Nozione di norma e di duale

[carpirob]

Ciao a tutti. Ho un problemino con la definizione e nozione di norma e di duale !! La prima so cos'è in maniera spicciola....ma se la volessi spiegare per bene ho delle difficoltà. La seconda non so proprio cosa voglia significare...potreste aiutarmi con esempi semplici ma efficaci ??

Grazie

[gugo82]

Vediamo cosa è possibile fare.

Innanzitutto [tex]$\widetilde{f}=(f_m)$[/tex] è una successione, quindi potremmo azzardare che sia possibile calcolare [tex]$f(\widetilde{f})$[/tex]... Però ciò non è detto sia possibile, perchè [tex]$f$[/tex] opera su [tex]$\ell^2$[/tex] ed allo stato attuale non sappiamo se [tex]$\widetilde{}$[/tex] è una successione di [tex]$\ell^2$[/tex].
Tuttavia possiamo considerare, per fissato [tex]$N$[/tex], la troncatura di [tex]$\widetilde{f}$[/tex] all'indice [tex]$N$[/tex], ossia la successione:

[tex]$\widetilde{f}^N :=(f_1,\f_2,\ldots ,f_{N-1},f_N,0,\ldots ,0,\ldots) =\sum_{m=1}^N f_m\ e^m$[/tex],

la quale è evidentemente in [tex]$c_{00}$[/tex]; essendo [tex]$c_{00}\subseteq \ell^2$[/tex], ha senso calcolare [tex]$f(\widetilde{f}^N)$[/tex]:

[tex]$f(\widetilde{f}^N) =\sum_{m=1}^N f_m\ f_m=\sum_{m=1}^N f_m^2$[/tex].

Ora usiamo il fatto che [tex]$f$[/tex] è limitato, cosicché esiste una costante [tex]$C\geq 0$[/tex] tale che [tex]$|f(x)|\leq C\ \lVert x\rVert_2$[/tex] per ogni [tex]$x\in \ell^2$[/tex]; in particolare allora è:

[tex]$\sum_{m=1}^N f_m^2 =|f(\widetilde{f}^N)| \leq C\ \lVert \widetilde{f}^N\rVert_2 =C\ \sqrt{\sum_{m=1}^N f_m^2}$[/tex],

cosicché se [tex]$\sum_{m=1}^N f_m^2 \neq 0$[/tex] per [tex]$N$[/tex] sufficientemente grande* allora si può semplificare m.a.m. la precedente e trovare:

[tex]$\sqrt{\sum_{m=1}^N f_m^2} \leq C \ \Rightarrow\ \sum_{m=1}^N f_m^2 \leq C^2$[/tex].

Visto che [tex]$C$[/tex] non dipende dall'indice [tex]$N$[/tex], la precedente significa che la successione delle somme parziali della serie [tex]\sum f_m^2[/tex] è limitata; visto che [tex]\sum f_m^2[/tex] è a termini non negativi essa converge e si ha:

[tex]$\sum_{m=1}^{+\infty} f_m^2 \leq C$[/tex]

cosicché [tex]$\widetilde{f} \in \ell^2$[/tex]!
In più, ricordando che la [tex]$\lVert f\rVert_\prime$[/tex] è la più piccola costante [tex]$C$[/tex] per la quale vale la disuguaglianza [tex]$|f(x)|\leq C\ \lVert x\rVert_2$[/tex], si trova:

[tex]$\lVert \widetilde{f}^N\rVert_2^2 =|f(\widetilde{f}^N)| \leq \lVert f\rVert_\prime \ \lVert \widetilde{f}^N\rVert_2$[/tex]

la quale, passando al limite e semplificando diventa:

[tex]$\lVert \widetilde{f}\rVert_2 \leq \lVert f\rVert_\prime$[/tex];

d'altra parte, comunque si fissi [tex]$x\in \ell^2$[/tex] e comunque si fissi l'indice [tex]$N$[/tex], la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per le somme finite implica:

[tex]$|f(u^N)| =\left| \sum_{m=1}^N f_m\ x_m \right| \leq \lVert \widetilde{f}^N\rVert_2\ \lVert u^N\rVert_2$[/tex]

(qui, come in qualche post precedente, [tex]$u^N:=(x_1,\ldots ,x_N,0,\ldots)$[/tex]) e passando al limite su [tex]$N$[/tex]:

[tex]$|f(x)|=\lim_N |f(u^N)|\leq \lVert \widetilde{f}\rVert_2\ \lim_N \lVert u^N\rVert_2 =\lVert \widetilde{f}\rVert_2\ \lVert x\rVert_2$[/tex].

