Numeri complessi
Disegnare nel piano complesso il numero w = -1 - √3 (i è fuori dalla radice) e rispondere ai seguenti quesiti:
a)determinare modulo e argomento principale di w.
allora il modulo dovrebbe essere 2. L'argomento principale dovrebbe essere Arctan b/a. Quindi Arctan (√3). Giusto?
A quanto è uguale in radianti l'arcotangente di radice di 3? Esiste una tabella dove sono scritti i valori dell'arcoseno dell'arcotangente dell'arcosecante ecc ecc?
b)Determinare e disegnare le soluzioni dell'equazione z^5=w.
Sò che devo riportare il numero in forma polare ma per farlo ho bisogno dell'angolo. Quindi come devo fare?
se avessi l'angolo lo saprei fare.
Aiutatemi per favore è urgente.
a)determinare modulo e argomento principale di w.
allora il modulo dovrebbe essere 2. L'argomento principale dovrebbe essere Arctan b/a. Quindi Arctan (√3). Giusto?
A quanto è uguale in radianti l'arcotangente di radice di 3? Esiste una tabella dove sono scritti i valori dell'arcoseno dell'arcotangente dell'arcosecante ecc ecc?
b)Determinare e disegnare le soluzioni dell'equazione z^5=w.
Sò che devo riportare il numero in forma polare ma per farlo ho bisogno dell'angolo. Quindi come devo fare?
se avessi l'angolo lo saprei fare.
Aiutatemi per favore è urgente.
Risposte
Il modulo è $sqrt(2)$, hai scordato di farne la radice.
$arctan(sqrt(3))= \pi + \pi/3 = \pi 4/3$.
Per i valori devi conoscere i valori di seno e coseno degli angoli noti oppure fare con la calcolatrice.
Ecco i valori più noti:
$sen(\pi/4)=cos(\pi/4)=1/(sqrt(2))$
$sen(\pi/6)=cos(\pi/3)=1/2$
$sen(\pi/3)=cos(\pi/6)= (sqrt(3))/2$
Per capire qual era il modulo mi sono ricordata che $tan(x)=(senx)/cosx$ e quali erano seno e coseno di $\pi/3$. Poi ho guardato i segni di parte reale e immaginaria del numero complesso w. Sono entrambi negativi quindi si trova nel 3° quadrante. Dato che la funzione tangente ha periodo $\pi$ ho aggiunto a $\pi/6$ $\pi$.
Paola
$arctan(sqrt(3))= \pi + \pi/3 = \pi 4/3$.
Per i valori devi conoscere i valori di seno e coseno degli angoli noti oppure fare con la calcolatrice.
Ecco i valori più noti:
$sen(\pi/4)=cos(\pi/4)=1/(sqrt(2))$
$sen(\pi/6)=cos(\pi/3)=1/2$
$sen(\pi/3)=cos(\pi/6)= (sqrt(3))/2$
Per capire qual era il modulo mi sono ricordata che $tan(x)=(senx)/cosx$ e quali erano seno e coseno di $\pi/3$. Poi ho guardato i segni di parte reale e immaginaria del numero complesso w. Sono entrambi negativi quindi si trova nel 3° quadrante. Dato che la funzione tangente ha periodo $\pi$ ho aggiunto a $\pi/6$ $\pi$.
Paola
"davidcape":
Disegnare nel piano complesso il numero w = -1 - √3 (i è fuori dalla radice) e rispondere ai seguenti quesiti:
a)determinare modulo e argomento principale di w.
allora il modulo dovrebbe essere 2. L'argomento principale dovrebbe essere Arctan b/a. Quindi Arctan (√3). Giusto?
A quanto è uguale in radianti l'arcotangente di radice di 3? Esiste una tabella dove sono scritti i valori dell'arcoseno dell'arcotangente dell'arcosecante ecc ecc?
b)Determinare e disegnare le soluzioni dell'equazione z^5=w.
Sò che devo riportare il numero in forma polare ma per farlo ho bisogno dell'angolo. Quindi come devo fare?
se avessi l'angolo lo saprei fare.
Aiutatemi per favore è urgente.
