Nozione di norma e di duale

[carpirob]

Ciao a tutti. Ho un problemino con la definizione e nozione di norma e di duale !! La prima so cos'è in maniera spicciola....ma se la volessi spiegare per bene ho delle difficoltà. La seconda non so proprio cosa voglia significare...potreste aiutarmi con esempi semplici ma efficaci ??

Grazie

[dissonance]

Ma la teoria non era da buttare nel cesso? Eppure questa è proprio una domanda di teoria. E le difficoltà originano dal fatto che non sai le definizioni ma solo delle idee intuitive, e così non vai da nessuna parte. Ti posso suggerire un libro che secondo me ti potrebbe essere molto utile: Analisi 3 di Gianni Gilardi; il primo capitolo spiega questi concetti base con grandissima (anche eccessiva, forse) dovizia di esempi.

In alternativa prova a consultare le dispense di Luigi Greco, anche qui primo capitolo: moolto più sintetiche ma ugualmente pensate per un pubblico di ingegneri.

[carpirob]

Io non ho mai detto che è da buttare nel cesso...e chiesi aiuto proprio perchè non riesco ad imparare queste nozioni. Cmq grazie del tuo tentativo d'aiutarmi !!

[gugo82]

@capirob: Da buon ingegnere quale sei dovresti conoscere il principio di azione e reazione di Newton, ossia (nella vulgata) Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria.
Dopo aver scritto:

"carpirob":A livello pratico serve moltissimo soprattutto per materie come Aerospaziale e meccanica. La teoria invece è da buttare nel cesso. non ne vedo l'utilità se non se vuoi fare il professore. Bah! In bocca al lupo

quale reazioni ti aspettavi?

Ad ogni modo, segui il consiglio di dissonance e vatti a leggere la teoria; dopo saprai dirci cosa davvero non ti è chiaro e noi sapremo aiutarti meglio.
Converrai con me che un intervento mirato è meglio di uno fatto "dove prendo prendo...".

[carpirob]

"gugo82":@capirob: Da buon ingegnere quale sei dovresti conoscere il principio di azione e reazione di Newton, ossia (nella vulgata) Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria.
Dopo aver scritto:
[quote="carpirob"]A livello pratico serve moltissimo soprattutto per materie come Aerospaziale e meccanica. La teoria invece è da buttare nel cesso. non ne vedo l'utilità se non se vuoi fare il professore. Bah! In bocca al lupo

quale reazioni ti aspettavi?

Ad ogni modo, segui il consiglio di dissonance e vatti a leggere la teoria; dopo saprai dirci cosa davvero non ti è chiaro e noi sapremo aiutarti meglio.
Converrai con me che un intervento mirato è meglio di uno fatto "dove prendo prendo...".[/quote]

Chiedo scusa a dissonance...non ricordavo di aver detto una cosa del genere. cmq ho letto un pò gli appunti che mi ha segnalato...ma continuo a non capire. Purtroppo è la materia che dal punto di vista teorico non riesco proprio a comprenderla.

Ho capito le proprietà della norma...ma preedentemente di spazi normati proprio zero. Per non parlare del duale...

[Fedecart]

Per duale intendi lo spazio duale, o spazio dei covettori?

[carpirob]

Spazio duale

[gugo82]

Uno spazio vettoriale normato è semplicemente uno spazio vettoriale [tex]$V$[/tex] in cui è definita una funzione [tex]$\lVert \cdot \rVert$[/tex], detta norma, che ha le proprietà che sai.
Tale norma può essere usata per misurare le distanze tra i vettori; uno spazio in cui puoi fare un'operazione del genere si chiama spazio metrico e la funzione che ti restituisce le distanze tra le coppie di punti si chiama metrica. Quindi uno spazio vettoriale normato si struttura canonicamente come spazio metrico usando come metrica la funzione [tex]$d(x,y):=\lVert y-x\rVert$[/tex].
Questa funzione distanza ha molte proprietà che ricordano quelle dell'usuale distanza tra punti del piano: ad esempio è invariante per traslazioni e scala linearmente rispetto alle omotetie... Quindi se vuoi imaginarti come opera $d(x,y)$ puoi usare la usuale distanza tra punti del piano.
Insomma, uno spazio normato non è altro che uno spazio vettoriale in cui puoi misurare le distanze tra i vettori, in modo che tali misurazioni siano (in un certo senso) "compatibili" con le operazioni tra vettori.