Ciò significa che [tex]$C=\lVert \widetilde{f}\rVert_2$[/tex] è una costante per la quale si ha [tex]$|f(x)|\leq C\ \lVert x\rVert_2$[/tex], quindi

[tex]$\lVert f\rVert_\prime \leq \lVert \widetilde{f}\rVert_2$[/tex].

Ne consegue che la norma duale di [tex]$f$[/tex] uguaglia la norma [tex]$\ell^2$[/tex] della successione [tex]$\widetilde{f}$[/tex], cioè [tex]$\lVert f\rVert_\prime =\lVert \widetilde{f}\rVert_2$[/tex].

Riassumendo, l'applicazione [tex]$\widetilde{}: (\ell^2)^\prime \to \ell^2$[/tex] è lineare, suriettiva e conserva la norma; in particolare il fatto che conservi la norma implica due cose importantissime, ossia 1 che essa è continua (quando si doti il duale [tex]$(\ell^2)^\prime$[/tex] della topologia indotta dalla norma duale) e 2 che [tex]$\widetilde{}$[/tex] è iniettiva.
Lasciando stare la continuità, proviamo l'iniettività di [tex]$\widetilde{}$[/tex]: per assurdo, supponiamo che esistano due funzionali [tex]$f,g\in (\ell^2)^\prime$[/tex] distinti ma tali che [tex]$\widetilde{f}=\widetilde{g}$[/tex]; in tal caso si avrebbe:

[tex]$\lVert f-g\rVert_2=\lVert \widetilde{f-g}\rVert_\prime =\lVert \widetilde{f} -\widetilde{g} \rVert_\prime =0$[/tex],

il che è assurdo, perchè [tex]$f\neq g$[/tex] implica [tex]$\lVert f-g\rVert_2\neq 0$[/tex].
Perciò la [tex]$\widetilde{}$[/tex] è addirittura invertibile tra [tex]$(\ell^2)^\prime$[/tex] ed [tex]$\ell^2$[/tex]...

Quindi, tirando le somme, possiamo dire che ad ogni funzionale [tex]$f\in (\ell^2)^\prime$[/tex] è possibile associare un'unica [tex]$\widetilde{f}\in \ell^2$[/tex] tale che:

[tex]$f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} f_n\ x_n$[/tex],

sicché è possibile descrivere i valori assunti da [tex]$f$[/tex] usando la [tex]$\widetilde{f}$[/tex]. Quando si verifica una situazione del genere si dice che [tex]$\widetilde{f}$[/tex] rappresenta il funzionale [tex]$f$[/tex].
Quanto appena scoperto è riassunto nel classico teorema di rappresentazione di Riesz (versione semplificata):

Fissato [tex]$f\in (\ell^2)^\prime$[/tex] esiste un unica sucecssione [tex]$\widetilde{f} \in \ell^2$[/tex] che rappresenta [tex]$f$[/tex] tale che [tex]$\lVert f\rVert_\prime =\lVert \widetilde{f}\rVert_2$[/tex].
Inoltre l'applicazione [tex]$\widetilde{} \ell^2)^\prime \to \ell^2$[/tex] che ad ogni funzionale associa il suo unico rappresentante è un'isometria lineare tra i due spazi normati.

__________
* Se [tex]\sum_{m=1}^N f_m^2 =0[/tex] per ogni [tex]$N\in \mathbb{N}$[/tex] allora [tex]$(f_m)$[/tex] è la successione nulla e quindi è in qualsiasi sottospazio di [tex]$s$[/tex].

[gugo82]

Per allontanarci dalla teoria, propongo un esempio pratico.