1) $|w|=sqrt(1+3)=sqrt4=2,arg(w)=arg(-1-i*sqrt3)=arg(-1*(1+i*sqrt3))=arg(-1)+arg(1+i*sqrt3)=pi+arctg(sqrt(3))=pi+pi/3=4/3*pi$
2)$z^5=w$ per de moivre $z_(1,2,3,4,5)=|w|^(1/5)*e^(i*1/5*(arg(w)+2kpi)),k=0,1,2,3,4$ cioè
$z_(1,2,3,4,5)=2^(1/5)*e^(i*1/5*(4/3*pi+2kpi)),k=0,1,2,3,4$
Sì scusate, la norma era 2, sono o che ho fatto 2 volte la radice!! Sorry!
Paola
Paola
"nicasamarciano":
[quote="davidcape"]Disegnare nel piano complesso il numero w = -1 - √3 (i è fuori dalla radice) e rispondere ai seguenti quesiti:
a)determinare modulo e argomento principale di w.
allora il modulo dovrebbe essere 2. L'argomento principale dovrebbe essere Arctan b/a. Quindi Arctan (√3). Giusto?
A quanto è uguale in radianti l'arcotangente di radice di 3? Esiste una tabella dove sono scritti i valori dell'arcoseno dell'arcotangente dell'arcosecante ecc ecc?
b)Determinare e disegnare le soluzioni dell'equazione z^5=w.
Sò che devo riportare il numero in forma polare ma per farlo ho bisogno dell'angolo. Quindi come devo fare?
se avessi l'angolo lo saprei fare.
Aiutatemi per favore è urgente.
1) $|w|=sqrt(1+3)=sqrt4=2,arg(w)=arg(-1-i*sqrt3)=arg(-1*(1+i*sqrt3))=arg(-1)+arg(1+i*sqrt3)=pi+arctg(sqrt(3))=pi+pi/3=4/3*pi$
2)$z^5=w$ per de moivre $z_(1,2,3,4,5)=|w|^(1/5)*e^(i*1/5*(arg(w)+2kpi)),k=0,1,2,3,4$ cioè
$z_(1,2,3,4,5)=2^(1/5)*e^(i*1/5*(4/3*pi+2kpi)),k=0,1,2,3,4$[/quote]
Scusate, ho un problema a determinare gli argomenti dei complessi. In sostanza se $zinCC$ e $z=a+ib$, senza considerare $arctg(b/a)$ perchè non posso usare la calcolatrice e mi ricordo meno i valori notevoli dell'$arctg$, bisogna trovare l'incognita del sistema ${(cos(phi)=a/|z|),(sin(phi)=b/|z|):}$? Sull'esercizio svolto da nicasamarciano sopra come ha fatto?
Vi ringrazio.. Ciao
"Dust":
[quote="nicasamarciano"][quote="davidcape"]Disegnare nel piano complesso il numero w = -1 - √3 (i è fuori dalla radice) e rispondere ai seguenti quesiti:
a)determinare modulo e argomento principale di w.
allora il modulo dovrebbe essere 2. L'argomento principale dovrebbe essere Arctan b/a. Quindi Arctan (√3). Giusto?
A quanto è uguale in radianti l'arcotangente di radice di 3? Esiste una tabella dove sono scritti i valori dell'arcoseno dell'arcotangente dell'arcosecante ecc ecc?
b)Determinare e disegnare le soluzioni dell'equazione z^5=w.
Sò che devo riportare il numero in forma polare ma per farlo ho bisogno dell'angolo. Quindi come devo fare?
se avessi l'angolo lo saprei fare.
Aiutatemi per favore è urgente.
1) $|w|=sqrt(1+3)=sqrt4=2,arg(w)=arg(-1-i*sqrt3)=arg(-1*(1+i*sqrt3))=arg(-1)+arg(1+i*sqrt3)=pi+arctg(sqrt(3))=pi+pi/3=4/3*pi$
2)$z^5=w$ per de moivre $z_(1,2,3,4,5)=|w|^(1/5)*e^(i*1/5*(arg(w)+2kpi)),k=0,1,2,3,4$ cioè
$z_(1,2,3,4,5)=2^(1/5)*e^(i*1/5*(4/3*pi+2kpi)),k=0,1,2,3,4$[/quote]
Scusate, ho un problema a determinare gli argomenti dei complessi. In sostanza se $zinCC$ e $z=a+ib$, senza considerare $arctg(b/a)$ perchè non posso usare la calcolatrice e mi ricordo meno i valori notevoli dell'$arctg$, bisogna trovare l'incognita del sistema ${(cos(phi)=a/|z|),(sin(phi)=b/|z|):}$? Sull'esercizio svolto da nicasamarciano sopra come ha fatto?
