Numeri Complessi
Salve,
Volevo sapere se qualcuno poteva aiutarmi nella comprensione di quest'esercizio:
"Stabilire per quali naturali $n$ il numero complesso $z_{0}^n=(\sqrt 3+i)^n$ è un numero complesso reale positivo."
Grazie.
Volevo sapere se qualcuno poteva aiutarmi nella comprensione di quest'esercizio:
"Stabilire per quali naturali $n$ il numero complesso $z_{0}^n=(\sqrt 3+i)^n$ è un numero complesso reale positivo."
Grazie.
Risposte
Io me lo scriverei in forma esponenziale (o goniometrica)...
Beh, molto più comodo esponenziale... 
Allora:
Provo a scrivere $z_0$ nel modo seguente:
[tex]\rho_0=\sqrt {(\sqrt {3})^{2}+1}=4[/tex] ; $\theta_0=\atan \frac{1}{\sqrt 3}=\frac{\pi}{6}$
quindi $z_0^n=4^{n}(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6})^n=4^{n}(\cos (n\frac{\pi}{6})+i\sin (n\frac{\pi}{6}))$
poi ho provato a fare questo ragionamento: per complesso reale intenderà un numero complesso con coeficiente della parte immaginaria nulla; allora devo fare in modo che $\cos (n\frac{\pi}{6})>0$ e $\sin (n\frac{\pi}{6})=0$
Il problema è che mentre la condizione $\cos (n\frac{\pi}{6})>0$ si ha quando $-\pi/2\le (n\frac{\pi}{6})\le \pi/2$ da cui ne ho tratto che $n\le 3$ , l'altra condizione, ossia $\sin (n\frac{\pi}{6})=0$, è raggiungibile quando $(n\frac{\pi}{6})=0$ oppure se $(n\frac{\pi}{6})=\pi$ da cui ne traggo che $n=6$ che è incompatibile con la prima soluzione.
Provo a scrivere $z_0$ nel modo seguente:
[tex]\rho_0=\sqrt {(\sqrt {3})^{2}+1}=4[/tex] ; $\theta_0=\atan \frac{1}{\sqrt 3}=\frac{\pi}{6}$
quindi $z_0^n=4^{n}(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6})^n=4^{n}(\cos (n\frac{\pi}{6})+i\sin (n\frac{\pi}{6}))$
poi ho provato a fare questo ragionamento: per complesso reale intenderà un numero complesso con coeficiente della parte immaginaria nulla; allora devo fare in modo che $\cos (n\frac{\pi}{6})>0$ e $\sin (n\frac{\pi}{6})=0$
Il problema è che mentre la condizione $\cos (n\frac{\pi}{6})>0$ si ha quando $-\pi/2\le (n\frac{\pi}{6})\le \pi/2$ da cui ne ho tratto che $n\le 3$ , l'altra condizione, ossia $\sin (n\frac{\pi}{6})=0$, è raggiungibile quando $(n\frac{\pi}{6})=0$ oppure se $(n\frac{\pi}{6})=\pi$ da cui ne traggo che $n=6$ che è incompatibile con la prima soluzione.
Se ricordassi che le funzioni trigonometriche sono periodiche tutto si aggiusterebbe...
Niente, proprio non ci arrivo. ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Credo tu sappia che per risolvere completamente la disequazione [tex]$\cos x >0$[/tex] non basta scrivere [tex]$-\frac{\pi}{2} < x <\frac{\pi}{2}$[/tex].
Manca qualcosa, no?
Manca qualcosa, no?
$-\pi/2-2\pi
Ma su, Orlok... Dai sono cose di base, non andare nel pallone per così poco!
[tex]$\cos x >0$[/tex] se e solo se [tex]$-\frac{\pi}{2} +2k\pi
[tex]$\cos x >0$[/tex] se e solo se [tex]$-\frac{\pi}{2} +2k\pi
Mi viene $12k-30$
(*)EDIT: sbagliato i conti, corretto.
(*)EDIT: sbagliato i conti, corretto.
Vabbé Orlok, lascia stare un attimo i conti e prova ad immaginarti la situazione (ricorda: i numeri complessi si devono "vedere"; è molto più facile fare di conto così! 
).
Pensala così: graficamente come si rappresenta la potenza [tex]$n$[/tex]-esima di un numero complesso [tex]$\rho \ e^{\imath \vartheta}$[/tex]?