Prendi uno spazio vettoriale [tex]$V$[/tex] reale (il caso complesso è del tutto simile; basta scambiare [tex]$\mathbb{R}$[/tex] con [tex]$\mathbb{C}$[/tex] nel seguito).
Il duale algebrico [tex]$V^*$[/tex] (N.B.: l'aggettivo algebrico è importante!) è la classe delle applicazioni [tex]$f:V\to \mathbb{R}$[/tex] (dette anche funzionali) che sono lineari, ossia tali che:

[tex]$\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R},\ \forall x,y\in V,\quad f(\alpha\ x+\beta\ y)=\alpha\ f(x)+\beta\ f(y)$[/tex].

Supponi ora che [tex]$V$[/tex] sia anche normato. La domanda che viene abbastanza naturale è: "visto che si possono misurare le distanze tra i punti di [tex]$V$[/tex], non è che pure è possibile misurare le distanze tra gli elementi di [tex]$V^*$[/tex]? E, visto che [tex]$V$[/tex] è normato, non è che anche la metrica di [tex]$V^*$[/tex] sia indotta da una norma?"*
Ebbene, la risposta è: "è possibile trovare una metrica indotta da una norma, però con essa non è sempre possibile misurare le distanze di tutti i funzionali lineari appartenenti a [tex]$V^*$[/tex]."


[Continuo più tardi che ora ho un impegno urgente da sbrigare; però fammi sapere se ti interessa, altrimenti lascio perdere.]


__________
* Contrariamente a quel che può sembrare, questa non è una domanda posta con fine a se stessa. Non ho tempo di dilungarmi sull'argomento, ma posso dire che tale problema deriva più o meno direttamente dal probelma di rendere possibile quantificare la distanza tra (le soluzioni di) due equazioni ottenute modificando di poco i parametri da cui esse dipendono.
Ad esempio considera le equazioni scalari di primo grado:

[tex]$a\ x =b$[/tex] e [tex]$c\ y=d$[/tex]

e cerca di capire se prendendo i parametri [tex]$c\approx a$[/tex] e [tex]$d\approx b$[/tex] è possibile dire che [tex]$y\approx x$[/tex].

[carpirob]

Se c'è qualc'altra cosa da sapere...si sono interessato. Grazie

[dissonance]

Nel frattempo mi sono ricordato di un mio vecchio post:

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#353181

che parla del significato intuitivo dello spazio duale. Dai una scorsa, ma se ti sembra che entri in conflitto con la spiegazione di Gugo lascia perdere e segui lui.

[gugo82]

Certo che c'è ancora qualcosa da sapere... Sei troppo sbrigativo, ragazzo.
Se avessi sfogliato con attenzione la teoria, sapresti che lì si parla di funzionali lineari continui (o limitati, che è lo stesso), e non di semplici "funzionali lineari" come nel mio post precedente!
Quindi ti dovrebbe saltare agli occhi che c'è una grossa parte che ancora non ho raccontato.

Riprendo da dove ero rimasto.

Le questioni rimaste in sospeso sono: "come si costruisce una buona norma in [tex]$V^*$[/tex]?" e "su quali funzionali lineari può essere calcolata?".
Le ricerche hanno provato che una norma sensata è definibile come segue:

[tex]$\lVert f\rVert_\prime :=\sup_{x\neq 0_V} \frac{|f(x)|}{\lVert x\rVert}$[/tex]...

ma, affinché una definizione del genere abbia senso, bisogna che l'estremo superiore risulti finito.
Ciò accade sempre, ossia per ogni [tex]$f\in V^*$[/tex], se [tex]$\dim V$[/tex] è finita (cioè se [tex]$V$[/tex] è isomorfo ad un qualche [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex]).
Tuttavia è possibile provare che, non appena risulta [tex]$\dim V=\infty$[/tex] (che è il caso che si presenta più spesso quando [tex]$V$[/tex] è uno spazio di funzioni), esiste almeno un funzionale [tex]$\phi \in V^*$[/tex] tale che [tex]$\lVert \phi \rVert_\prime =+\infty$[/tex], sicché calcolare la norma [tex]$\lVert \cdot \rVert_\prime$[/tex] su [tex]$\phi$[/tex] non porta a nessun risultato utile!
Questo sconvolge i nostri piani e mostra che, in generale, la norma [tex]$\lVert \cdot \rVert_\prime$[/tex] non la possiamo definire su tutto il duale algebrico [tex]$V^*$[/tex] di [tex]$V$[/tex]. Ma allora su quali funzionali possiamo usare la [tex]$\lVert \cdot \rVert_\prime$[/tex]?
Beh, la possiamo usare certamente sui funzionali [tex]$f\in V^*$[/tex] che verificano la condizione:

(L) [tex]$\exists C\geq 0:\ \forall x\in V,\ |f(x)|\leq C\ \lVert x\rVert$[/tex]:

infatti se [tex]$f$[/tex] soddisfa la (L) comunque si scelga [tex]$x\neq 0_V$[/tex] risulta [tex]$\tfrac{|f(x)|}{\lVert x\rVert} \leq C$[/tex] e pertanto [tex]$\lVert f\rVert_\prime =\sup_{x\neq 0_V} \tfrac{|f(x)|}{\lVert x\rVert} \leq C <+\infty$[/tex].
I funzionali lineari [tex]$f:V\to \mathbb{R}$[/tex] che verificano la (L) si chiamano funzionali lineari limitati e la classe [tex]$V^\prime$[/tex] costituita da tutti e soli i funzionali lineari limitati definiti in [tex]$V$[/tex] si chiama spazio duale di [tex]$V$[/tex] (o anche duale topologico).
Per quanto detto prima si ha [tex]$V^\prime \subseteq V^*$[/tex]; però se [tex]$\dim V$[/tex] è finita allora [tex]$V^\prime =V^*$[/tex], mentre se [tex]$\dim V=\infty$[/tex] allora in generale è [tex]$V^\prime \subset V^*$[/tex].

Naturalmente lo studente con un po' di spirito di osservazione può chiedere: "chi mi dice che [tex]$V^\prime \neq \varnothing$[/tex]?".
La risposta è immediata: non solo [tex]$V^\prime \neq \varnothing$[/tex] (infatti l'applicazione nulla [tex]$\omega:V\ni x\mapsto 0\in \mathbb{R}$[/tex] è lineare e soddisfa (L) con [tex]$C=0$[/tex], sicché [tex]$\omega \in V^\prime$[/tex]), ma addirittura [tex]$V^\prime$[/tex] è un sottospazio vettoriale di [tex]$V^*$[/tex]!
Infatti se [tex]$\alpha,\beta$[/tex] sono scalari e [tex]$f,g\in V^\prime$[/tex] soddisfano la (L) con costanti [tex]$C,D\geq 0$[/tex], il funzionale lineare [tex]$\alpha\ f+\beta\ g$[/tex]* per ogni $x\in V$ soddisfa la disuguaglianza:

[tex]$|(\alpha\ f+\beta\ g)(x)|=|\alpha\ f(x)+\beta\ g(x)|\leq |\alpha|\ |f(x)|+|\beta|\ |g(x)|\leq |\alpha|\ C+|\beta|\ D$[/tex];

ne consegue che il funzionale lineare [tex]$\alpha\ f+\beta\ g$[/tex] soddisfa la (L) con costante [tex]$|\alpha|\ C+|\beta|\ D\geq 0$[/tex] e perciò risulta [tex]$\alpha\ f+\beta\ g \in V^\prime$[/tex].

Con un po' di conticini si dimostra che la condizione (L) (che poi, sotto sotto, è una condizione di Lipschitz per [tex]$f$[/tex]) è del tutto equivalente alla seguente:

(C) [tex]$\forall x_0\in V,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\ \forall \lVert x-x_0\rVert<\delta,\ |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$[/tex],

la quale, come noto dal corso di Analisi I, esprime la continuità del funzionale lineare [tex]$f$[/tex] in ogni punto [tex]$x_0\in V$[/tex].
Ciò significa stabilire che un funzionale lineare è continuo in [tex]$V$[/tex] se e solo se esso è limitato; per questo motivo gli elementi [tex]$f\in V^\prime$[/tex] sono spesso chiamati funzionali lineari continui e lo spazio duale [tex]$V^\prime$[/tex] è anche detto duale topologico di [tex]$V$[/tex] (ricorda che la continuità è una nozione topologica e non algebrico-lineare!).

Fine della storia.
Ora deve cominciare a parlare la teoria.
Buono studio.


__________
* Dal corso di Geometria o Algebra Lineare è noto che la somma [tex]$f+g$[/tex] di applicazioni lineari [tex]$f,g$[/tex] ed il prodotto [tex]$\alpha\ f$[/tex] di uno scalare [tex]$\alpha$[/tex] con un'applicazione lineare [tex]$f$[/tex] sono ancora applicazioni lineari. Ergo [tex]$V^*$[/tex] è uno spazio vettoriale.

