Numeri complessi...
Parlando di numeri complessi mi è stato chiesto quanto vale log(i) e in generale log(z) .....ma io sinceramente non lo so 
Qualcuno mi può illuminare?
Qualcuno mi può illuminare?
Risposte
Se $z$ è un numero complesso, allora esistono $\rho \in \mathbb{R}^+$, $\theta \in [-\pi, \pi]$ tali che
$z = \rho e^{j \theta}$
Restano da determinare $x,y \in \mathbb{R}$ tali che
$\log(z) = x + jy$
ovvero
$z = e^x \cdot e^{j y}$
cioè
$\rho e^{j \theta} = e^x e^{j y}$
Quindi
$x = \ln(\rho)$
$\theta = y + 2 k\pi$
$z = \rho e^{j \theta}$
Restano da determinare $x,y \in \mathbb{R}$ tali che
$\log(z) = x + jy$
ovvero
$z = e^x \cdot e^{j y}$
cioè
$\rho e^{j \theta} = e^x e^{j y}$
Quindi
$x = \ln(\rho)$
$\theta = y + 2 k\pi$
"Tipper":
Se $z$ è un numero complesso, allora esistono $\rho \in \mathbb{R}^+$, $\theta \in [-\pi, \pi]$ tali che
$z = \rho e^{j \theta}$
Restano da determinare $x,y \in \mathbb{R}$ tali che
$\log(z) = x + jy$
ovvero
$z = e^x \cdot e^{j y}$
cioè
$\rho e^{j \theta} = e^x e^{j y}$
Quindi
$x = \ln(\rho)$
$\theta = y + 2 k\pi$
Ok grazie! Per log(z) ho compreso i passaggi.......ma log(i) quanto vale?
"Metodi":
.......ma log(i) quanto vale?
Bella domanda. Scrivi $i=e^{i\pi/2}=e^{i\pi/2+2k\pi}$. Da qui (procedendo euristicamente!) ricavi $log i=i\pi/2+2k\pi$, quindi ci sono infiniti valori di $log i$. Il problema è che la funzione esponenziale nel campo complesso non è iniettiva, e quindi non ha inversa: in altre parole, a rigore, il logaritmo complesso non è una funzione, ma una "funzione a più valori".
Dal momento che vogliamo che il logaritmo sia una funzione vera e propria dobbiamo per forza "restringere le cose". Prendiamo $k=0$ e abbiamo $log i=i\pi/2$: questa si chiama "determinazione principale del logaritmo". In generale, si pone $log z= Log r + i\theta$, dove $Log$ indica il logaritmo reale e $\theta$ è quel numero, compreso tra 0 e $2\pi$, tale che $z=re^{i\theta}$. L'ultima precisazione garantisce di aver a che fare con una funzione (ad un solo valore).
Grazie Lorenzo, spiegazione molto chiara!
"Metodi":
Grazie Lorenzo, spiegazione molto chiara!
Prego, è un piacere.
Sappi che il logaritmo nel campo complesso è completamente diverso da quello del campo reale, perché l'esponenziale non è invertibile in $CC$ e quindi la sua funzione inversa è polidroma, l'equazione $e^z=i$ ammette infinite soluzioni.
Il risultato e' log(j) = 0.682188j.
Il procedimento richiede la trasformazione della variabile complessa
z=x+jy in forma esponenziale z=ro*e^(j*theta)
in cui ro=sqr(x^2+y^2) e theta=atan(y/x),
da cui e' semplice ricavare il logaritmo naturale ln(z)=ln(ro)+j*theta
e poi il logaritmo decimale log(z)=ln(z)/ln(10).
Il procedimento richiede la trasformazione della variabile complessa
z=x+jy in forma esponenziale z=ro*e^(j*theta)
in cui ro=sqr(x^2+y^2) e theta=atan(y/x),
da cui e' semplice ricavare il logaritmo naturale ln(z)=ln(ro)+j*theta
e poi il logaritmo decimale log(z)=ln(z)/ln(10).
brrrrr..... $\sqrt{-1}=j$ mi dà sempre una brutta sensazione se non si sta parlando di quaternioni... 