Beh, si rappresenta con un vettore con modulo [tex]$\rho^n$[/tex] ed argomento (o anomalia o fase, che dir si voglia) uguale a [tex]$n\vartheta$[/tex]: quindi, detto praticamente, la potenza [tex]$n$[/tex]-esima si fa allungando il tuo vettore [tex]$\rho \ e^{\imath \vartheta}$[/tex] (lungo la sua direzione) fino a che il suo modulo diviene [tex]$\rho^n$[/tex] e poi ruotando il vettore "stirato" di [tex]$n-1$[/tex] volte l'angolo [tex]$\vartheta$[/tex] (cioè finché il suo argomento non diventa [tex]$n\vartheta$[/tex]).
Prendiamo ad esempio [tex]$z=\sqrt{2}\ e^{\imath \frac{\pi}{4}}$[/tex] e calcoliamo [tex]$z^4$[/tex].
Procedendo per via analitica troviamo che il modulo di [tex]$z^4$[/tex] è [tex]$4=(\sqrt{2})^4$[/tex] e l'argomento di [tex]$z^4$[/tex] è [tex]$4\ \frac{\pi}{4} =\pi$[/tex], sicché [tex]$z^4=4\ e^{\imath \pi}=-4$[/tex].
Procedendo graficamente, invece, dobbiamo fare queste operazioni:
1. Disegnare [tex]$z$[/tex]:
[asvg]axes("","");
marker="arrow";
stroke="red";
line([0,0],[1,1]);[/asvg]
2. Stirare [tex]$z$[/tex] (lungo la sua direzione) fino ad ottenere un vettore di modulo uguale a [tex]$4$[/tex]:
[asvg]axes("","");
marker="arrow";
line([0,0],[1,1]);
stroke="red";
line([0,0],[2.83,2.83]);[/asvg]
3. Ruotare il vettore di modulo [tex]$4$[/tex] di [tex]$3$[/tex] ([tex]$=4-1$[/tex]) volte intorno all'origine di un angolo uguale a [tex]$\frac{\pi}{4}$[/tex]:
[asvg]axes("","");
marker="arrow";
line([0,0],[2.83,2.83]);
line([0,0],[0,4]);
line([0,0],[-2.83,2.83]);
stroke="red";
line([0,0],[-4,0]);
stroke="magenta";
arc([1.41,1.41],[0,2],1.99);
arc([0,2],[-1.41,1.41],1.99);
arc([-1.41,1.41],[-2,0],1.99);[/asvg]
Ci troviamo!
Ok.
Capito questo, proviamo a risolvere a occhio il tuo esercizio.
Tu hai [tex]$z=\sqrt{3} +\imath =2\ e^{\imath \frac{\pi}{6}}$[/tex]; se lasci un momento da parte gli "stiramenti", è evidente che se ruoti il tuo vettore di [tex]$11$[/tex] ([tex]$=12-1$[/tex]!) volte d'un angolo uguale a [tex]$\frac{\pi}{6}$[/tex] intorno all'origine vai ad adagiarti sul semiasse reale positivo(provare per credere!!!).
Ancora, se lo ruoti di un giro completo, ossia facendogli compiere in totale [tex]$11+12=23$[/tex] ([tex]$=24-1$[/tex]) rotazioni di [tex]$\frac{\pi}{6}$[/tex], torni ad adagiarti su tale semiasse.
Se lo ruoti d'un altro giro completo, arrivando ad un totale di [tex]$35$[/tex] ([tex]$=36-1$[/tex]) rotazioni d'ampiezza [tex]$\frac{\pi}{6}$[/tex], torni ad adagiarti sul semiasse reale positivo... E così via.
Ne viene che tutte le potenze d'esponente [tex]$n=12 h$[/tex], con [tex]$h\in \mathbb{N}$[/tex], godono della proprietà che richiedi.
Per provarlo analiticamente calcoliamo:
[tex]$z^{12h}=2^{12 h}\ e^{\imath 12h\ \frac{\pi}{6}}=2^{12h}\ e^{\imath 2h\pi} =2^{12h}$[/tex]
con [tex]$2^{12h}$[/tex] reale positivo, cosicché l'esercizio è bello che risolto.
