Norma di Operatore e moltiplicatori
Ho un dubbio su questo esercizio.
Consideriamo la matrice A \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 6
\end{bmatrix}
E l'operatore lineare associato $T_{A}$, devo calcolare la norma dell'operatore (intendendo dominio e codominio come $R^2$ e norma euclidea). Si ha $||T_{A}(x,y)||=\sqrt(10) |x+2y|$
Penso di averlo risolto però volevo chiedere se fosse corretto, in pratica mi sono posto sulla circonferenza unitaria e ho calcolato con i moltiplicatori gli estremi vincolati (assoluti perché su un compatto), ricavando che $max_{(x,y)\in S^1} ||T_{A}(x,y)||=\sqrt(50)=||T_{A}||_{L(\mathbb(R)^2)}$ stando a una delle possibili definizioni. Ha senso questo ragionamento?
O c'era qualche altro modo? Anche perché poi ho cercato un po' e ho capito che questa norma corrisponde (almeno per matrici autoaggiunte) al più grande autovalore, o comunque è legato ad esso, ma sul libro non trovo nulla (questo esercizio era pure messo dopo gli estremi vincolati quindi penso si dovesse risolvere così, però sono lo stesso curioso di sapere un altro modo eventuale).
Grazie in anticipo.
Consideriamo la matrice A \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 6
\end{bmatrix}
E l'operatore lineare associato $T_{A}$, devo calcolare la norma dell'operatore (intendendo dominio e codominio come $R^2$ e norma euclidea). Si ha $||T_{A}(x,y)||=\sqrt(10) |x+2y|$
Penso di averlo risolto però volevo chiedere se fosse corretto, in pratica mi sono posto sulla circonferenza unitaria e ho calcolato con i moltiplicatori gli estremi vincolati (assoluti perché su un compatto), ricavando che $max_{(x,y)\in S^1} ||T_{A}(x,y)||=\sqrt(50)=||T_{A}||_{L(\mathbb(R)^2)}$ stando a una delle possibili definizioni. Ha senso questo ragionamento?
O c'era qualche altro modo? Anche perché poi ho cercato un po' e ho capito che questa norma corrisponde (almeno per matrici autoaggiunte) al più grande autovalore, o comunque è legato ad esso, ma sul libro non trovo nulla (questo esercizio era pure messo dopo gli estremi vincolati quindi penso si dovesse risolvere così, però sono lo stesso curioso di sapere un altro modo eventuale).
Grazie in anticipo.
Risposte
Il primo ragionamento che fai( non ho guardato i conti), va bene. Hai solamente applicato la definizione di norma operatoriale sullo spazio normato $(RR^2, || \cdot ||_2)$, ossia $||T_A||= \text{sup} \{ ||T_A(x,y)||_2: (x,y) \in RR^2 \text{ e } || (x,y) ||_{2} \leq 1\}$ dove $T_A(x,y)$ è definito al solito modo con il prodotto matrice-vettore
La relazione con gli autovalori è questa: la norma al quadrato della matrice \(A\) è uguale più grande autovalore della matrice \(A^TA\). (Questa matrice è sempre semidefinita positiva, quindi tutti i suoi autovalori sono numeri reali non negativi).
La dimostrazione è molto semplice perché si tratta solo di rifare il procedimento dell'OP, con i moltiplicatori di Lagrange. Infatti, dovendo calcolare
\[
\|A\|^2=\max \{ Ax\cdot Ax \ :\ |x|^2=1\}, \]
basta riscrivere \(Ax\cdot Ax=A^TAx\cdot x\) e osservare che il corrispondente sistema di moltiplicatori di Lagrange è
\[
A^TAx=\mu x.\]
Quindi i punti critici di questo problema di massimo sono esattamente gli autovettori di \(A^TA\). Se \(x\) è un tale autovettore, di norma unitaria, e di autovalore \(\lambda\), allora
\[
Ax\cdot Ax =A^TAx\cdot x = \lambda , \]
quindi il massimo è dato dal più grande di tali autovalori.
La dimostrazione è molto semplice perché si tratta solo di rifare il procedimento dell'OP, con i moltiplicatori di Lagrange. Infatti, dovendo calcolare
\[
\|A\|^2=\max \{ Ax\cdot Ax \ :\ |x|^2=1\}, \]
basta riscrivere \(Ax\cdot Ax=A^TAx\cdot x\) e osservare che il corrispondente sistema di moltiplicatori di Lagrange è
\[
A^TAx=\mu x.\]
Quindi i punti critici di questo problema di massimo sono esattamente gli autovettori di \(A^TA\). Se \(x\) è un tale autovettore, di norma unitaria, e di autovalore \(\lambda\), allora
\[
Ax\cdot Ax =A^TAx\cdot x = \lambda , \]
quindi il massimo è dato dal più grande di tali autovalori.
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