Vi ringrazio.. Ciao[/quote]
Sia $z=a+i*b=|z|*e^(i*phi),a,b in RR$ allora
$|z|=sqrt(a^2+b^2)$ e
$phi={(arctg(b/a),,a>0,,b>0),(2pi-arctg(|b|/a)=-arctg(|b|/a),,a>0,,b<0),(pi-arctg(b/|a|),,a<0,,b>0),(pi+arctg(|b/a|),,a<0,,b<0):}$
nell'esercizio di cui sopra $a=-1,b=-sqrt3,phi=pi+arctg(sqrt3)=4/3*pi$
Quindi si fa solo con l'$arctg$.... Credevo ci fossero anche altri modi per farlo.. Mi sa che devo impararmi tutti i valori notevoli allora...
"Dust":
Quindi si fa solo con l'$arctg$.... Credevo ci fossero anche altri modi per farlo.. Mi sa che devo impararmi tutti i valori notevoli allora...
certo
Un'altra cosa.
Ho provato a fare questo es:
$i*z^2+(1-i)z+1=0$
Ho fatto così:
$z_(1,2)=(i-1+-sqrt(-6*i))/(2*i)=(i-1+-i*sqrt(6*i))/(2*i)$, ora vedo $sqrti$ come $sqrti=i^(1/2)=e^(ipi/4)$ in trigonometrica $cos(pi/4)+isin(pi/4)$ cioè $sqrt2/2+isqrt2/2$ perciò $z_(1,2)= ((i-1)+-(sqrt2/2i-sqrt2/2)sqrt6)/(2i)=((i-1)+-(2sqrt3/2i-2sqrt3/2))/(2i)=((-1(-_+)sqrt3)+i(1+-sqrt3))/(2i)=(((-1(-+)sqrt3)+i(1+-sqrt3))*(-2i))/4=(2i+-2sqrt3i+2+-2sqrt3)/4=((1+-sqrt3)/2)*(1+i)$
I $(-+)$ sono il contrario dei $+-$ solo che MathMl non li conosce...
L'esercizio è venuto giusto però, solo per curiosità, mi chiedevo se c'era un modo più azzeccato per farlo più in fretta, perchè nel mio caso è stato più lungo di quel che pensavo per un esercizietto del genere..
Ho provato a fare questo es:
$i*z^2+(1-i)z+1=0$
Ho fatto così:
$z_(1,2)=(i-1+-sqrt(-6*i))/(2*i)=(i-1+-i*sqrt(6*i))/(2*i)$, ora vedo $sqrti$ come $sqrti=i^(1/2)=e^(ipi/4)$ in trigonometrica $cos(pi/4)+isin(pi/4)$ cioè $sqrt2/2+isqrt2/2$ perciò $z_(1,2)= ((i-1)+-(sqrt2/2i-sqrt2/2)sqrt6)/(2i)=((i-1)+-(2sqrt3/2i-2sqrt3/2))/(2i)=((-1(-_+)sqrt3)+i(1+-sqrt3))/(2i)=(((-1(-+)sqrt3)+i(1+-sqrt3))*(-2i))/4=(2i+-2sqrt3i+2+-2sqrt3)/4=((1+-sqrt3)/2)*(1+i)$
I $(-+)$ sono il contrario dei $+-$ solo che MathMl non li conosce...
L'esercizio è venuto giusto però, solo per curiosità, mi chiedevo se c'era un modo più azzeccato per farlo più in fretta, perchè nel mio caso è stato più lungo di quel che pensavo per un esercizietto del genere..
"Dust":
Un'altra cosa.
