Norma di un operatore limitato
Qualcuno potrebbe aiutarmi a dimostrare che se ho un operatore limitato \(\displaystyle T : H \rightarrow H \) con \(\displaystyle H \) spazio di Hilbert, allora \(\displaystyle ||T||= \inf \;\{ k \in \mathbb{R}^+ : ||Tx|| \leq k ||x|| \} \)
Io ho provato a fare qualcosa del tipo...
Sia $I$ l'estremo inferiore, poiché \(\displaystyle ||T||= \sup_{x \in H, x \neq 0} \frac{||Tx||}{||x||} \) per definizione, e tale estremo superiore è $\leq k \< \infty$ allora l'estemo superiore deve essere $\leq I$.
Si accettano consigli per l'altra disuguaglianza, qualora questa che è appena scritta abbia senso
Grazie mille in anticipo!
Io ho provato a fare qualcosa del tipo...
Sia $I$ l'estremo inferiore, poiché \(\displaystyle ||T||= \sup_{x \in H, x \neq 0} \frac{||Tx||}{||x||} \) per definizione, e tale estremo superiore è $\leq k \< \infty$ allora l'estemo superiore deve essere $\leq I$.
Si accettano consigli per l'altra disuguaglianza, qualora questa che è appena scritta abbia senso
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Questa è una cosa del tutto generale, valida in ogni spazio normato.
Supponi che \((X,\|\cdot \|_X)\) ed \((Y,\| \cdot \|_Y)\) siano spazi normati e che \(T:X\to Y\) sia lineare continuo.
Prendi gli insiemi:
\[
\mathcal{L} := \left\{ \frac{\| Tx\|_Y}{\| x\|_X},\ x\neq o\right\} \qquad \text{e} \qquad \mathcal{M}:= \left\{ k\geq 0:\ \| Tx\|_Y \leq k\ \| x\|_X \text{ per ogni } x\in X\right\}\; ;
\]
evidentemente \(\mathcal{L} \neq \varnothing\) (poiché \(T\) è limitato, perchè continuo) ed \(\mathcal{M}\) sono separati ed \(\mathcal{M}\) è l'insieme dei maggioranti, perciò:
\[
\| T\|=\sup \mathcal{L} \leq \inf \mathcal{M}\; .
\]
Rimane da far vedere che vale l'uguaglianza.
Per assurdo, supponiamo che \(\inf \mathcal{M}> \sup \mathcal{L}\): preso un \(c\in ]\sup \mathcal{L}, \inf \mathcal{M}[\), \(c\) è un maggiorante di \(\mathcal{L}\) perciò per \(x\neq o\) si ha:
\[
\frac{\| Tx\|_Y}{\| x\|_X} \leq c \qquad \Rightarrow \qquad \| Tx\|_Y\leq c\ \| x\|_X
\]
e l'ultima disuguaglianza è vera anche per \(x=o\), ossia per ogni \(x\in X\); conseguentemente si avrebbe \(c\in \mathcal{M}\), ma ciò è assurdo perchè \(c<\inf \mathcal{M}\).
Dunque \(\sup \mathcal{L}=\| T\|=\inf \mathcal{M}\), come volevi.
Supponi che \((X,\|\cdot \|_X)\) ed \((Y,\| \cdot \|_Y)\) siano spazi normati e che \(T:X\to Y\) sia lineare continuo.
Prendi gli insiemi:
\[
\mathcal{L} := \left\{ \frac{\| Tx\|_Y}{\| x\|_X},\ x\neq o\right\} \qquad \text{e} \qquad \mathcal{M}:= \left\{ k\geq 0:\ \| Tx\|_Y \leq k\ \| x\|_X \text{ per ogni } x\in X\right\}\; ;
\]
evidentemente \(\mathcal{L} \neq \varnothing\) (poiché \(T\) è limitato, perchè continuo) ed \(\mathcal{M}\) sono separati ed \(\mathcal{M}\) è l'insieme dei maggioranti, perciò:
\[
\| T\|=\sup \mathcal{L} \leq \inf \mathcal{M}\; .
\]
Rimane da far vedere che vale l'uguaglianza.
Per assurdo, supponiamo che \(\inf \mathcal{M}> \sup \mathcal{L}\): preso un \(c\in ]\sup \mathcal{L}, \inf \mathcal{M}[\), \(c\) è un maggiorante di \(\mathcal{L}\) perciò per \(x\neq o\) si ha:
\[
\frac{\| Tx\|_Y}{\| x\|_X} \leq c \qquad \Rightarrow \qquad \| Tx\|_Y\leq c\ \| x\|_X
\]
e l'ultima disuguaglianza è vera anche per \(x=o\), ossia per ogni \(x\in X\); conseguentemente si avrebbe \(c\in \mathcal{M}\), ma ciò è assurdo perchè \(c<\inf \mathcal{M}\).
Dunque \(\sup \mathcal{L}=\| T\|=\inf \mathcal{M}\), come volevi.
\(\displaystyle x \neq o \)??? E' uno zero, giusto???
Di solito uso la lettera \(o\) per denotare il vettore nullo di uno spazio vettoriale e lo zero \(0\) per denotare lo scalare nullo.
Quindi, sì, lo \(o\) è il vettore nullo di \(X\).
Quindi, sì, lo \(o\) è il vettore nullo di \(X\).
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