k$ mentre $5.999...=6$ semplicemente perché $5.999...=5+0.999...=5+1$.
Non ci sono altri casi.


Cordialmente, Alex

[daisu1]

"axpgn":Non esiste un k per cui 0.333...=0.k

potresti dimostrarlo per favore? a me sembra ovvio , ma non saprei dimostrarlo, che 0,999... = 1 sia un caso particolare di una legge generale dei numeri periodici o certi numeri periodici. potrei sbagliarmi ovviamente.

[axpgn]

Come "potresti dimostrarlo"?

Se $k=3$ allora $0.333...-0.3=0.033...!=0$
Se $k=4$ allora $0.4-0.333...=0.0666...!=0$

Ti lascio gli altri $k$ ...

[daisu1]

"axpgn":Come "potresti dimostrarlo"?

Se $k=3$ allora $0.333...-0.3=0.033...!=0$
Se $k=4$ allora $0.4-0.333...=0.0666...!=0$

Ti lascio gli altri $k$ ...

per dimostrarlo hai dovuto stabilire che 0,4-0,333... = 0,0666... cioè 0,4 = 0,333... + 0,0666... = 0,3999... , dunque che 0,3999... = 0,4, il che va dimostrato e corrisponde esattamente al mio quesito iniziale.
peraltro a me va benissimo che sia dimostrato che non esiste k tale per cui 0,333... = 0,k, se dimostri che 0,3999... = 0,4.

[daisu1]

che poi in realtà a pensarci 0,0999... = 0,1 è facile da dimostrare (da 0,999.. = 1), dunque 0,3 + 0,0999... = 0,4. ma questo dimostra che non è vero che non ci sono altri casi oltre a 0,999... = 1 , anzi ce ne sono infiniti.

[axpgn]

Ma non ti rendi conto che è sempre lo stesso caso? Ci rinuncio ...

[daisu1]

no non è per niente lo stesso caso. 1 è una cosa, 0,1 è un'altra, 0,01 è un'altra ancora (di conseguenza 5,999 = 6 è una cosa e 0,3999=0,4 è un'altra). ovviamente a te sembra lo stesso caso perché conosci solo la dimostrazione di 0,999... = 1 (divisa per 10, 100, 1000, ecc). ma probabilmente da qualche parte qualcuno ha dimostrato il caso generale (a sensazione, usando un sistema numerico non decimale).

[dissonance]

Un commento. Questa qui sotto non è una vera e propria dimostrazione, ma è un cosiddetto "metodo euristico" (simile a questo, molto famoso). Infatti, sottrarre due numeri con infinite cifre decimali, come nel terzo passaggio, non è una operazione ben definita a priori.

"daisu":

la dimostrazione di 0,999... = 1 è molto semplice.
0,999... = c
9,999... = 10c
9,999... - 0,999... = 10c - c
9 = 9c
1 = c
1 = 0,999...

in altre parole (e spero di aver scritto il quesito correttamente): sia x la parte periodica di qualsiasi numero decimale periodico il cui periodo abbia una sola cifra, e x' ciascuno dei decimali di x, si dimostri che x = x' + k, dove k è una costante.

Per una dimostrazione rigorosa bisogna introdurre il concetto di "serie numerica". Il numero $0.999...$ è una maniera di scrivere la serie
\[\tag{1}
0.999...=\sum_{n=1}^\infty \frac{9}{(10)^n}=9\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(10)^n}.\]
Questa è una serie convergente (cosa che va prima ben definita, e poi dimostrata), ed è una serie geometrica, del tipo
\[
\sum_{n=1}^\infty q^n = \frac{q}{1-q}, \]
dove \(q\in(-1, 1)\). Questa ultima formula è quella che contiene la risposta alla domanda di daisu.

Applicando l'ultima formula con \(q=1/10\), troviamo subito dalla (1) che
\[
0.999...=9\frac{1}{9}=1,\]
come volevamo dimostrare. Analogamente si dimostrano tutte le altre formule di questo tipo, senza bisogno di metodi euristici e trucchetti vari.

