Non solo equazione differenziale
[size=134]Assegnato il seguente problema a valori iniziali $y^{\prime} = 2xe^(2y)$,$ y(2) = 0$
1. Trovare la soluzione esplicita del problema.
2. Per quali valori di x è definita la soluzione?
3. La soluzione ha punti di minimo o massimo? In caso affermativo, quali sono?[/size]
-----------
Arrivo con non poche difficoltà e tanti dubbi:
1.
Non ho soluzioni costanti.
Int generale mi viene:
$y=(-1/2)e^(-2x^2) * e^c$
Mi sembra che C sia = 0 quindi l'integrale particolare mi viene: $y=(-1/2)e^(-2x^2)$
2.
Forse tutto R?
3.
Non so che pesci prendere
1. Trovare la soluzione esplicita del problema.
2. Per quali valori di x è definita la soluzione?
3. La soluzione ha punti di minimo o massimo? In caso affermativo, quali sono?[/size]
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Arrivo con non poche difficoltà e tanti dubbi:
1.
Non ho soluzioni costanti.
Int generale mi viene:
$y=(-1/2)e^(-2x^2) * e^c$
Mi sembra che C sia = 0 quindi l'integrale particolare mi viene: $y=(-1/2)e^(-2x^2)$
2.
Forse tutto R?
3.
Non so che pesci prendere
Risposte
se quello che hai trovato è giusto prova a sostituire x=-10 nella soluzione...
Miiii è vero. Come devo ragionare. Prendo in considerazione solo quello particolare allora...
devi risolvere la diseq
$-2x^2+9>0$
$-2x^2+9>0$
Si giusto sono troppo precipitoso! Parabola verso in basso quindi x deve essere compresa tra 2 valori:
$(-3sqrt(2))/2 < x < (3sqrt(2))/2$
Questo è il dominio di esistenza della soluzione di cauchy quindi il punto 2. Giusto?
$(-3sqrt(2))/2 < x < (3sqrt(2))/2$
Questo è il dominio di esistenza della soluzione di cauchy quindi il punto 2. Giusto?
ok
Questo è il dominio di esistenza della soluzione di cauchy quindi il punto 2. Giusto?
Mo per il 3 che mi consigli di fare? Mi butto dal balcone? (2 piani e non mi faccio tanto male cmq...)
Forse ci sono: campo di direzione?
Mo per il 3 che mi consigli di fare? Mi butto dal balcone? (2 piani e non mi faccio tanto male cmq...)
Forse ci sono: campo di direzione?
ok; per il 3) la domanda che ti dovresti porre è: qual è la condizione per trovare i punti estremanti?
Mi butto allora...
Aspé ma i punti estremanti del dominio? (che non sono compresi)
Forse mi devo avvicinare in un intorno con dei limiti?
Aspé ma i punti estremanti del dominio? (che non sono compresi)
Forse mi devo avvicinare in un intorno con dei limiti?
estremanti nel senso di max e min
Ma come vanno visti qui? Io i max e min nelle y=f(x) li so trovare.. Derivata prima e quando si annulla ho i critici. Noto dove la funzione e crescente e decrescente ecc ecc
Qui è lo stesso?
Qui è lo stesso?
certo, e la derivata l'hai gratis
E la stavo calcolando (... non odiarmi sono proprio così!)
Ma è in 2 variabili o sbaglio? Non la so ancora interpretare allora...
Ma è in 2 variabili o sbaglio? Non la so ancora interpretare allora...
ti devi chiedere dove si annulla $y'=2xe^(2y)$: l'esponenziale non si annulla, quindi si annulla solo per x=0, che è un punto di...
Ma è in due variabili cmq... Non so come muovermi...
prendo gli esercizi che non sono alla mia portata e li provo a fare... Ci credo che sbaglio il mondo...
Cmq minimo assoluto?!
Ma devo immaginare il grafico di $e^x$ ?
prendo gli esercizi che non sono alla mia portata e li provo a fare... Ci credo che sbaglio il mondo...
Cmq minimo assoluto?!
Ma devo immaginare il grafico di $e^x$ ?
è un minimo; ripeto: $y'=2xe^(2y)=0$ quando?
quando x=0 e basta, infatti $e^(2y)>0, AAy$
quando x=0 e basta, infatti $e^(2y)>0, AAy$
Per dire che è minimo come fai? 
La derivata è sempre > 0 quindi la f è sempre crescente giusto?
(forse parte proprio da x=0??)
La derivata è sempre > 0 quindi la f è sempre crescente giusto?
(forse parte proprio da x=0??)
La derivata prima è già pronta ..
Basta eguagliarla a zero e vedere se si annulla per qualche valore della variabile indipendente ; dopodichè ne studi il segno a cavallo di quel valore ...
Basta eguagliarla a zero e vedere se si annulla per qualche valore della variabile indipendente ; dopodichè ne studi il segno a cavallo di quel valore ...
allora, l'esponenziale $e^(2y)$ è sempre positivo, per x<0 hai che la funzione è decrescente (derivata negativa), per x>0 la funzione è crescente (derivata positiva), quindi x=0 è di minimo
Non avevo visto che nel frattempo la discussione era andata avanti , anche se con qualche difficoltà 
Ora si che ci sono!
GRAzIE!
Vado a cercare un altro esercizio (+ semplice) sulle eq differenziali... A costo di star sveglio tutta la notte!
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