***

Esercizio:
Sia [tex]$C_b([0,+\infty[)$[/tex] lo spazio delle funzioni continue e limitate in [tex]$[0,+\infty[$[/tex].
Esso si può strutturare come spazio vettoriale normato scegliendo come norma quella dell'estremo superiore, che al solito denotiamo con [tex]$\lVert \cdot \rVert_\infty$[/tex].

Posto: [tex]$\forall u\in C_b([0,+\infty[)$[/tex],

(*) [tex]$Au :=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2^k}\ \int_k^{k+1} u(x)\ \text{d} x$[/tex],

1. provare che [tex]$A$[/tex] è un funzionale lineare e continuo su [tex]$C_b([0,+\infty[)$[/tex];

2. calcolare la norma duale di [tex]$A$[/tex].

***

Segue uno svolgimento commentato e dettagliato (che spoilerizzo sia per lasciar lavorare chi voglia far da sé, sia per la lunghezza).

1.

Per comodità divido la dimostrazione in tre passi.

Passo 1: la (*) definisce un'applicazione di [tex]$C_b([0,+\infty[)$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
Dobbiamo provare che [tex]$Au$[/tex] è un numero reale: per fare ciò basta provare che la serie [tex]\sum \frac{(-1)^k}{2^k}\ \int_k^{k+1} u(x)\ \text{d} x[/tex] è assolutamente convergente.
Detto [tex]$M$[/tex] un maggiorante di [tex]$|u|$[/tex] in [tex]$[0,+\infty[$[/tex] (esistente perchè [tex]$u\in C_b([0,+\infty[)$[/tex]), si ha per ogni [tex]$K\in \mathbb{N}$[/tex]:

[tex]$\sum_{k=0}^K \frac{1}{2^k}\ \left| \int_k^{k+1} u(x)\ \text{d} x\right| \leq \sum_{k=0}^K \frac{1}{2^k}\ \int_k^{k+1} |u(x)|\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$\leq \sum_{k=0}^K \frac{1}{2^k}\ \int_k^{k+1} M\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$\leq M\ \sum_{k=0}^K \frac{1}{2^k}$[/tex]

cosicché, passando al limite, si ottiene:

[tex]$\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k}\ \left| \int_k^{k+1} u(x)\ \text{d} x\right|
che è quanto volevamo. Quindi [tex]$A:C_b([0,+\infty[) \to \mathbb{R}$[/tex].

Passo 2: [tex]$A$[/tex] è lineare.
Ciò segue dalle proprietà delle serie e dell'integrale di Riemann: infatti si ha:

[tex]$A(\alpha\ u+\beta\ v)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2^k}\ \int_k^{k+1} [\alpha\ u(x)+\beta\ v(x)]\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\alpha\ \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2^k}\ \int_k^{k+1} u(x)\ \text{d} x +\beta\ \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2^k}\ \int_k^{k+1} v(x)\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\alpha\ Au+\beta\ Av$[/tex]

per [tex]$u,v\in C_b([0,+\infty[)$[/tex] ed [tex]$\alpha,\beta \in \mathbb{R}$[/tex].

Passo 3: [tex]$A$[/tex] è continuo.
Per fare ciò basta far vedere che esso è limitato, ossia che esiste una costante [tex]$C\geq 0$[/tex] tale che [tex]$|Au|\leq C\ \lVert u\rVert_\infty$[/tex] per ogni [tex]$u\in C_b([0,+\infty[)$[/tex].
Fissata [tex]$u\in C_b([0,+\infty[)$[/tex] si ha:

[tex]$|Au|\leq \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k}\ \left| \int_k^{k+1} u(x)\ \text{d} x\right|$[/tex]
[tex]$\leq \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k}\ \int_k^{k+1} |u(x)|\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$\leq \lVert u\rVert_\infty\ \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k}\ \left| \int_k^{k+1}\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=2\ \lVert u\rVert_\infty$[/tex];

visto che la costante [tex]$2$[/tex] non dipende da [tex]$u$[/tex], si può prendere [tex]$C=2$[/tex] e la precedente si riscrive [tex]$|Au|\leq C\ \lVert u\rVert_\infty$[/tex], sicché [tex]$A$[/tex] è limitato e dunque [tex]$A\left( C_b([0,+\infty[)\right)^\prime$[/tex].

2.

