Numeri complessi
Ciao oggi risolvendo alcuni esercizi ho trovato difficoltà in questo.
$ (z^3-1)*(|z|^2+1)=0 $
Nel quale devo trovare le soluzioni.
Inizialmente pensavo di sostituire $ z=x+iy $ ma nel secondo passaggio verrebbe una moltiplicazione di fattori improponibile da risolvere.
Allora ho pensato di risolvere le due parentesi in modo separato, prima la prima che risulta
$ z^3=-1 $ dove risulterebbe
$ { ( x^3+3x^2y-3xy^2+1=0 ),( -y^3=0 ):} $
$ { ( x^3+1=0 ),( y=0 ):} $
Essendo x numero reale non è posso avere un numero complesso alla x; quindi non ho soluzione.
Ovviamente però soluzione ce l'hanno quindi mi chiedo dove sbaglio...
Qualcuno potrebbe suggerirmi un modo per risolverlo oppure dove sbaglio?
Grazie
$ (z^3-1)*(|z|^2+1)=0 $
Nel quale devo trovare le soluzioni.
Inizialmente pensavo di sostituire $ z=x+iy $ ma nel secondo passaggio verrebbe una moltiplicazione di fattori improponibile da risolvere.
Allora ho pensato di risolvere le due parentesi in modo separato, prima la prima che risulta
$ z^3=-1 $ dove risulterebbe
$ { ( x^3+3x^2y-3xy^2+1=0 ),( -y^3=0 ):} $
$ { ( x^3+1=0 ),( y=0 ):} $
Essendo x numero reale non è posso avere un numero complesso alla x; quindi non ho soluzione.
Ovviamente però soluzione ce l'hanno quindi mi chiedo dove sbaglio...
Qualcuno potrebbe suggerirmi un modo per risolverlo oppure dove sbaglio?
Grazie
Risposte
Dalla prima risulta $ z^3 =1 $ (e non $z^3=-1$) e sono le radici dell'unità.
Anche se fosse $z^3=-1 $ converrebbe usare la forma esponenziale , cioè ponendo $ z= rho *e^(itheta) $ e $-1=e^(i(2k+1)pi)$ da cui $ rho^3*e^(3i theta) = e^(i (2k+1)pi)$ etc
Anche se fosse $z^3=-1 $ converrebbe usare la forma esponenziale , cioè ponendo $ z= rho *e^(itheta) $ e $-1=e^(i(2k+1)pi)$ da cui $ rho^3*e^(3i theta) = e^(i (2k+1)pi)$ etc
Ciao Dot.who,
Il secondo fattore non si annulla mai, per cui le soluzioni sono date solo dall'annullamento del primo:
$z^3 - 1 = 0 \implies z^3 - 1^3 = 0 \implies (z - 1)(z^2 + z + 1) = 0 $
da cui si ottiene subito $z_1 = 1 $. Le altre due soluzioni si ottengono risolvendo la semplice equazione di secondo grado seguente:
$z^2 + z + 1 = 0 $
che fornisce le due soluzioni $ z_{2,3} = frac{- 1 \pm i sqrt{3}}{2} $
Il secondo fattore non si annulla mai, per cui le soluzioni sono date solo dall'annullamento del primo:
$z^3 - 1 = 0 \implies z^3 - 1^3 = 0 \implies (z - 1)(z^2 + z + 1) = 0 $
da cui si ottiene subito $z_1 = 1 $. Le altre due soluzioni si ottengono risolvendo la semplice equazione di secondo grado seguente:
$z^2 + z + 1 = 0 $
che fornisce le due soluzioni $ z_{2,3} = frac{- 1 \pm i sqrt{3}}{2} $
Grazie mille!!! 
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