Ho provato a fare questo es:
$i*z^2+(1-i)z+1=0$
Ho fatto così:
$z_(1,2)=(i-1+-sqrt(-6*i))/(2*i)=(i-1+-i*sqrt(6*i))/(2*i)$, ora vedo $sqrti$ come $sqrti=i^(1/2)=e^(ipi/4)$ in trigonometrica $cos(pi/4)+isin(pi/4)$ cioè $sqrt2/2+isqrt2/2$ perciò $z_(1,2)= ((i-1)+-(sqrt2/2i-sqrt2/2)sqrt6)/(2i)=((i-1)+-(2sqrt3/2i-2sqrt3/2))/(2i)=((-1(-_+)sqrt3)+i(1+-sqrt3))/(2i)=(((-1(-+)sqrt3)+i(1+-sqrt3))*(-2i))/4=(2i+-2sqrt3i+2+-2sqrt3)/4=((1+-sqrt3)/2)*(1+i)$
I $(-+)$ sono il contrario dei $+-$ solo che MathMl non li conosce...
L'esercizio è venuto giusto però, solo per curiosità, mi chiedevo se c'era un modo più azzeccato per farlo più in fretta, perchè nel mio caso è stato più lungo di quel che pensavo per un esercizietto del genere..
io lo farei ponendo $z=a+i*,a,b in RR$ per cui l'equazione diventa
$i*(a^2-b^2+i*2ab)+(1-i)*(a+i*b)+1=0$ da cui uguagliando parti reali ed immaginarie si ha:
${(-2ab+a+b+1=0),(a^2-b^2-a+b=0):}$
La seconda possiamo scriverla come $a^2-b^2-(a-b)=(a-b)(a+b-1)=0$ da cui si ricava $a=b$ $U $ $a=1-b$
Sostituendo $a=b$ nella prima si ha $2b^2-2b-1=0->a=b=(1+-sqrt3)/2$
Sositutendo $a=1-b$ nella prima si ottiene $2b^2-2b+2=0$ che non ha alcuna soluzione nei reali, per cui le soluzioni sono
$z=((1+-sqrt3)/2)*(1+i)$
Ti ringrazio per la disponibilità! Ciao
Altro esercizio che vi chiedo di controllare...
$barz*Im(z)-z*|z|=0$
Allora, scrivo$z=rhoe^(itheta)$ , $barz=rhoe^(-itheta)$ , $|z|=rho$ , $Im(z)=be^(ipi)$(è esatto questo, perchè non ne sono sicuro..) per cui:
$rhoe^(-itheta)*be^(ipi)-rhoe^(itheta)*rho=0 <=> brho^(i(pi-theta))=rho^2e^(itheta)$
${(brho=rho^2),(pi-theta=theta):} <=> {(rho(rho-b)=0),(theta=pi/2):} <=> {(rho=0 v rho=b),(theta=pi/2):}$
per cui $z_1=0$ e $z_2=be^(i(pi/2+kpi))$ con $k=0,1$
E' esatto? Grazie
$barz*Im(z)-z*|z|=0$
Allora, scrivo$z=rhoe^(itheta)$ , $barz=rhoe^(-itheta)$ , $|z|=rho$ , $Im(z)=be^(ipi)$(è esatto questo, perchè non ne sono sicuro..) per cui:
$rhoe^(-itheta)*be^(ipi)-rhoe^(itheta)*rho=0 <=> brho^(i(pi-theta))=rho^2e^(itheta)$
${(brho=rho^2),(pi-theta=theta):} <=> {(rho(rho-b)=0),(theta=pi/2):} <=> {(rho=0 v rho=b),(theta=pi/2):}$
per cui $z_1=0$ e $z_2=be^(i(pi/2+kpi))$ con $k=0,1$
E' esatto? Grazie
Perché $Im(z)=be^(ipi)$?
"Dust":
Altro esercizio che vi chiedo di controllare...