).Pensala così: graficamente come si rappresenta la potenza [tex]$n$[/tex]-esima di un numero complesso [tex]$\rho \ e^{\imath \vartheta}$[/tex]?
Beh, si rappresenta con un vettore con modulo [tex]$\rho^n$[/tex] ed argomento (o anomalia o fase, che dir si voglia) uguale a [tex]$n\vartheta$[/tex]: quindi, detto praticamente, la potenza [tex]$n$[/tex]-esima si fa allungando il tuo vettore [tex]$\rho \ e^{\imath \vartheta}$[/tex] (lungo la sua direzione) fino a che il suo modulo diviene [tex]$\rho^n$[/tex] e poi ruotando il vettore "stirato" di [tex]$n-1$[/tex] volte l'angolo [tex]$\vartheta$[/tex] (cioè finché il suo argomento non diventa [tex]$n\vartheta$[/tex]).
Prendiamo ad esempio [tex]$z=\sqrt{2}\ e^{\imath \frac{\pi}{4}}$[/tex] e calcoliamo [tex]$z^4$[/tex].
Procedendo per via analitica troviamo che il modulo di [tex]$z^4$[/tex] è [tex]$4=(\sqrt{2})^4$[/tex] e l'argomento di [tex]$z^4$[/tex] è [tex]$4\ \frac{\pi}{4} =\pi$[/tex], sicché [tex]$z^4=4\ e^{\imath \pi}=-4$[/tex].
Procedendo graficamente, invece, dobbiamo fare queste operazioni:
1. Disegnare [tex]$z$[/tex]:
[asvg]axes("","");
marker="arrow";
stroke="red";
line([0,0],[1,1]);[/asvg]
2. Stirare [tex]$z$[/tex] (lungo la sua direzione) fino ad ottenere un vettore di modulo uguale a [tex]$4$[/tex]:
[asvg]axes("","");
marker="arrow";
line([0,0],[1,1]);
stroke="red";
line([0,0],[2.83,2.83]);[/asvg]
3. Ruotare il vettore di modulo [tex]$4$[/tex] di [tex]$3$[/tex] ([tex]$=4-1$[/tex]) volte intorno all'origine di un angolo uguale a [tex]$\frac{\pi}{4}$[/tex]:
[asvg]axes("","");
marker="arrow";
line([0,0],[2.83,2.83]);
line([0,0],[0,4]);
line([0,0],[-2.83,2.83]);
stroke="red";
line([0,0],[-4,0]);
stroke="magenta";
arc([1.41,1.41],[0,2],1.99);
arc([0,2],[-1.41,1.41],1.99);
arc([-1.41,1.41],[-2,0],1.99);[/asvg]
Ci troviamo!
Ok.
Capito questo, proviamo a risolvere a occhio il tuo esercizio.
Tu hai [tex]$z=\sqrt{3} +\imath =2\ e^{\imath \frac{\pi}{6}}$[/tex]; se lasci un momento da parte gli "stiramenti", è evidente che se ruoti il tuo vettore di [tex]$11$[/tex] ([tex]$=12-1$[/tex]!) volte d'un angolo uguale a [tex]$\frac{\pi}{6}$[/tex] intorno all'origine vai ad adagiarti sul semiasse reale positivo(provare per credere!!!).
Ancora, se lo ruoti di un giro completo, ossia facendogli compiere in totale [tex]$11+12=23$[/tex] ([tex]$=24-1$[/tex]) rotazioni di [tex]$\frac{\pi}{6}$[/tex], torni ad adagiarti su tale semiasse.
Se lo ruoti d'un altro giro completo, arrivando ad un totale di [tex]$35$[/tex] ([tex]$=36-1$[/tex]) rotazioni d'ampiezza [tex]$\frac{\pi}{6}$[/tex], torni ad adagiarti sul semiasse reale positivo... E così via.
Ne viene che tutte le potenze d'esponente [tex]$n=12 h$[/tex], con [tex]$h\in \mathbb{N}$[/tex], godono della proprietà che richiedi.
Per provarlo analiticamente calcoliamo:
[tex]$z^{12h}=2^{12 h}\ e^{\imath 12h\ \frac{\pi}{6}}=2^{12h}\ e^{\imath 2h\pi} =2^{12h}$[/tex]
con [tex]$2^{12h}$[/tex] reale positivo, cosicché l'esercizio è bello che risolto.
