Non riesco a risolvere questo limite!

[emanuele.torrisi]

Salve!
Qualcuno può aiutarmi a svolgere il seguente limite?
$lim(x->+oo )((1+sen(sen(1/x)))^5-1)/(arcta((2x)/(x^2+1))) $
Ho provato a risolverlo con una calcolatrice ed il risultato sembra essere $5/2$, il che è possibile poichè l'esercizio fa parte di una raccolta di esercizi a risposta multipla e questa soluzione figura tra le risposte.
Non vi chiedo di postare lo svolgimento completo ma vorrei capire qual è la strada da seguire per svolgere questo tipo di limiti, grazie!

[anto_zoolander]

Ciao!

Per $f(x),g(x)->0$ per $x->+infty$ si ha

$(1+f(x))^k-1 ~ kf(x)$ e $arctan(g(x))~ g(x)$

Usa queste due informazioni.

[emanuele.torrisi]

"anto_zoolander":Ciao!

Per $f(x),g(x)->0$ per $x->+infty$ si ha

$(1+f(x))^k-1 ~ kf(x)$ e $arctan(g(x))~ g(x)$

Usa queste due informazioni.

Ciao! Ti ringrazio per avermi risposto così velocemente, oggi ho ripreso questo limite che ieri non riuscivo a risolvere e utilizzando il tuo spunto forse sono giunto ad una conclusione, spero corretta:

Il limite all'inizio si presenta in una forma indeterminata del tipo $0/0$; Per risolverlo allora, come suggerito applico alcune stime asintotiche per semplificare il calcolo:

Numeratore:

Sappiamo che $(1+f(x))^a -1 ~ a*f(x)$ dunque se $f(x)=sin(sin(1/x))$ ottengo: $5[sin(sin(1/x))]$; Poi sapendo che $sin(h(x)) ~ h(x)$ se $h(x)->0$ e $h(x)$ definitivamente positiva.
Quindi avrò: $sin(sin(1/x)) ~ sin(1/x) ~ 1/x$; il numeratore tende a: $5*(1/x)$

Denominatore:

Al denominatore, invece, sapendo che $arctan(g(x)) ~ g(x)$ avrò che: $arctan((2x)/(x^2+1)) ~ (2x)/(x^2+1)$ raccolgo $x^2$ al denominatore: $(2x)/(x^2(1+(1/x^2))) rArr 2/(x(1+(1/x^2))) ~ 2(1/x)$ perchè $1/x^2rarr0$

Quindi il limite iniziale si riduce al calcolo del seguente limite: $lim(x->+oo )(5*(1/x))/(2*(1/x))$ semplificando $(1/x)$ ottengo: $5/2$

[anto_zoolander]

Bravo, è corretto.

Due appunti:
- numeratore e denominatore sono “asintotici a” non tendono ad una funzione.
- quello che hai fatto alla fine è usare i teoremi sui limiti considerando che molti si sono implicitamente considerati esistenti e quindi dall’esistenza dell’ultimo limite segue la tesi.

[pilloeffe]

Ciao Ema6798,

Benvenuto sul forum!

Il presente solo per segnalare che il limite proposto si poteva risolvere anche solo coi limiti notevoli, infatti si ha:

$\lim_{x \to +\infty}([1+sin(sin(1/x))]^5-1)/(arctan((2x)/(x^2+1))) = $
$ = \lim_{x \to +\infty}\frac{[1+sin(sin(1/x))]^5-1}{sin(sin(1/x))}\cdot \frac{sin(sin(1/x))}{sin(1/x)} \cdot \frac{sin(1/x)}{1/x} \cdot \frac{(2x)/(x^2+1)}{arctan((2x)/(x^2+1))} \cdot (x^2 + 1)/(2x^2) = $
$ = 5 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1/2 = 5/2 $

[emanuele.torrisi]

"anto_zoolander":Bravo, è corretto.

Due appunti:
- numeratore e denominatore sono “asintotici a” non tendono ad una funzione.
- quello che hai fatto alla fine è usare i teoremi sui limiti considerando che molti si sono implicitamente considerati esistenti e quindi dall’esistenza dell’ultimo limite segue la tesi.

Grazie per la precisazione!

"pilloeffe":Ciao Ema6798,

Benvenuto sul forum!

Il presente solo per segnalare che il limite proposto si poteva risolvere anche solo coi limiti notevoli, infatti si ha:

$ \lim_{x \to +\infty}([1+sin(sin(1/x))]^5-1)/(arctan((2x)/(x^2+1))) = $
$ = \lim_{x \to +\infty}\frac{[1+sin(sin(1/x))]^5-1}{sin(sin(1/x))}\cdot \frac{sin(sin(1/x))}{sin(1/x)} \cdot \frac{sin(1/x)}{1/x} \cdot \frac{(2x)/(x^2+1)}{arctan((2x)/(x^2+1))} \cdot (x^2 + 1)/(2x^2) = $
$ = 5 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1/2 = 5/2 $

Non credo che ci sarei mai arrivato ma, in pratica, così tutto quel limite si riduce alla risoluzione di limiti immediati, grazie del consiglio, proverò ad esercitarmi!

[anto_zoolander]

Quello che ha fatto piloeffe è identico a quello che hai fatto tu, solo che lui ha scritto tutto, tu hai sottinteso i ‘limiti notevoli’