$barz*Im(z)-z*|z|=0$
Allora, scrivo$z=rhoe^(itheta)$ , $barz=rhoe^(-itheta)$ , $|z|=rho$ , $Im(z)=be^(ipi)$(è esatto questo, perchè non ne sono sicuro..) per cui:
$rhoe^(-itheta)*be^(ipi)-rhoe^(itheta)*rho=0 <=> brho^(i(pi-theta))=rho^2e^(itheta)$
${(brho=rho^2),(pi-theta=theta):} <=> {(rho(rho-b)=0),(theta=pi/2):} <=> {(rho=0 v rho=b),(theta=pi/2):}$
per cui $z_1=0$ e $z_2=be^(i(pi/2+kpi))$ con $k=0,1$
E' esatto? Grazie
Allora, $z=rhoe^(itheta)$ , $barz=rhoe^(-itheta)$ , $|z|=rho$ , $Im(z)=rho*sin(theta)$ per cui:
$rho^2*sin(theta)*e^(-i*theta)-rho^2*e^(i*theta)=rho^2*(sin(theta)*e^(-i*theta)-e^(i*theta))=0$ da cui
$rho=0$ U $sin(theta)*e^(-i*theta)-e^(i*theta)=0$
Ora $rho=0$ comporta la soluzione $z=0$, mentre 'equazione $sin(theta)*e^(-i*theta)-e^(i*theta)=sin(theta)cos(theta)-i*sin^2(theta)-cos(theta)-i*sin(theta)=0$ cioè separando parte reale ed immaginaria si ha:
${(sin(theta)cos(theta)-cos(theta)=0),(-sin^2(theta)-sin(theta)=0):}$
La prima la scriviamo come $cos(theta)*(sin(theta)-1)=0$ cioè $theta=pi/2+2kpi,theta=3/2*pi+2kpi,k in ZZ$
Ora $theta=pi/2+2kpi,k in ZZ$ non soddisfa l'altra equazione mentre $theta=3/2*pi+2kpi,k in ZZ$ la soddisfa.
La seconda equazione la scriviamo come $sin(theta)*(sin(theta)+1)=0$ e fornisce soluzioni $theta=kpi,theta=3/2*pi+2kpi,k in ZZ$. Ora $theta=kpi$ non risolve la prima equazione, mentre $theta=3/2*pi+2kpi,k in ZZ$ la risolve.
In conclusione le soluzioni sono
$z=0$
$z=rho*e^(i*(3/2*pi+2kpi))=-i*rho$ con $rho>=0$
Queste soluzioni possono essere raccolte in $z=-i*rho$ con $rho>=0$
"Crook":
Perché $Im(z)=be^(ipi)$?
Perchè ho sbagliato..
Per quello l'ho postato, perchè ho fatto una considerazione totalmente errata per fare l'esercizio...@nicasamarciano: Grazie di nuovo(anche se spererei di si non vi assicuro che non posterò più..)
"Dust":
[quote="Crook"]Perché $Im(z)=be^(ipi)$?
Perchè ho sbagliato..
PEr quello l'ho postato, xke ho fatto una considerazione totalmente errata per fare l'es...@nicasamarciano: Grazie di nuovo(anche se spererei di si non vi assicuro che non postereò più..)
[/quote]posta quando vuoi, no problem.
poi $z=a+i*b=rho*e^(i*theta),a,b in RR,rho>=0, theta in [0,2pi]$ quindi $Im(z)=b=Im(rho*e^(i*phi))=rho*sin(theta)$
Il tuo errore sta nel fatto che $be^(ipi)=-b!=Im(z)$
Inoltre l'equazione o la risolvi nelle incognite $(rho,theta)$ o nelle incognite $(a,b)$
"nicasamarciano":
[quote="Dust"][quote="Crook"]Perché $Im(z)=be^(ipi)$?
Perchè ho sbagliato..
PEr quello l'ho postato, xke ho fatto una considerazione totalmente errata per fare l'es...@nicasamarciano: Grazie di nuovo(anche se spererei di si non vi assicuro che non postereò più..)
[/quote]posta quando vuoi, no problem.
poi $z=a+i*b=rho*e^(i*theta),a,b in RR,rho>=0, theta in [0,2pi]$ quindi $Im(z)=b=Im(rho*e^(i*phi))=rho*sin(theta)$
Il tuo errore sta nel fatto che $be^(ipi)=-b!=Im(z)$
Inoltre l'equazione o la risolvi nelle incognite $(rho,theta)$ o nelle incognite $(a,b)$[/quote]
Infatti, il mio problema stava proprio nel non saper rappresentare esponenzialmente $Im(z)$..
che mi ha poi portato a sbagliare a considerare le incognite....Comunque, da quanto hai detto tu, cioè $be^(ipi)=-b$ allora, non in questo esercizio in cui non sarebbe servito, ma in generale come avrei potuto scrivere $Im(z)=b$ in forma esponenziale?