Nel precedente Passo 3 abbiamo trovato che la costante [tex]$C=2$[/tex] gode della proprietà:

(**) [tex]$\forall u\in C_b([0,+\infty[),\ \quad |Au|\leq C\ \lVert u\rVert_\infty$[/tex];

per la stessa definizione di norma duale questo fatto implica che [tex]$\lVert A\rVert_\prime \leq 2$[/tex] (la norma duale di [tex]$A$[/tex] è la più piccola costante che gode della proprietà (**)).
Se dovessimo tirare ad indovinare allora diremmo che [tex]$\lVert A\rVert_\prime =2$[/tex], perchè le maggiorazioni che sono state fatte per determinare [tex]$C=2$[/tex] nella precedente catena di disuguaglianze sono le migliori possibili*; quindi l'idea è dimostrare che effettivamente sussiste l'uguaglianza [tex]$\lVert A\rVert_\prime =2$[/tex].
Per fare ciò basterebbe dimostrare che vale la relazione [tex]$2\leq \lVert A\rVert_\prime$[/tex].

Come fare?
Supponiamo di poter calcolare il valore del funzionale [tex]$A$[/tex] sulla funzione limitata ma non continua:

[tex]$\phi (x)=(-1)^k,\ \text{se $x\in [k,k+1[$} = \begin{cases} 1&\text{, se $x\in [k,k+1[$ con $k$ pari} \\ -1&\text{, se $x\in [k,k+1[$ con $k$ pari} \end{cases}$[/tex];

in tal caso troveremmo:

[tex]$A\phi =\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2^k}\ \int_k^{k+1} \phi(x)\ \text{d} x $[/tex]
[tex]$=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2^k}\ (-1)^k$[/tex]
[tex]$=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k}$[/tex]
[tex]$=2$[/tex]

mentre [tex]$\lVert \phi \rVert_\infty =\sup_{[0,+\infty[} |\phi| =1$[/tex], sicché [tex]$\frac{|A\phi|}{\lVert \phi\rVert_\infty} =2$[/tex] e perciò la norma di [tex]$A$[/tex] sarebbe proprio [tex]$=2$[/tex]... Tuttavia [tex]$\phi \notin C_b([0,+\infty[)$[/tex], quindi dobbiamo arrangiarci in altro modo.
Lo spirito è: "Ok, non posso usare [tex]$\phi$[/tex]... Ma posso "approssimare" [tex]$\phi$[/tex] con una successione di funzioni continue [tex]$(u_n)$[/tex] con [tex]$\lVert u_n\rVert_\infty =1$[/tex] in modo che [tex]$|Au_n|\to |A\phi| =2$[/tex]?".

Proviamo... Quello che chiediamo è trovare una successione [tex]$u_n$[/tex] i cui elementi abbiano [tex]$\lVert u_n\rVert_\infty =1[/tex]$ e [tex]\int_k^{k+1} u_n(x)\ \text{d} x \approx \int_k^{k+1} \phi (x)\ \text{d} x[/tex] per ogni [tex]$k\in \mathbb{N}$[/tex].
In [tex]$[k,k+1[$[/tex] il grafico di [tex]$\phi$[/tex] è un segmento d'estremi [tex]$(k,(-1)^k),\ (k+1, (-1)^k)$[/tex], quindi [tex]\int_k^{k+1}\phi[/tex] rappresenta l'area con segno di un quadrato di lato [tex]$1$[/tex] con base [tex]$[k,k+1[$[/tex] e giacente nel I o nel IV quadrante a seconda della parità di [tex]$k$[/tex] (in particolare, I quadrante per [tex]$k$[/tex] pari e IV quadrante per [tex]$k$[/tex] dispari); ne viene che per approssimare [tex]\int_k^{k+1} \phi[/tex] basta determinare una funzione [tex]$u_n$[/tex] che abbia per grafico in [tex]$[k,k+1[$[/tex] una figura geometrica elementare contenuta nel suddetto quadrato.