[carpirob]

Mamma mia....quanta roba. però devo dirti la verità ??? Sul mio libro non ci sono scritte tutte queste cose...o meglio ci sono scritte ma in maniera molto complessa. Il libro è Marcellini-Sbordone!!

[Zero87]

"gugo82":
Le questioni rimaste in sospeso sono: "come si costruisce una buona norma in [tex]$V^*$[/tex]?" e "su quali funzionali lineari può essere calcolata?".
Le ricerche hanno provato che una norma sensata è definibile come segue:

[tex]$\lVert f\rVert_\prime :=\sup_{x\neq 0_V} \frac{|f(x)|}{\lVert x\rVert}$[/tex]...

ma, affinché una definizione del genere abbia senso, bisogna che l'estremo superiore risulti finito.
Ciò accade sempre, ossia per ogni [tex]$f\in V^*$[/tex], se [tex]$\dim V$[/tex] è finita (cioè se [tex]$V$[/tex] è isomorfo ad un qualche [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex]).
Tuttavia è possibile provare che, non appena risulta [tex]$\dim V=\infty$[/tex] (che è il caso che si presenta più spesso quando [tex]$V$[/tex] è uno spazio di funzioni), esiste almeno un funzionale [tex]$\phi \in V^*$[/tex] tale che [tex]$\lVert \phi \rVert_\prime =+\infty$[/tex], sicché calcolare la norma [tex]$\lVert \cdot \rVert_\prime$[/tex] su [tex]$\phi$[/tex] non porta a nessun risultato utile!
Questo sconvolge i nostri piani e mostra che, in generale, la norma [tex]$\lVert \cdot \rVert_\prime$[/tex] non la possiamo definire su tutto il duale algebrico [tex]$V^*$[/tex] di [tex]$V$[/tex]. Ma allora su quali funzionali possiamo usare la [tex]$\lVert \cdot \rVert_\prime$[/tex]?
Beh, la possiamo usare certamente sui funzionali [tex]$f\in V^*$[/tex] che verificano la condizione:

(L) [tex]$\exists C\geq 0:\ \forall x\in V,\ |f(x)|\leq C\ \lVert x\rVert$[/tex]:

infatti se [tex]$f$[/tex] soddisfa la (L) comunque si scelga [tex]$x\neq 0_V$[/tex] risulta [tex]$\tfrac{|f(x)|}{\lVert x\rVert} \leq C$[/tex] e pertanto [tex]$\lVert f\rVert_\prime =\sup_{x\neq 0_V} \tfrac{|f(x)|}{\lVert x\rVert} \leq C <+\infty$[/tex].

Uhm, molto interessante. Durante il corso di analisi funzionale questa parte è stata totalmente omessa. Si è parlato fino alla nausea di duali e di teoremi sugli spazi (duali, doppio-duali, triplo-duali) senza accennare minimamente al perché di questa "norma del sup" ed a tutti gli scrupoli che occorre adottare con questa (mi riferisco alla limitatezza dei funzionali ed a tutto quello che ho riportato qui).

@carpirob: Quale libro di Marcellini-Sbordone nella fattispecie?

[Camillo]

Molto molto interessante , sarebbe bello qualche esempio commentato relativo a spazi duali

[gugo82]

@capirob:

"carpirob":Mamma mia....quanta roba. però devo dirti la verità ??? Sul mio libro non ci sono scritte tutte queste cose...o meglio ci sono scritte ma in maniera molto complessa. Il libro è Marcellini-Sbordone!!

Beh, siamo sempre lì... Che ti aspetti da un libro di Matematica? Un raccontino come il mio, o la teoria sistemata e spiegata in modo chiaro?
Io, da un buon libro di Matematica, mi aspetto la teoria spiegata come si deve e qualche paragrafo sulla storia del problema.
Ad esempio, in quest'ottica apprezzavo molto i testi pre-riforma del Giusti.

I testi di Marcellini e Sbordone sono ottimoi testi, soprattutto per i non matematici, giacché mantengono la trattazione sempre ad un livello abbastanza elementare ed intuitivo.
Quale dei tanti testi stai usando?