Così: $rho*e^(i*3/2pi)?
"Dust":
[quote="nicasamarciano"][quote="Dust"][quote="Crook"]Perché $Im(z)=be^(ipi)$?
Perchè ho sbagliato..
PEr quello l'ho postato, xke ho fatto una considerazione totalmente errata per fare l'es...@nicasamarciano: Grazie di nuovo(anche se spererei di si non vi assicuro che non postereò più..)
[/quote]posta quando vuoi, no problem.
poi $z=a+i*b=rho*e^(i*theta),a,b in RR,rho>=0, theta in [0,2pi]$ quindi $Im(z)=b=Im(rho*e^(i*phi))=rho*sin(theta)$
Il tuo errore sta nel fatto che $be^(ipi)=-b!=Im(z)$
Inoltre l'equazione o la risolvi nelle incognite $(rho,theta)$ o nelle incognite $(a,b)$[/quote]
Infatti, il mio problema stava proprio nel non saper rappresentare esponenzialmente $Im(z)$..
che mi ha poi portato a sbagliare a considerare le incognite....Comunque, da quanto hai detto tu, cioè $be^(ipi)=-b$ allora, non in questo esercizio in cui non sarebbe servito, ma in generale come avrei potuto scrivere $Im(z)=b$ in forma esponenziale?
Così: $rho*e^(i*3/2pi)?[/quote]
la questione è semplice: o decidi di calcolare $z$ in forma algebrica cioè secondo le coppie $(a,b)$ o calcoli $z$ in forma esponenziale cioè con le coppie $(rho,theta)$. quindi mettere $b$ sotto forma esponenziale è inutile
Intendevo dire, come si rappresentano $Im(z)$ e $Re(z)$ in forma esponenziale... Che mi servirebbero se, per esempio volessi risolvere un equazione complessa tramite la forma esponenziale e basta.
Per esempio, quando si inizia a parlare della forma esponenz. sul mio libro scrivono un po' di valori($i$, $-i$, $1$) in esponenziale ed $1=e^(i*2kpi)$ perciò ieri ho pensato, erroneamente, di scrivere $Im(z)=b*e^(ipi)$, ma volevo sapere solamente il modo in cui si possono rappresentare $Imz$ e $Rez$ in esponenziale..
ps: sto rivedendo il tuo esercizio e non riesco a capire delle cose
Per esempio: quando scrivi $cos(theta)*(sin(theta)-1)=0$ con soluzioni $theta=pi/2+2kpi,theta=3/2*pi+2kpi,k in ZZ$, non dovrebbero essere $theta=pi/2+kpi$ per l'equazione $costheta=0$ e $theta=pi/2+2kpi,k in ZZ$ per $sintheta=1$?
Poi non ho capito il perchè vadano bene, per la 2° soluzione complessa dell'equazione, tutti i $rho>=0$
Grazie, ciao
Per esempio, quando si inizia a parlare della forma esponenz. sul mio libro scrivono un po' di valori($i$, $-i$, $1$) in esponenziale ed $1=e^(i*2kpi)$ perciò ieri ho pensato, erroneamente, di scrivere $Im(z)=b*e^(ipi)$, ma volevo sapere solamente il modo in cui si possono rappresentare $Imz$ e $Rez$ in esponenziale..
ps: sto rivedendo il tuo esercizio e non riesco a capire delle cose
${(sin(theta)cos(theta)-cos(theta)=0),(-sin^2(theta)-sin(theta)=0):}$
La prima la scriviamo come $cos(theta)*(sin(theta)-1)=0$ cioè $theta=pi/2+2kpi,theta=3/2*pi+2kpi,k in ZZ$
Ora $theta=pi/2+2kpi,k in ZZ$ non soddisfa l'altra equazione mentre $theta=3/2*pi+2kpi,k in ZZ$ la soddisfa.
La seconda equazione la scriviamo come $sin(theta)*(sin(theta)+1)=0$ e fornisce soluzioni $theta=kpi,theta=3/2*pi+2kpi,k in ZZ$. Ora $theta=kpi$ non risolve la prima equazione, mentre $theta=3/2*pi+2kpi,k in ZZ$ la risolve.
