Numeri Complessi
Salve,
Volevo sapere se qualcuno poteva aiutarmi nella comprensione di quest'esercizio:
"Stabilire per quali naturali $n$ il numero complesso $z_{0}^n=(\sqrt 3+i)^n$ è un numero complesso reale positivo."
Grazie.
Volevo sapere se qualcuno poteva aiutarmi nella comprensione di quest'esercizio:
"Stabilire per quali naturali $n$ il numero complesso $z_{0}^n=(\sqrt 3+i)^n$ è un numero complesso reale positivo."
Grazie.
Risposte
Ti sembrerà strano ma la forma esponenziale non l'abbiamo studiata
Non capisco a quale conclusione arriviamo. Ma quindi il mio ragionamento che porta a [tex]$z=\bar z\ \Rightarrow \text {Asse Reale}$[/tex] è sbagliato?
Scusa, mi ero dimenticato del "-" a secondo membro, rifaccio:
Vogliamo sapere quali sono i numeri complessi che soddisfano l'equazione $z^2=-||z||$
da cui $(a+ib)^2=-(a^2+b^2)$. Segue $(a+ib)(a+ib)=-[(a+ib)(a-ib)]$ e dividendo entrambi i membri per $(a+ib)$ si ottiene:
$(a+ib)=-(a-ib)$ ossia $a+ib=-a+ib$. Ma a parer mio l'unico numero complesso che ha la caratteristica di avere $a=-a$ è l'origine...poi non so.
Vogliamo sapere quali sono i numeri complessi che soddisfano l'equazione $z^2=-||z||$
da cui $(a+ib)^2=-(a^2+b^2)$. Segue $(a+ib)(a+ib)=-[(a+ib)(a-ib)]$ e dividendo entrambi i membri per $(a+ib)$ si ottiene:
$(a+ib)=-(a-ib)$ ossia $a+ib=-a+ib$. Ma a parer mio l'unico numero complesso che ha la caratteristica di avere $a=-a$ è l'origine...poi non so.
Dimentichi una radice...
comunque sì, gli unici numeri complessi uguali ai propri coniugati sono i numeri reali, e si dimostra abbastanza facilmente:
$a + ib = a-ib -> i(2b)=0-> b=0$ fine.
$a + ib = a-ib -> i(2b)=0-> b=0$ fine.
Quale radice? :O
Un attimino...io ho trovato dalla precedente relazione che i numeri complessi che soddisfano l'equazione $z^2=-||z||$ sono quelli per i quali accade che $a=-a$, no?
Quindi penso tutti i numeri che stanno sull'asse $Y$. Giusto?
Un attimino...io ho trovato dalla precedente relazione che i numeri complessi che soddisfano l'equazione $z^2=-||z||$ sono quelli per i quali accade che $a=-a$, no?
Quindi penso tutti i numeri che stanno sull'asse $Y$. Giusto?
Il modulo di z non è la somma dei quadrati, ma la radice di questa somma!
Ma per $||z||$ non si intende la Norma? Ossia il prodotto del numero complesso per il suo coniugato: $||z||=z\bar z$
Non l'avevo mai sentita questa cosa... Boh... Se quel simbolo significa il prodotto di z per il suo coniugato allora ok.
Comunque la cosa migliore da fare in questi esercizi è separare sempre la parte reale da quella immaginaria.
In questo caso hai $(x+iy)^2 = -x^2-y^2$ e riscrivendola per bene:
$x^2-y^2+i*2xy + x^2 + y^2 = 0 <=> 2x^2 + i* 2xy = 0$
Per cui, se il primo membro è uguale al secondo, bisogna che sia la parte immaginaria che quella reale siano nulle.
Affinché succeda questo, occorre e basta che $x=0$. Pertanto gli $z in CC$ che risolvono l'equazione sono quelli immaginari puri (con parte reale nulla).
In questo caso hai $(x+iy)^2 = -x^2-y^2$ e riscrivendola per bene:
$x^2-y^2+i*2xy + x^2 + y^2 = 0 <=> 2x^2 + i* 2xy = 0$
Per cui, se il primo membro è uguale al secondo, bisogna che sia la parte immaginaria che quella reale siano nulle.
Affinché succeda questo, occorre e basta che $x=0$. Pertanto gli $z in CC$ che risolvono l'equazione sono quelli immaginari puri (con parte reale nulla).
No, la norma è definita come la radice della somma dei quadrati, e con qualche passaggio si dimostra che equivale alla radice del prodotto di z per il suo coniugato. Quindi la norma di z è la radice di $z\barz$
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