Numeri complessi

[davidcape1]

Disegnare nel piano complesso il numero w = -1 - √3  (i è fuori dalla radice) e rispondere ai seguenti quesiti:
a)determinare modulo e argomento principale di w.
allora il modulo dovrebbe essere 2. L'argomento principale dovrebbe essere Arctan b/a. Quindi Arctan (√3). Giusto?
A quanto è uguale in radianti l'arcotangente di radice di 3? Esiste una tabella dove sono scritti i valori dell'arcoseno dell'arcotangente dell'arcosecante ecc ecc?

b)Determinare e disegnare le soluzioni dell'equazione z^5=w.
Sò che devo riportare il numero in forma polare ma per farlo ho bisogno dell'angolo. Quindi come devo fare?
se avessi l'angolo lo saprei fare.

Aiutatemi per favore è urgente.

[Dust1]

Grazie.. Ti riquoto questo che forse non hai letto:

Intendevo dire, come si rappresentano Im(z) e Re(z) in forma esponenziale... Che mi servirebbero se, per esempio volessi risolvere un equazione complessa tramite la forma esponenziale e basta.

comunque in ogni esercizio che provo a fare mi blocco... Per esempio questo, in cui si deve risolvere in trigonometrica:
$9iz^5=16barz$
Ho espresso $z=rho(costheta+isintheta)$ e $barz=rho(costheta-isintheta)$. Viene
$9irho^5(cos(5theta)+isin(5theta))=16rho(costheta-isintheta)$ poi arrivo a
$9irho^5cos(5theta)-9rho^5sin(5theta)=16rhocostheta-16rho*i*sintheta$

Da qui ho provato ad impostare il sistema per la parte reale e quella immaginaria.. ma non riesco a venirne fuori.... Vi chiedo un'altro aiuto.. Se vedo che non riesco nemmeno qui passo ad un altro aromento..

Grazie

[fireball1]

Al primo membro scrivi $i$ in forma trigonometrica;
il prodotto sarà allora pari a:
$9rho^5(cos(5theta+pi/2)+isin(5theta+pi/2))=16rho(cos(-theta)+isin(-theta))
che equivale a:
$rho^5(cos(5theta+pi/2)+isin(5theta+pi/2))=16/9rho(cos(-theta)+isin(-theta))
a questo punto:
${(rho^5=16/9rho),(5theta+pi/2=-theta+2kpi):}, k in {0,1,2,3,4,5,6}
(ricorda che $costheta=cos(-theta)$ per ogni $theta$ !!)

[_nicola de rosa]

"Dust":Grazie.. Ti riquoto questo che forse non hai letto:

Intendevo dire, come si rappresentano Im(z) e Re(z) in forma esponenziale... Che mi servirebbero se, per esempio volessi risolvere un equazione complessa tramite la forma esponenziale e basta.

comunque in ogni esercizio che provo a fare mi blocco... Per esempio questo, in cui si deve risolvere in trigonometrica:
$9iz^5=16barz$
Ho espresso $z=rho(costheta+isintheta)$ e $barz=rho(costheta-isintheta)$. Viene
$9irho^5(cos(5theta)+isin(5theta))=16rho(costheta-isintheta)$ poi arrivo a
$9irho^5cos(5theta)-9rho^5sin(5theta)=16rhocostheta-16rho*i*sintheta$

Da qui ho provato ad impostare il sistema per la parte reale e quella immaginaria.. ma non riesco a venirne fuori.... Vi chiedo un'altro aiuto.. Se vedo che non riesco nemmeno qui passo ad un altro aromento..

Grazie

$9iz^5=16barz$
$z=rho*e^(i*theta),rho>=0,theta in [0,2pi]$, ricordando che $i=e^(i*pi/2)$l'equazione diventa
$9*rho^5*e^(i*(5theta+pi/2))=16rho*e^(-i*theta)$ cioè $rho*(9*rho^4*e^(i*(5theta+pi/2))-16e^(-i*theta))=0$ cioè
$rho=0$ e $9*rho^4*e^(i*(5theta+pi/2))=16e^(-i*theta)$
Una soluzione è allora $rho=0->z=0$ e l'altra si ha imponendo tale sistema
${(rho^4=16/9),(5theta+pi/2=-theta+2kpi):}$ cioè $rho=2/(sqrt3),theta=-pi/12+k/3*pi, k in ZZ$ quindi le soluzioni sono
$z=0,z=2/(sqrt3)*e^(i*(-pi/12+k/3*pi)), k in ZZ$

[Dust1]

Scusa se rompo ancora, ma potresti svolgerla fino alla fine.. Perchè sto veramente impazzendo...

[fireball1]

Te l'ha svolto tutto Nicola...

[_nicola de rosa]

"Dust":Scusa se rompo ancora, ma potresti svolgerla fino alla fine.. Perchè sto veramente impazzendo...

una soluzione è $rho=0->z=0$ e l'altra si ricava dall'equazione
$9*rho^4*e^(i*(5theta+pi/2))=16e^(-i*theta)$ cioè $rho^4*e^(i*(5theta+pi/2))=16/9*e^(-i*theta)$ ed affinchè ci sia l'uguaglianza il modulo e la fase del primo membro deve essere uguale al modulo ed alla fase del secondo membro cioè
${(rho^4=16/9),(5theta+pi/2=-theta+2kpi):}$
Ora $rho^4=16/9<=> rho^4-16/9=(rho^2-4/3)(rho^2+4/3)=0$ e la soluzione per $rho>=0$ è solo $rho=2/(sqrt(3)$ cioè $rho=2/(sqrt3),theta=-pi/12+k/3*pi, k in ZZ$

[Dust1]

"fireball":Te l'ha svolto tutto Nicola...