@Zero87:

"Zero87":Uhm, molto interessante. Durante il corso di analisi funzionale questa parte è stata totalmente omessa. Si è parlato fino alla nausea di duali e di teoremi sugli spazi (duali, doppio-duali, triplo-duali) senza accennare minimamente al perché di questa "norma del sup" ed a tutti gli scrupoli che occorre adottare con questa (mi riferisco alla limitatezza dei funzionali ed a tutto quello che ho riportato qui).

In realtà nemmeno nel corso di AF che ho seguito io s'è mai insistito sul perchè si scegliesse la "norma del sup" o su come essa è venuta fuori... Diciamo che ho colmato in parte la lacuna con ulteriori letture.
Tuttavia ancora non mi sento totalmente a mio agio a doverne parlare in termini divulgativi; dovrei approfondire un po' la cosa... Ne potrebbe venir fuori un altro articolo per il Magazine (tipo quello pubblicato di recente).

[size=59]@dissonance: Seguo il tuo consiglio. [tex]$\nearrow$[/tex][/size]

@camillo: Grazie.
Che esempi ti piacerebbe leggere? Tipo, esistenza di funzionali non limitati? Oppure calcolo esplicito della norma? O qualche altra cosetta più esotica?

[carpirob]

Sto usando la versione completa !!

[gugo82]

"carpirob":Sto usando la versione completa !!

Edizione completa di che?
Di libri by Marcellini&Sbordone ce ne sono tanti...

[Camillo]

@ gugo : un calcolo esplicito di norma e.... anche qualcosa di più sfizioso che faccia comprendere bene il significato che sta dietro a tutto.
Un esercizio commentato su applicazione del teorema di rappresentazione di Riesz sarebbe pure gradito

[gugo82]

Vediamo un po' che si può fare...
Di esempi significativi con i funzionali lineari non me ne sono venuti troppi in mente; questo credo sia legato al fatto che la teoria della dualità viene usata per lo più per sbrogliare questioni topologico-geometriche di base negli spazi normati e si trova poco nelle applicazioni.
Per dirne una, la teoria della dualità è usata per introdurre l'importantissima topologia debole, che serve ad avere più funzionali nonlineari continui... Questo è utile per esempio nel Calcolo delle Variazioni, in cui si ha a che fare sempre con funzionali nonlineari.

***

Ho pensato di far vedere due conticini a mano.
Il teorema di rappresentazione di Riesz si può provare in alcuni casi senza ricorrere alla teoria astratta degli spazi di Hilbert... Vi mostro come.

Prendiamo uno degli spazi più semplici sul mercato, ossia [tex]$\ell^2$[/tex].
Tale spazio contiene successioni di numeri reali e, precisamente, è definito come segue:

[tex]$x=(x_n)\in \ell^2\ \Leftrightarrow\ \sum_{n=1}^{+\infty} |x_n|^2<+\infty$[/tex];

perciò la successione [tex]$(x_n)$[/tex] è in [tex]$\ell^2$[/tex] solo se la serie [tex]\sum |x_n|^2[/tex] è convergente.
L'uguaglianza:

[tex]$\lVert x\rVert_2 := \sum_{n=1}^{+\infty} |x_n|^2$[/tex]

definisce una norma in [tex]$\ell^2$[/tex], il quale se dotato anche delle operazioni di somma e prodotto per lo scalare definite appresso:

[tex]$x+y:=(x_n+y_n)$[/tex] e [tex]$\alpha\ x:=(\alpha\ x_n)$[/tex],

diventa uno spazio normato.
Lo spazio [tex]$\ell^2$[/tex] coincide con la chiusura rispetto alla (topologia indotta dalla) norma [tex]$\lVert \cdot \rVert_2$[/tex] della classe [tex]$c_{00}$[/tex], i cui elementi sono le successioni definitivamente nulle, ossia le successioni [tex]$u=(u_n)$[/tex] tali che:

[tex]$\exists \nu \in \mathbb{N}:\ \forall n\geq \nu ,\ u_n=0$[/tex];

invero fissati [tex]$x\in \ell^2$[/tex] ed [tex]$\varepsilon >0$[/tex] è possibile trovare [tex]$\nu\in \mathbb{N}$[/tex] in modo che [tex]\sum_{n=\nu +1}^{+\infty} |x_n|^2<\varepsilon^2[/tex] (poichè se la serie [tex]\sum |x_n|^2[/tex] è convergente, allora la successione dei resti [tex]r_N=\sum_{n=N}^{+\infty} |x_n|^2[/tex] è infinitesima), quindi posto [tex]$u=(x_1,\ldots ,x_\nu,0,\ldots ,0,\ldots )$[/tex] risulta