In conclusione le soluzioni sono
$z=0$
$z=rho*e^(i*(3/2*pi+2kpi))=-i*rho$ con $rho>=0$
Queste soluzioni possono essere raccolte in $z=-i*rho$ con $rho>=0$
Per esempio: quando scrivi $cos(theta)*(sin(theta)-1)=0$ con soluzioni $theta=pi/2+2kpi,theta=3/2*pi+2kpi,k in ZZ$, non dovrebbero essere $theta=pi/2+kpi$ per l'equazione $costheta=0$ e $theta=pi/2+2kpi,k in ZZ$ per $sintheta=1$?
Poi non ho capito il perchè vadano bene, per la 2° soluzione complessa dell'equazione, tutti i $rho>=0$
Grazie, ciao
grazie a tutti ragazzi, spero di aver capito. 
"Dust":
Intendevo dire, come si rappresentano $Im(z)$ e $Re(z)$ in forma esponenziale... Che mi servirebbero se, per esempio volessi risolvere un equazione complessa tramite la forma esponenziale e basta.
Per esempio, quando si inizia a parlare della forma esponenz. sul mio libro scrivono un po' di valori($i$, $-i$, $1$) in esponenziale ed $1=e^(i*2kpi)$ perciò ieri ho pensato, erroneamente, di scrivere $Im(z)=b*e^(ipi)$, ma volevo sapere solamente il modo in cui si possono rappresentare $Imz$ e $Rez$ in esponenziale..
ps: sto rivedendo il tuo esercizio e non riesco a capire delle cose
${(sin(theta)cos(theta)-cos(theta)=0),(-sin^2(theta)-sin(theta)=0):}$
La prima la scriviamo come $cos(theta)*(sin(theta)-1)=0$ cioè $theta=pi/2+2kpi,theta=3/2*pi+2kpi,k in ZZ$
Ora $theta=pi/2+2kpi,k in ZZ$ non soddisfa l'altra equazione mentre $theta=3/2*pi+2kpi,k in ZZ$ la soddisfa.
La seconda equazione la scriviamo come $sin(theta)*(sin(theta)+1)=0$ e fornisce soluzioni $theta=kpi,theta=3/2*pi+2kpi,k in ZZ$. Ora $theta=kpi$ non risolve la prima equazione, mentre $theta=3/2*pi+2kpi,k in ZZ$ la risolve.
In conclusione le soluzioni sono
$z=0$
$z=rho*e^(i*(3/2*pi+2kpi))=-i*rho$ con $rho>=0$
Queste soluzioni possono essere raccolte in $z=-i*rho$ con $rho>=0$
Per esempio: quando scrivi $cos(theta)*(sin(theta)-1)=0$ con soluzioni $theta=pi/2+2kpi,theta=3/2*pi+2kpi,k in ZZ$, non dovrebbero essere $theta=pi/2+kpi$ per l'equazione $costheta=0$ e $theta=pi/2+2kpi,k in ZZ$ per $sintheta=1$?
Poi non ho capito il perchè vadano bene, per la 2° soluzione complessa dell'equazione, tutti i $rho>=0$
Grazie, ciao
$theta=pi/2+2kpi,theta=3/2*pi+2kpi,k in ZZ$ sono le soluzioni di $cos(theta)*(sin(theta)-1)=0$ e sono uguali a quelle che dici tu. infatti $cos(theta)=0 <=> theta=pi/2+2kpi,theta=3/2*pi+2kpi$ che possono essere messe assieme in $theta=pi/2+kpi$ ma nulla cambia. quindi una soluzione di $cos(theta)=0$ coincide con quella di $sin(theta)=1$ e l'altra no. per cui le soluzioni sono $theta=pi/2+2kpi,theta=3/2*pi+2kpi,k in ZZ$.
inoltre nella forma polare $z=rho*e^(i*theta)$ $rho>=0,theta in [0,2pi]$ perchè $rho$ è il modulo ed il modulo è definito positivo cioè è maggiore od uguale di zero. Ecco per cui ho scritto $rho>=0$. andava sottinteso ma l'ho scritto perchè prima non era stato ribadito, cioè non ho fatto alcuna imposizione, è così sin dall'inizio della risoluzione dell'esercizio.
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