Numeri complessi: forma algebrica, parte reale e immaginaria, forma trigonometrica
Ciao a tutti. Ho questo esercizio che ho avuto la fortuna di acchiappare durante il primo esame di analisi 1 (ahime non l'ho superato 
)
Visto che tra pochi giorni devo riprovarlo e sono sicuro che esca di nuovo un esercizio del genere vorrei delle spiegazioni e degli aiuti perchè io e i numeri complessi ci odiamo a morte.
Allora ecco il testo dell'esercizio:
Sia $ z $ il numero complesso di modulo $ ρ=2 $ e argomento $ Θ $ = $ π/4 $
(a) Si scriva la forma algebrica di $ z $ e si stabilisca il valore della parte reale e della parte immaginaria;
(b) calcolare la forma trigonometrica di $ z^4 $ .
Secondo la mia scarsa conoscenza la risposta alla lettera B dovrebbe essere questa:
$ z=ρ(cosΘ+i sinΘ) $ che diventa
$ z=ρ( sqrt2/2 + i sqrt2/2 ) $ e sostituendo 2 a ρ e semplificando diventa
$ z= sqrt2+isqrt2 $
come ottengo $ z^4 $ ?
)Visto che tra pochi giorni devo riprovarlo e sono sicuro che esca di nuovo un esercizio del genere vorrei delle spiegazioni e degli aiuti perchè io e i numeri complessi ci odiamo a morte.
Allora ecco il testo dell'esercizio:
Sia $ z $ il numero complesso di modulo $ ρ=2 $ e argomento $ Θ $ = $ π/4 $
(a) Si scriva la forma algebrica di $ z $ e si stabilisca il valore della parte reale e della parte immaginaria;
(b) calcolare la forma trigonometrica di $ z^4 $ .
Secondo la mia scarsa conoscenza la risposta alla lettera B dovrebbe essere questa:
$ z=ρ(cosΘ+i sinΘ) $ che diventa
$ z=ρ( sqrt2/2 + i sqrt2/2 ) $ e sostituendo 2 a ρ e semplificando diventa
$ z= sqrt2+isqrt2 $
come ottengo $ z^4 $ ?
Risposte
".phoenix":
Secondo la mia scarsa conoscenza la risposta alla lettera B dovrebbe essere questa:
$ z=ρ(cosΘ+i sinΘ) $ che diventa
$ z=ρ( sqrt2/2 + i sqrt2/2 ) $ e sostituendo 2 a ρ e semplificando diventa
$ z= sqrt2+isqrt2 $
Questa è la risposta alla a, non alla b.
Comunque
".phoenix":
come ottengo $ z^4 $ ?
In 2 modi.
- Standard, cioè a partire dalla forma trigonometrica, con la formuletta apposita
$z^n = \rho^n (cos(n \theta)+i sin(n \theta))$
- Un po' meno standard, che si può usare quando gli esponenti sono bassi, semplicemente facendo il calcolo polinomiale
$z^4 = (\sqrt(2)+i \sqrt(2))^4= \sqrt(2)^4 (1+i)^4= 4(1+4i-6...)$ ecc...
Francamente preferisco la seconda con il calcolo polinomiale, ma è una questione di gusti.
In bocca al lupo con l'esame di analisi!
"Zero87":
Questa è la risposta alla a, non alla b.
Quindi $ sqrt2 + isqrt2 $ è la forma cartesiana mentre la parte reale è $ Re(z)=sqrt2 $ e la parte immaginaria è $ Im(z)=sqrt2 $ . Giusto?
E la formula trigonometrica dovrebbe essere:
$ z=ρ(cosΘ+i sinΘ) $ -> $ z=ρ(cos(pi/4)+i sin(pi/4)) $ grazie a Camillo per la correzione
Giusto?
Invece...
$ z^4 $ = $ ρ^4(cos(4pi/4)+isen(4pi/4)) = 16(cos(pi)+isen(pi)) = 16(-1+0i) = -16 $
In definitiva $ z^4 $ = $ -16 $ ?
"Zero87":
In bocca al lupo con l'esame di analisi!
crepi
Non hai scritto corretto , è : $z = rho ( cos(pi/4)+i sin (pi/4) )$
"Camillo":
Non hai scritto corretto , è : $z = rho ( cos(pi/4)+i sin (pi/4) )$
grazie mille per la correzione
EDIT: Mi è sorto un dubbio...la traccia dice: calcolare la forma trigonomentrica del numero $ z^4 $
Devo svolgere i calcoli di seno e cosen o devo lasciarli così?
".phoenix":
EDIT: Mi è sorto un dubbio...la traccia dice: calcolare la forma trigonomentrica del numero $ z^4 $
Devo svolgere i calcoli di seno e cosen o devo lasciarli così?
No, se c'è scritto "forma trigonometrica", vuol dire che deve restare
$\rho(cos(\theta)+i sin(\theta))$
Se fai i calcoli e sviluppi seno e coseno - o sostituisci con i loro valori - poi trovi la forma algebrica e non è più trigonometrica in quel caso.
"Zero87":
[quote=".phoenix"]EDIT: Mi è sorto un dubbio...la traccia dice: calcolare la forma trigonomentrica del numero $ z^4 $
Devo svolgere i calcoli di seno e cosen o devo lasciarli così?
No, se c'è scritto "forma trigonometrica", vuol dire che deve restare
$\rho(cos(\theta)+i sin(\theta))$
Se fai i calcoli e sviluppi seno e coseno - o sostituisci con i loro valori - poi trovi la forma algebrica e non è più trigonometrica in quel caso.
[/quote]Ok allora lascio così
Ah un'altra cosa, spero l'ultima
La forma algebrica è generalmente questa $ z=a+ib $
Per calcolarla, avendo modulo e argomento mi riferisco a queste formule
$ a = \rho(cos(\theta)) $ e $ b= \rho(sin(\theta)) $
Quello che mi domando: c'è un altro metodo per calcolare la forma algebrica? Leggendo su internet e sui libri che ho a casa parlano di a come (a,0) e i come (0,1) e per trovare la forma algebrica si utilizza z=(a,0)+(0,1)(b,0)
Cos'è? E soprattutto, con i dati che ho si può usare?
".phoenix":
Ah un'altra cosa, spero l'ultima
La forma algebrica è generalmente questa $ z=a+ib $
Per calcolarla, avendo modulo e argomento mi riferisco a queste formule
$ a = \rho(cos(\theta)) $ e $ b= \rho(sin(\theta)) $
Sì, l'hai già fatto qualche post fa.
".phoenix":
Quello che mi domando: c'è un altro metodo per calcolare la forma algebrica? Leggendo su internet e sui libri che ho a casa parlano di a come (a,0) e i come (0,1) e per trovare la forma algebrica si utilizza z=(a,0)+(0,1)(b,0)
Cos'è? E soprattutto, con i dati che ho si può usare?
E' un modo alternativo per definire i numeri complessi.
[size=80]Non amo farmi pubblicità, ma una delle cose "non male" (grazie al cavolo la penso così, l'ho scritta io!) a tal proposito è qui all'inizio del capitolo 3.
Non vado oltre a scrivere perché scriverei le stesse identiche cose: ma solo perché non mi vengono parole migliori di quelle già usate.[/size]
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