Numeri complessi

[dem1509]

Ciao a tutti! Potreste aiutarmi a risolvere questi esercizi?
$z^6-abs(z^4)+abs(z^2)=1$
$abs(2z-i)/abs(2conj(z)+3)<=1$

per il primo ho trovato le seguenti equazioni: z=1; z=-1; z^4=-1
Le soluzioni mi risultano quindi $0, pi, pi/4, 3pi/4, 5pi/4, 7pi/4$ ma le ultime 4, ovvero quelle che si riferiscono a z^4=-1, non sono esatte...per il secondo non saprei come fare, ho provato a sostituire x+iy al posto di z ma poi non so come procedere
Vi ringrazio!

[Camillo]

Per il secondo esercizio se poni $z=x+iy $ sarà anche $bar z =x-iy $ e $| 2z-i |= | 2x+2iy-i |=| 2x+(2y-1)i| = sqrt( 4x^2+(2y-1)^2 )$ e analogamente al denominatore .....

[dem1509]

"Camillo":Per il secondo esercizio se poni $z=x+iy $ sarà anche $bar z =x-iy $ e $| 2z-i |= | 2x+2iy-i |=| 2x+(2y-1)i| = sqrt( 4x^2+(2y-1)^2 )$ e analogamente al denominatore .....

$sqrt( 4x^2+(2y-1)^2 )/sqrt((2x+3)^2+(2y)^2)<=1$
poi elevo al quadrato e risolvo rispetto a cosa?

[Camillo]

Eleva al quadrato e poi dovresti ottenere facendo un po' di conti :$1-4y <= 9+12x $ da cui $y>= -3x-2 $ tutti i punti del piano che verificano questa diseguaglianza sono soluzione del problema , cioè tutti i punti che stanno "sopra " la retta di equazione $y=-3x-2 $ e quindi i punti $z=x+iy $ con $y>= -3x-2 $

[dem1509]

Grazie delle risposte
Poi l'esercizio mi chiede di prendere solo i numeri complessi z tali che $Im(z^2)>Re(z^2)$. Questo come posso verificarlo?

[Camillo]

$z^2= (x+iy)^2= x^2-y^2 +2xyi $ e quindi $Im (z^2 )= 2xy ; Re(z^2 )= x^2-y^2 $ per cui la condizione diventa :$ 2xy > x^2-y^2 rarr x^2-y^2-2xy <0 $

[dem1509]

"Camillo":$z^2= (x+iy)^2= x^2-y^2 +2xyi $ e quindi $Im (z^2 )= 2xy ; Re(z^2 )= x^2-y^2 $ per cui la condizione diventa :$ 2xy > x^2-y^2 rarr x^2-y^2-2xy <0 $

Chiarissimo! Per quanto riguarda il primo esercizio dove sbaglio??