Analiticamente, invece, il discorso è più complesso (! ).
Come hai notato, il numero [tex]$n$[/tex] che cerchi deve essere naturale e tale che:
[tex]$\begin{cases} \cos \frac{n\pi}{6} >0 \\ \sin \frac{n\pi}{6} =0\end{cases}$[/tex];
evidentemente il sistema è soddisfatto se e solo se risulta:
[tex]$\begin{cases} -\frac{\pi}{2} +2k\pi <\frac{n\pi}{6} <\frac{\pi}{2} +2k\pi \\ \frac{n\pi}{6} =h\pi \end{cases}$[/tex] per qualche [tex]$k,h\in \mathbb{Z}$[/tex],
il che equivale a dire se e solo se:
[tex]$\begin{cases} -3 +12k
Chiaramente, se si vuole [tex]$n \geq 0$[/tex] si deve prendere anche [tex]$k,h \geq 0$[/tex], cioè [tex]$k,h\in \mathbb{N}$[/tex]; inoltre la seconda condizione mi dice esplicitamente che [tex]$n$[/tex] ha da essere multiplo di [tex]$6$[/tex].
Una volta notato ciò, proviamo a considerare un po' di casi:
1. per [tex]$k=0$[/tex], dovrei prendere un multiplo (positivo) di [tex]$6$[/tex] compreso tra [tex]$-3$[/tex] e [tex]$3$[/tex]; ma evidentemente non ce ne sono.
2. per [tex]$k=1$[/tex], dovrei prendere un multiplo di [tex]$6$[/tex] compreso tra [tex]$9$[/tex] e [tex]$15$[/tex]: oh, in questo caso c'è [tex]$12$[/tex]!
3. per [tex]$k=2$[/tex], dovrei prendere un multiplo di [tex]$6$[/tex] compreso tra [tex]$21$[/tex] e [tex]$27$[/tex]: in questo caso c'è [tex]$24$[/tex]!
4. per [tex]$k=3$[/tex], dovrei prendere un multiplo di [tex]$6$[/tex] tra [tex]$33$[/tex] e [tex]$39$[/tex]: ovviamente [tex]$36$[/tex].
Etc...
Induttivamente si capisce che possono andar bene per [tex]$n$[/tex] tutti i valori del tipo [tex]$12m$[/tex] con [tex]$m$[/tex] naturale e [tex]$\geq 1$[/tex].
Rimane solo da provare che gli esponenti del tipo [tex]$12m$[/tex] vanno bene; ma questo è un semplice conto.
).Come hai notato, il numero [tex]$n$[/tex] che cerchi deve essere naturale e tale che:
[tex]$\begin{cases} \cos \frac{n\pi}{6} >0 \\ \sin \frac{n\pi}{6} =0\end{cases}$[/tex];
evidentemente il sistema è soddisfatto se e solo se risulta:
[tex]$\begin{cases} -\frac{\pi}{2} +2k\pi <\frac{n\pi}{6} <\frac{\pi}{2} +2k\pi \\ \frac{n\pi}{6} =h\pi \end{cases}$[/tex] per qualche [tex]$k,h\in \mathbb{Z}$[/tex],
il che equivale a dire se e solo se:
[tex]$\begin{cases} -3 +12k
Chiaramente, se si vuole [tex]$n \geq 0$[/tex] si deve prendere anche [tex]$k,h \geq 0$[/tex], cioè [tex]$k,h\in \mathbb{N}$[/tex]; inoltre la seconda condizione mi dice esplicitamente che [tex]$n$[/tex] ha da essere multiplo di [tex]$6$[/tex].
Una volta notato ciò, proviamo a considerare un po' di casi:
1. per [tex]$k=0$[/tex], dovrei prendere un multiplo (positivo) di [tex]$6$[/tex] compreso tra [tex]$-3$[/tex] e [tex]$3$[/tex]; ma evidentemente non ce ne sono.
2. per [tex]$k=1$[/tex], dovrei prendere un multiplo di [tex]$6$[/tex] compreso tra [tex]$9$[/tex] e [tex]$15$[/tex]: oh, in questo caso c'è [tex]$12$[/tex]!
3. per [tex]$k=2$[/tex], dovrei prendere un multiplo di [tex]$6$[/tex] compreso tra [tex]$21$[/tex] e [tex]$27$[/tex]: in questo caso c'è [tex]$24$[/tex]!