"g.schgor":
Il risultato e' log(j) = 0.682188j.
Uh?
Lorenzo, non confondere il logaritmo decimale con quello naturale.
Per convenzione, scrivendo log si intende quello decimale e
lnquello naturale (base e).
Io mi sono attenuto a questa convenzione.
(Se si vuole quello naturale, basta fermarsi alla penultima riga)
Per convenzione, scrivendo log si intende quello decimale e
lnquello naturale (base e).
Io mi sono attenuto a questa convenzione.
(Se si vuole quello naturale, basta fermarsi alla penultima riga)
per quello che ne so io quando non si indica la base, e se non viene detto altrimenti nel libro/lezioni/pubblicazione/ecc si indica con $ln$ o $log$ il logaritmo naturale (o una sua determinazione se siamo nel campo complesso) e con $Log$ il logaritmo in base 10 (o una sua determinazione).
"g.schgor":
Lorenzo, non confondere il logaritmo decimale con quello naturale.
Lungi da me!
Ho scritto che il logaritmo complesso è definito come $log z= Log r +i\theta$: il primo $log$ indica il logartimo complesso, il secondo quello reale (ovviamente in base $e$: un matematico che, trattando di analisi complessa, usa i logaritmi decimali non l'ho mai visto!). La notazione $log$, $Log$, $ln$ non è univoca (in alcuni testi si usa una notazione, in altri una differente.
La formula che hai scritto, tra l'approssimazione (in ingegneria non so, ma in matematica = vuol dire =), e l'uso dei logaritmi decimali, è tremenda: diamo al $\pi$ greco quello che è del $\pi$ greco, e al numero $e$ di Nepero quello che è di $e$.
"Lorenzo Pantieri":
La formula che hai scritto, tra l'approssimazione (in ingegneria non so, ma in matematica = vuol dire =), e l'uso dei logaritmi decimali, è tremenda: diamo al $\pi$ greco quello che è del $\pi$ greco, e al numero $e$ di Nepero quello che è di $e$.
Tautologicamente, quoto
ih, quanto "nervosismo"!
tribù diverse usano dialetti diversi per la nomenclatura, le definizioni, le notazioni
anzi, questo avviene a volte anche per clan diversi di una stessa tribù (o devo ricordare il dilemma se $0$ stia o non stia in $NN$?)
anche l'uso di "j" per l'unità immaginaria: per un "elettricista" magari la "i" è già occupata
un sano relativismo a questi livelli non fa male
poi scanniamoci pure su intuizionismo/logicismo/formalismo/etc.
tribù diverse usano dialetti diversi per la nomenclatura, le definizioni, le notazioni
anzi, questo avviene a volte anche per clan diversi di una stessa tribù (o devo ricordare il dilemma se $0$ stia o non stia in $NN$?)
anche l'uso di "j" per l'unità immaginaria: per un "elettricista" magari la "i" è già occupata
un sano relativismo a questi livelli non fa male
poi scanniamoci pure su intuizionismo/logicismo/formalismo/etc.
"Fioravante Patrone":
ih, quanto "nervosismo"!
tribù diverse usano dialetti diversi per la nomenclatura, le definizioni, le notazioni
anzi, questo avviene a volte anche per clan diversi di una stessa tribù (o devo ricordare il dilemma se $0$ stia o non stia in $NN$?)
anche l'uso di "j" per l'unità immaginaria: per un "elettricista" magari la "i" è già occupata
un sano relativismo a questi livelli non fa male
poi scanniamoci pure su intuizionismo/logicismo/formalismo/etc.