[kilogrammo1]

Un numero decimale è il quoziente di due numeri naturali calcolato con la nota regola di divisione, non è difficile dimostrare che il quoziente di due numeri naturali non può avere periodo uguale a 9, pertanto espressioni come $0,9999999999....$ non rappresentano numeri periodici

[daisu1]

"dissonance":Un commento. Questa qui sotto non è una vera e propria dimostrazione, ma è un cosiddetto "metodo euristico" (simile a questo, molto famoso). Infatti, sottrarre due numeri con infinite cifre decimali, come nel terzo passaggio, non è una operazione ben definita a priori.
[quote="daisu"]

la dimostrazione di 0,999... = 1 è molto semplice.
0,999... = c
9,999... = 10c
9,999... - 0,999... = 10c - c
9 = 9c
1 = c
1 = 0,999...

in altre parole (e spero di aver scritto il quesito correttamente): sia x la parte periodica di qualsiasi numero decimale periodico il cui periodo abbia una sola cifra, e x' ciascuno dei decimali di x, si dimostri che x = x' + k, dove k è una costante.

Per una dimostrazione rigorosa bisogna introdurre il concetto di "serie numerica". Il numero $0.999...$ è una maniera di scrivere la serie
\[\tag{1}
0.999...=\sum_{n=1}^\infty \frac{9}{(10)^n}=9\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(10)^n}.\]
Questa è una serie convergente (cosa che va prima ben definita, e poi dimostrata), ed è una serie geometrica, del tipo
\[
\sum_{n=1}^\infty q^n = \frac{q}{1-q}, \]
dove \(q\in(-1, 1)\). Questa ultima formula è quella che contiene la risposta alla domanda di daisu.

Applicando l'ultima formula con \(q=1/10\), troviamo subito dalla (1) che
\[
0.999...=9\frac{1}{9}=1,\]
come volevamo dimostrare. Analogamente si dimostrano tutte le altre formule di questo tipo, senza bisogno di metodi euristici e trucchetti vari.[/quote]

grazie mille , gentilissimo. quello che mi serve è proprio la dimostrazione che tutti o più probabilmente certi insiemi (non so quali) di numeri periodici equivalgono a serie convergenti! il punto è questo: intuitivamente mi sembra assurdo che solo le serie 0,999... o 7,49999... o 5,88999... convergano. deve per forza esserci un insieme generale di numeri periodici che soddisfi il criterio q / (1-q) [o un altro]

[ghira1]

"kilogrammo":Un numero decimale è il quoziente di due numeri naturali calcolato con la nota regola di divisione

Cosa?

[gugo82]

Se $b$ è la base di un sistema di numerazione, allora ogni numero $x$ illimitato periodico che ha periodo $overline(b-1)$ coincide con il numero limitato $y$ che ha ultima cifra coincidente col successivo dell'ultima cifra dell'antiperiodo di $x$; in altre parole, se $x=M,a_1a_2...a_(m-1)a_m overline(b-1)$ (con $a_1,...,a_m in \{0,1,..., b-1\}$ ed $a_m != b-1$) allora $x=y=M,a_1a_2...a_(m-1)(a_m + 1)$.
Questo si dimostra facilmente sfruttando le serie geometriche.

Dim.: Per definizione di rappresentazione in base $b$, per la proprietà distributiva e per la somma della serie geometrica di ragione $1/b$, si ha:

\[ \begin{split}
x &= M + \frac{a_1}{b} + \frac{a_2}{b^2} + \cdots + \frac{a_m}{b^m} + \sum_{n=m+1}^\infty \frac{b-1}{b^n}\\
& = M + \frac{a_1}{b} + \frac{a_2}{b^2} + \cdots + \frac{a_m}{b^m} + \frac{b-1}{b^{m+1}}\ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{b^n}\\
& = M + \frac{a_1}{b} + \frac{a_2}{b^2} + \cdots + \frac{a_m}{b^m} + \frac{b-1}{b^{m+1}}\ \frac{b}{b-1} \\
& = M + \frac{a_1}{b} + \frac{a_2}{b^2} + \cdots + \frac{a_m}{b^m} + \frac{1}{b^m} \\
&= M + \frac{a_1}{b} + \frac{a_2}{b^2} + \cdots + \frac{a_m + 1}{b^m} \\
&= y
\end{split}\]

Dunque, in base $10$, l'unico allineamento che genera numeri limitati è $bar(9)$; ma, ad esempio, in base $2$, l'allineamento che genera numeri limitati è $bar(1)$ (o, in base $16$, è $bar(F)$ -se non ricordo male le cifre- ).

[axpgn]

Ho letto questa dimostrazione:
Tra due numeri reali distinti ce ne deve sempre essere un terzo ma tra $1$ e $0.\bar(9)$ non ce ne sono, quindi $1$ e $0.\bar(9)$ non sono distinti.

Che ne dite?


Cordialmente, Alex