No, questo era l'ultimo postato..

una soluzione è $rho=0->z=0$ e l'altra si ricava dall'equazione
$9*rho^4*e^(i*(5theta+pi/2))=16e^(-i*theta)$ cioè $rho^4*e^(i*(5theta+pi/2))=16/9*e^(-i*theta)$ ed affinchè ci sia l'uguaglianza il modulo e la fase del primo membro deve essere uguale al modulo ed alla fase del secondo membro cioè
${(rho^4=16/9),(5theta+pi/2=-theta+2kpi):}$
Ora $rho^4=16/9<=> rho^4-16/9=(rho^2-4/3)(rho^2+4/3)=0$ e la soluzione per $rho>=0$ è solo $rho=2/(sqrt(3)$ cioè $rho=2/(sqrt3),theta=-pi/12+k/3*pi, k in ZZ$

Perciò $rho=-2/(sqrt3)$, $rho=(2*i)/(sqrt3)$ e $rho=-(2*i)/(sqrt3)$ le escludo!!
Ma il modulo della soluzione complessa $rho=(2*i)/(sqrt3)$ non sarebbe $>=0$??

Di nuovo grazie(dopo questo es credo che passerò a fare qualche studio di funzione così controllo col PC altrimenti arriverete ad odiarmi qui....... )

[_nicola de rosa]

"Dust":[quote="fireball"]Te l'ha svolto tutto Nicola...

No, questo era l'ultimo postato..

una soluzione è $rho=0->z=0$ e l'altra si ricava dall'equazione
$9*rho^4*e^(i*(5theta+pi/2))=16e^(-i*theta)$ cioè $rho^4*e^(i*(5theta+pi/2))=16/9*e^(-i*theta)$ ed affinchè ci sia l'uguaglianza il modulo e la fase del primo membro deve essere uguale al modulo ed alla fase del secondo membro cioè
${(rho^4=16/9),(5theta+pi/2=-theta+2kpi):}$
Ora $rho^4=16/9<=> rho^4-16/9=(rho^2-4/3)(rho^2+4/3)=0$ e la soluzione per $rho>=0$ è solo $rho=2/(sqrt(3)$ cioè $rho=2/(sqrt3),theta=-pi/12+k/3*pi, k in ZZ$

Perciò $rho=-2/(sqrt3)$, $rho=(2*i)/(sqrt3)$ e $rho=-(2*i)/(sqrt3)$ le escludo!!
Ma il modulo della soluzione complessa $rho=(2*i)/(sqrt3)$ non sarebbe $>=0$??

Di nuovo grazie(dopo questo es credo che passerò a fare qualche studio di funzione così controllo col PC altrimenti arriverete ad odiarmi qui....... )[/quote]
quelle soluzioni $rho=+-i*2/(sqrt3),rho=-2/(sqrt3)$ non le consideri perchè non sono reali positive perchè ricorda $rho>=0$.
nel campo dei numeri complessi $CC$ non esiste una relaziione d'ordine cioè di maggiore o minore, cioè non puoi mai dire $z_1>

Cita

Segnala

[Dust1]

Ho un altro esercizio da postare:

$z^5*|z|^3=i*z^2$
Pongo $z=rhoe^(itheta)$ e scrivo $i=e^(ipi/2)$
perciò:
$rho^8*e^(i5theta)=rho^2*e^(i(2theta+pi/2))$ ed imposto il sistema:
${(rho^8=rho^2),(5theta=2theta+pi/2+2kpi):} <=> {(rho^2(rho^6-1)=0),(theta=pi/6+kpi/3):}$ da cui
$rho_0=0$ e $rho_1=1$ e $theta=pi/6+kpi2/3$ con $k=0,1,2$
Ora però non mi ritrovo coi risultati...

Cosa ho sbagliato?


edit:risolto

[_luca.barletta]

prova a ricalcolare $theta$

[Dust1]

"luca.barletta":prova a ricalcolare $theta$

Ho provato ma non riesco a trovare l'errore...

[_luca.barletta]

"Dust":
${(rho^8=rho^2),(5theta=2theta+pi/2+2kpi):} <=> {(rho^2(rho^6-1)=0),(theta=pi/6+kpi/3):}$

E' abbastanza lampante

[Dust1]

Ok... L'ho visto......................................................... :


Grazie!

[Dust1]

Stamattina finalmente ho dato MatematicaA e c'era questa equazione complessa:

$4(barz/|z|)-3|z|/z=i$

All'inizio avevo provato a porre $z=a+ib$ e così via ma ho viato che i calcoli erano laboriosi. Allora ho pensato che visto che $z*barz=|z|^2$ allora $barz/|z|=|z|/z$, escludendo $z=0$ come soluzione, perciò l'equazione diventa:

$4barz/|z|-3barz/|z|=i <=> barz/|z|=i$ passando in trigonometrica $barz=rho*e^(-itheta)$, $|z|=rho$, infine $i=e^(ipi/2)$ per cui $rho*e^(-itheta)/rho=e^(ipi/2) <=> e^(-itheta)=e^(ipi/2)$ per cui l'equazione è verificata $AA rho in RR, rho>=0$ e per $theta=-pi/2-2kpi$ per cui sul piano di gauss le soluzioni sono date dalla parte negativa dell'asse immaginario. Ho fatto giusto?


Grazie!

[_luca.barletta]

sì, però era $rho>0$

[Dust1]

"luca.barletta":sì, però era $rho>0$

hai ragione... D'oh!! Speriamo non mi tolgano molto per la svista!