Ad esempio, perchè non utilizzare un trapezio isoscele?
Insomma, fare qualcosa del genere (in nero il grafico di [tex]$\phi$[/tex], in rosso quello di una ipotetica [tex]$u_n$[/tex]):
[asvg]xmin=0;xmax=4;ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
line([0,1],[1,1]); line([1,-1],[2,-1]);line([2,1],[3,1]); line([3,-1],[4,-1]); line([4,1],[5,1]);
stroke="red";
line([0,0],[0.25,1]); line([0.25,1],[0.75,1]); line([0.75,1],[1.25,-1]); line([1.25,-1],[1.75,-1]); line([1.75,-1],[2.25,1]); line([2.25,1],[2.75,1]); line([2.75,1],[3.25,-1]); line([3.25,-1],[3.75,-1]); line([3.75,-1],[4.25,1]); line([4.25,1],[4.75,1]);[/asvg]
In tal caso dovremmo solo preoccuparci di inclinare sempre più i lati dei trapezi al crescere di [tex]$n$[/tex], in modo da coprire via via sempre più spazio all'interno dei quadrati. Ad esempio, ciò potrebbe essere fatto prendendo le rette su cui giacciono i lati obliqui dei trapezi con coefficienti angolari [tex]$\pm n$[/tex]: in tal modo al crescere di [tex]$n$[/tex] i lati diventerebbero sempre più verticali ed i trapezi invaderebbero dunque tutti i quadrati.
Inoltre, dal grafico si evince che le nostre candidate [tex]$u_n$[/tex] sono periodiche di periodo [tex]$2$[/tex] (così come [tex]$\phi$[/tex], d'altronde), quindi basta costruire esplicitamente [tex]$u_n$[/tex] sull'intervallo [tex]$[0,2[$[/tex] e poi prolungarla per periodicità a tutto [tex]$[0,+\infty[$[/tex].

Tenendo in mente tali considerazioni elementari, prendiamo la restrizione di [tex]$\phi$[/tex] all'intervallo [tex]$[0,2[$[/tex] e costruiamo esplicitamente la [tex]$u_n$[/tex] in tale intervallo.
Rifacciamo il disegno, zoomando un po' sulla zona d'interesse:
[asvg]xmin=0;xmax=2;ymin=-1;ymax=1;
axes("","");
line([0,1],[1,1]); line([1,-1],[2,-1]);
stroke="red";
line([0,0],[0.25,1]); line([0.25,1],[0.75,1]); line([0.75,1],[1.25,-1]); line([1.25,-1],[1.75,-1]); line([1.75,-1],[2,0]);[/asvg]
Il primo lato obliquo giace sulla retta d'equazione [tex]$y=n\ x$[/tex]; tale retta incontra il grafico di [tex]$\phi$[/tex] nel punto di ascissa [tex]$\tfrac{1}{n}$[/tex], ergo [tex]$u_n(x)=n\ x,\ \text{se $x\in [0,\tfrac{1}{n}[$}$[/tex].
Il secondo ed il terzo lato obliquo giacciono invece sulla retta per [tex]$(1,0)$[/tex] con coefficiente angolare [tex]$-n$[/tex], cioè quella d'equazione [tex]$y=-n\ (x-1)=n-nx$[/tex]; tale retta incontra il grafico di [tex]$\phi$[/tex] nei punti d'ascissa [tex]$1-\tfrac{1}{n}$[/tex] ed [tex]$1+\tfrac{1}{n}$[/tex], sicché [tex]$u_n(x)=n-nx,\ \text{se $x\in [1-\tfrac{1}{n} ,1+\tfrac{1}{n}[$}$[/tex].
Il quarto lato obliquo giace sulla retta per [tex]$(2,0)$[/tex] con coefficiente angolare [tex]$n$[/tex], ossia quella d'equazione [tex]$y=n(x-2)n\ x-2n$[/tex]; tale retta incontra il grafico di [tex]$\phi$[/tex] nel punto d'ascissa [tex]$2-\tfrac{1}{n}$[/tex], quindi [tex]$u_n(x)=n\ x-2n,\ \text{se $x\in [2-\tfrac{1}{n} ,2[$}$[/tex].
Quindi in [tex]$[0,2[$[/tex]:

[tex]$u_n(x)=\begin{cases} n\ x &\text{, se $x\in [0,\tfrac{1}{n}[$} \\ 1 &\text{, se $x\in [\tfrac{1}{n} ,1-\tfrac{1}{n}]$} \\ n-n\ x &\text{, se $x\in [1-\tfrac{1}{n} ,1+\tfrac{1}{n}[$} \\ -1 &\text{, se $x\in [1+ \tfrac{1}{n} ,2+\tfrac{1}{n}]$} \\ n\ x-2n &\text{, se $x\in [2-\tfrac{1}{n} ,2[$} \end{cases}$[/tex],

infine la [tex]$u_n$[/tex] va prolungata per periodicità.
Non c'è dubbio che ogni [tex]$u_n\in C_b([0,+\infty[)$[/tex]; inoltre [tex]$\lVert u_n\rVert_\infty =\sup_{[0,+\infty[} |u_n|=1$[/tex].

Invece, l'integrale di [tex]$u_n$[/tex] su ogni intervallo del tipo [tex]$[k,k+1[$[/tex] è [tex]$(-1)^k\cdot \mathcal{A}_{n,k}$[/tex], in cui [tex]$\mathcal{A}_{n,k}$[/tex] è l'area senza segno del rettangoloide subordinato al grafico di [tex]$u_n$[/tex] in [tex]$[k,k+1[$[/tex]; ma tale rettangoloide è, per costruizione, un trapezio isoscele con base maggiore [tex]$=1$[/tex], base minore [tex]$=1-\tfrac{2}{n}$[/tex] ed altezza [tex]$=1$[/tex], cosicché:

[tex]$\mathcal{A}_{n,k} =\frac{1}{2}\ \left( 1+1-\tfrac{2}{n}\right) \ 1 = 1-\frac{1}{n}$[/tex]**,

ed è evidente che [tex]\int_k^{k+1} u_n =(-1)^k (1-\tfrac{1}{n}) \approx (-1)^k =\int_k^{k+1} \phi[/tex], quindi abbiamo trovato una buona successione "approssimante" [tex]$phi$[/tex].

Vediamo ora se la nostra successione [tex]$u_n$[/tex] riesce a fare davvero il servizio per cui l'abbiamo costruita.
Innanzitutto notiamo che:

[tex]$Au_n= \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2^k}\ \int_k^{k+1} u_n(x)\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2^k}\ (-1)^k\ \mathcal{A}_{n,k}$[/tex]
[tex]$=\left( 1-\frac{1}{n} \right) \ \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k}$[/tex]
[tex]$=2\ \left( 1-\frac{1}{n} \right)$[/tex].

Ora consideriamo i rapporti:

[tex]$\frac{|Au_n|}{\lVert u_n\rVert_\infty} =2\ \left( 1-\frac{1}{n} \right)$[/tex];

visto che:

[tex]$\lVert A \rVert_\prime =\sup_{\lVert u\rVert_\infty \leq 1,\ u\neq 0} \frac{|Au|}{\lVert u\rVert_\infty} \geq \sup_{n\in \mathbb{N}} \frac{|Au_n|}{\lVert u_n\rVert_\infty} =\sup_{n\in \mathbb{N}} 2\ \left( 1-\frac{1}{n} \right)$[/tex]

e che:

[tex]$\sup_{n\in \mathbb{N}} 2\ \left( 1-\frac{1}{n} \right) =\lim_n 2\ \left( 1-\frac{1}{n} \right) =2$[/tex],

risulta effettivamente:

[tex]$\lVert A\rVert_\prime \geq 2$[/tex],

che è quanto ci serviva per stabilire che [tex]$\lVert A\rVert_\prime =2$[/tex].



__________
* Ricordiamole nell'ordine: i) valore assoluto della serie maggiorato con la serie dei valori assoluti; ii) serie dei valori assoluti degli integrali maggiorata con la serie degli integrali dei valori assoluti; iii) serie degli integrali dei valori assoluti maggiorata con la serie degli integrali della costante [tex]$\lVert u\rVert_\infty$[/tex] (che è la più piccola delle funzioni coastanti a maggiorare ovunque [tex]$|u|$[/tex]).
** Per noti fatti di Geometria Elementare l'area del trapezio si trova prendendo la metà del prodotto dell'altezza con la somma delle due basi.

[Camillo]

Infatti mi piace, ma sono indietro con la teoria