4. per [tex]$k=3$[/tex], dovrei prendere un multiplo di [tex]$6$[/tex] tra [tex]$33$[/tex] e [tex]$39$[/tex]: ovviamente [tex]$36$[/tex].
Etc...
Induttivamente si capisce che possono andar bene per [tex]$n$[/tex] tutti i valori del tipo [tex]$12m$[/tex] con [tex]$m$[/tex] naturale e [tex]$\geq 1$[/tex].
Rimane solo da provare che gli esponenti del tipo [tex]$12m$[/tex] vanno bene; ma questo è un semplice conto.
Adesso è tutto chiarissimo. Grazie gugo82 soprattutto della pazienza.
Un altro esercizio non chiaro:
"Determinare i punti del piano di Gauss soddisfacenti l'equazione [tex]$z=\frac{1}{\bar z}$[/tex]
Non capisco da dove cominciare a ragionare.
"Determinare i punti del piano di Gauss soddisfacenti l'equazione [tex]$z=\frac{1}{\bar z}$[/tex]
Non capisco da dove cominciare a ragionare.
Allora, ho seguito questa strada:
se $z=a+ib$ e $\bar z=a-ib$ allora devo cercare i punti che soddisfano l'equazione $(a+ib)(a-ib)=1=a^2+b^2$
ora il problema sta nella ricerca dei punti in cui elevando al quadrato le componenti lungo i due assi del piano, la loro somma è pari a 1
se $z=a+ib$ e $\bar z=a-ib$ allora devo cercare i punti che soddisfano l'equazione $(a+ib)(a-ib)=1=a^2+b^2$
ora il problema sta nella ricerca dei punti in cui elevando al quadrato le componenti lungo i due assi del piano, la loro somma è pari a 1
Il mio dubbio consiste nella difficolta a trovare delle coordinate numeriche avendo solo dei coeficiente letterali come $a$ e $b$ 
L'espressione $a^2+b^2=1$ ti dice niente?
Si è la relazione fondamentale della trigonometria. $\cos^{2} x+\sin^{2} x=1$. Sarebbero quindi tutti i punti del piano con "modulo" unitario (una circonferenza di raggio unitario?)
Esatto, sono tutti gli $z in CC$ tali che ${(\text{Re}(z)=cos theta),(\text{Im}(z)=sin theta):}, quad theta in (0,2pi)$, cioè $z=e^(i theta)$.
Ah grazie 
Ma se invece avessi dovuto trovare i punti soddisfacenti un'equazione come $z^2=-||z||$ ?
Io in questo caso avrei scritto.... $(a+ib)^2=-(a^2+b^2)$ e avrei continuato con
$(a+ib)(a+ib)=(a+ib)(a-ib)$ dividendo poi entrambi i membri per $(a+ib)$ otterrei $(a+ib)=(a-ib)$ ossia $z=\bar z$.
Ma quali sono quei numeri complessi uguali ai loro coniugati ? A parer mio sono solo e soltanto quelli che stanno sulla retta reale, ma non ne sono sicuro.
Ma se invece avessi dovuto trovare i punti soddisfacenti un'equazione come $z^2=-||z||$ ?
Io in questo caso avrei scritto.... $(a+ib)^2=-(a^2+b^2)$ e avrei continuato con
$(a+ib)(a+ib)=(a+ib)(a-ib)$ dividendo poi entrambi i membri per $(a+ib)$ otterrei $(a+ib)=(a-ib)$ ossia $z=\bar z$.
Ma quali sono quei numeri complessi uguali ai loro coniugati ? A parer mio sono solo e soltanto quelli che stanno sulla retta reale, ma non ne sono sicuro.
Ma invece di scrivere subito $a+ib$, perché non scrivi tutto in forma esponenziale? E' talmente comodo...
$z=rhoe^(i theta)=> |z|=rho, quad z^2 = rho^2 e^(2i theta)$, quindi l'equazione si riduce (scartando la soluzione banale $z=0$) a:
$rhoe^(2i theta)=1$.
$z=rhoe^(i theta)=> |z|=rho, quad z^2 = rho^2 e^(2i theta)$, quindi l'equazione si riduce (scartando la soluzione banale $z=0$) a:
$rhoe^(2i theta)=1$.
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