[tex]$\lVert x-u\rVert_2^2 =\sum_{n=\nu +1}^{+\infty} |x_n|^2<\varepsilon^2 \ \Rightarrow\ \lVert x-u\rVert_2<\varepsilon$[/tex]

quindi [tex]$c_{00}$[/tex] è denso in [tex]$\ell^2$[/tex] (perchè, per quanto appena visto, ogni [tex]$x\in \ell^2$[/tex] può essere approssimato in norma bene quanto si vuole con qualche elemento di [tex]$c_{00}$[/tex]).
Inoltre è facile constatare che [tex]$c_{00}$[/tex] è il sottospazio di [tex]$\ell^2$[/tex] generato dalla famiglia di successioni [tex]$\{ e^m \}_{m\in \mathbb{N}}$[/tex], in cui:

[tex]$e^m:=(\delta_n^m)$[/tex] con [tex]$\delta_n^m =\begin{cases} 0 &\text{, se $n\neq m$}\\ 1 &\text{, se $n=m$} \end{cases}$[/tex]; quindi non è difficile dimostrare che si può scrivere:

(*) [tex]$x=\sum_{m=1}^{+\infty}x_m\ e^m$[/tex]

con la serie convergente nel senso della norma (i.e. [tex]\lim_N \lVert x- \sum_{m=1}^N x_m\ e^m\rVert_2 =0[/tex]). Perciò [tex]$\ell^2 =\overline{\text{span} \{ e^m\}_{m\in \mathbb{N}}}$[/tex] (con la sopralineatura ad indicare la chiusura fatta rispetto alla norma).

Quanto finora detto è importante in quanto consente di vedere [tex]$\ell^2$[/tex] come la più immediata generalizzazione dello spazio [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex]: infatti la (*) consente di riguardare la rappresentazione estesa [tex]$(x_1,x_2,\ldots ,x_n,\ldots)$[/tex] di [tex]$x\in \ell^2$[/tex] come un vettore di coordinate "ad infinite componenti" (si ricordi che se [tex]$\{ e^1,\ldots ,e^N\} $[/tex] è la base canonica di [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] allora ogni [tex]$x=(x_1,\ldots ,x_N)$[/tex] si scrive come [tex]\sum_{n=1}^N x_n\ e^n[/tex]); inoltre la distanza indotta dalla norma è:

[tex]$d(x,y):=\lVert x-y\rVert_2 =\sqrt{\sum_{n=1}^{+\infty} |x_n-y_n|^2}$[/tex]

che è del tutto simile alla usuale distanza euclidea [tex]$\sqrt{\sum_{n=1}^N |x_n-y_n|^2}$[/tex] tra due vettori [tex]$x,y\in \mathbb{R}^N$[/tex], l'unica differenza essendo nel fatto che [tex]$N=+\infty$[/tex].
In un certo senso, possiamo dire che [tex]$\{ e^m\}_{m\in\mathbb{N}}$[/tex] è una "base" per [tex]$\ell^2$[/tex]; però notiamo esplicitamente che il termine base non è da intendersi nel senso dell'Algebra Lineare!

Consideriamo allora un funzionale [tex]$f\in (\ell^2)^\prime$[/tex] e cerchiamo di capire come esso operi.
Prendiamo un generico [tex]$x\in \ell^2$[/tex] ed i vettori della "base" [tex]$\{ e^m\}$[/tex] e vediamo, come si fa nel caso degli spazi finito dimensionali, se riusciamo ad esprimere il valore di [tex]$f(x)$[/tex] in funzione dei valori assunti da [tex]$f$[/tex] sulla "base".
Prendiamo la successione di termine generale [tex]$u^N$[/tex] definita ponendo:

[tex]$u^N:=\sum_{m=1}^N x_m\ e^m$[/tex];

per quanto detto prima risulta [tex]$\lim_N u^N =x$[/tex] in norma e, stante il fatto che [tex]$f$[/tex] è continuo, ciò implica che:

(**) [tex]$\lim_N f(u^N) =f(\lim_N u^N)=f(x)$[/tex].