Per una volta, non sono d'accordo con te. Se dico "l'area del cerchio è uguale a raggio per raggio per 3.14" faccio un errore, punto e basta; è così difficile sostituire "uguale" con "approssimabile a"?. Se dico che $\pi=3.14$ non commetto un grave errore dal punto di vista numerico, è vero; però da quella "uguaglianza" si potrebbe dedurre che $\pi$ è razionale, e questa è una cazzata.
Insomma, l'unità immaginaria la puoi indicare con $i$ o $j$ (ci mancherebbe), 0 puoi metterlo in $N$ oppure no (basta che sia chiara qual è la tua scelta), ma se cominciamo a usare i simboli "a capocchia", poi si rischia di fare una gran confusione e di non capirci più niente: sconsigliatissimo, almeno da un punto di vista didattico.
"Lorenzo Pantieri":
Per una volta, non sono d'accordo con te. Se dico "l'area del cerchio è uguale a raggio per raggio per 3.14" faccio un errore, punto e basta; è così difficile sostituire "uguale" con "approssimabile a"?. Se dico che $\pi=3.14$ non commetto un grave errore dal punto di vista numerico, è vero; però da quella "uguaglianza" si potrebbe dedurre che $\pi$ è razionale, e questa è una cazzata.
Insomma, l'unità immaginaria la puoi indicare con $i$ o $j$ (ci mancherebbe), 0 puoi metterlo in $N$ oppure no (basta che sia chiara qual è la tua scelta), ma se cominciamo a usare i simboli "a capocchia", poi si rischia di fare una gran confusione e di non capirci più niente: sconsigliatissimo, almeno da un punto di vista didattico.
che bello, due "dissensi" in poco tempo! (per l'altro vedasi il post di zorn, sempre in questa sezione)
eppure, il mio discorso sulle tribù si adatta benissimo a quanto dici sul "tre e quattordici"
secondo me se un ingegnere (senza offesa) scrive $\pi=3.14$, o magari $\pi=3.141592$, sta usando il suo gergo
sa benissimo (siamo buoni!) che $\pi$ non è un numero decimale finito
sa benissimo che quell'uguale è un uguale circa! Se non è abituato un ingegnere a trattare errori etc., siamo fritti
semplicemente, ci mette "=" perché gli interessa l'essenziale (e si presume che si fermi alla cifra che gli interessa, come approx sottintesa)
quanto alle notazioni, perché parli di didattica?
non ho mai pensato di saltellare allegramente tra "i" e "j" a lezione
ma mica posso strozzare il mio collega di "circuiti elettrici" perché usa "j" dove io uso "i"!
ciao ciao
In questo siamo d'accordo Fioravante: se uno "sa quello che fa", è libero di fare (e sottintendere) quello che vuole. Però, dadatticamente parlando, l'imprecisione non paga. La mia esperienza: ho cominciato a capire le distribuzioni quando ho afferrato il fatto che una funzione localmente sommabile induce (e non è, come diceva il mio professore a Fisica) una distribuzione. E ti potrei fare tantissimi esempi in proposito.
Insomma, se non si è precisi in matematica, davvero non vedo dove si dovrebbe esserlo.
Insomma, se non si è precisi in matematica, davvero non vedo dove si dovrebbe esserlo.
"Insomma, se non si è precisi in matematica, davvero non vedo dove si dovrebbe esserlo."
Per esempio nella compilazione della schedina.Se non sei "preciso" non vinci mai!!!
karl
Per esempio nella compilazione della schedina.Se non sei "preciso" non vinci mai!!!
karl
Si è detto ed è corretto che $log i =i*[pi/2+2*k*pi] $ .
Da dove salta fuori quel numero ? 0.68..... ?
Edit : corretta la formula
Da dove salta fuori quel numero ? 0.68..... ?
Edit : corretta la formula
"Camillo":
Si è detto ed è corretto che $log i =i*pi/2+(2*k*pi) $ .
No, niente $k$: $log i =i\pi/2$.
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