Però si ha:

[tex]$f(u^N) =f\left( \sum_{m=1}^N x_m\ e^m\right) =\sum_{m=1}^N x_m\ f(e^m)$[/tex]

quindi la (**) assicura che:

[tex]$f(x)=\lim_N \sum_{m=1}^N x_m\ f(e^m) =\sum_{m=1}^{+\infty} x_m\ f(e^m)$[/tex].

Ne consegue che, posto [tex]$f_m =f(e^m)$[/tex], il valore di [tex]$f(x)$[/tex] è la somma della serie [tex]\sum f_m\ x_m[/tex].


[Continuo domani, che ora sono troppo stanco; gute nacht. Se non interessa, ditelo che trovo qualche altra cosetta. Grazie per aver letto fin qui.]

[Camillo]

Interessa, interessa...

[gugo82]

Riprendo.

Abbiamo visto che per ogni funzionale [tex]$f\in (\ell^2)^\prime$[/tex] esiste una successione [tex]$(f_m)$[/tex] che "rappresenta" [tex]$f$[/tex], nel senso che il valore assunto da [tex]$f$[/tex] in ogni [tex]$x=(x_n)\in \ell^2$[/tex] si può ottenere usando la successione [tex]$(f_m)$[/tex] come segue:

[tex]$f(x)=\sum_{m=1}^{+\infty} f_m\ x_m$[/tex].

Quindi esiste un'applicazione che ad ogni funzionale [tex]$f\in (\ell^2)^\prime$[/tex] associa una successione [tex]$(f_m)$[/tex]: chiamiamo provvisoriamente questa applicazione [tex]$\widetilde{}:(\ell^2)^\prime \ni f \mapsto \widetilde{f} =(f_m)$[/tex].
È molto semplice vedere che tale applicazione è lineare: infatti se [tex]$f,g\in (\ell^2)^\prime$[/tex] ed [tex]$\alpha \in \mathbb{R}$[/tex] e dette [tex]$\widetilde{f+g} =(h_m), \widetilde{\alpha\ f} =(k_m)$[/tex], si ha: [tex]$\forall x\in \ell^2$[/tex],

[tex]$\sum_{m=1}^{+\infty} h_m\ x_m=(f+g)(x)=f(x) +g(x)=\sum_{m=1}^{+\infty} f_m\ x_m+\sum_{m=1}^{+\infty} g_m\ x_m =\sum_{m=1}^{+\infty} (f_m+g_m)\ x_m$[/tex]

[tex]$\sum_{m=1}^{+\infty} k_m\ x_m =(\alpha\ f)(x) =\alpha\ f(x)=\sum_{m=1}^{+\infty} (\alpha\ f_m)\ x_m$[/tex]

quindi prendendo di volta in volta [tex]$x=e^m$[/tex] si trova che [tex]$h_m=f_m+g_m$[/tex] e [tex]$k_m=\alpha\ f_m$[/tex]; ciò significa che:

[tex]$\widetilde{f+g} =\widetilde{f} +\widetilde{g}$[/tex] e [tex]$\widetilde{\alpha\ f}=\alpha\ \widetilde{f}$[/tex],

sicché [tex]$\widetilde{}$[/tex] è lineare.

Chiaramente il codominio di [tex]$\widetilde{}$[/tex] è la classe di tutte le possibili successioni reali [tex]$s=\mathbb{R}^\mathbb{N}$[/tex]; però tale classe è troppo ampia e contiene anche successioni che non corrispondono a nessun funzionale [tex]$f\in (\ell^2)^\prime$[/tex].
Infatti, prendiamo la successione [tex]$\phi =(m)$[/tex] e consideriamo la serie [tex]\sum m\ x_m[/tex]: per far vedere che [tex]$\phi$[/tex] non corrisponde a nessun funzionale di [tex]$(\ell^2)^\prime$[/tex] basta trovare una successione [tex]$x\in \ell^2$[/tex] per le quali la serie [tex]\sum m\ x_m[/tex] non converga; ma ciò è oltremodo facile, perchè si vede immediatamente che [tex]$x=(\tfrac{1}{n})$[/tex] è in [tex]$\ell^2$[/tex] e che risulta:

[tex]$\sum_{m=1}^{+\infty} m\ x_m=\sum_{m=1}^{+\infty} 1 =+\infty$[/tex].

Quindi è naturale chiedersi: qual è l'immagine di [tex]$\widetilde{}$[/tex]?
In altre parole, si può determinare un sottospazio di [tex]$s$[/tex] tale che coincida con [tex]$\text{Im}\ \widetilde{}$[/tex]?