Non mi quadra il grafico di questa funzione
[tex]\log (e^x+1)[/tex]
Già postata da qualcuno che però ne ha richiesto solo la verifica del dominio
A quanto abbiamo detto e mi risulta il dominio è tutto R, perchè l'argomento del logaritmo sarà sempre positivo, quindi:
[tex]]-\infty, +\infty[[/tex]
Io sono riuscito a studiare un pò tutto e tracciare un grafico, ma usando derive, vedo che c'è un' asintoto a destra che non ho trovato:
Ho pensato che fosse stata disegnata così solo perchè è crescente, ma non mi convince, ho trovato solo y=0 asintoto orizzontale, com'è possibile?
Già postata da qualcuno che però ne ha richiesto solo la verifica del dominio
A quanto abbiamo detto e mi risulta il dominio è tutto R, perchè l'argomento del logaritmo sarà sempre positivo, quindi:
[tex]]-\infty, +\infty[[/tex]
Io sono riuscito a studiare un pò tutto e tracciare un grafico, ma usando derive, vedo che c'è un' asintoto a destra che non ho trovato:
Ho pensato che fosse stata disegnata così solo perchè è crescente, ma non mi convince, ho trovato solo y=0 asintoto orizzontale, com'è possibile?
Risposte
C'è un'asintoto obliquo, probabilmente; prova a postare un po' i conti che hai fatto per $x\to +\infty$.
P.S.: Potresti inserire un'immagine più piccola? Oppure disegnare il grafico con il componente ASCIIsvg (per imparare ad usarlo clicca qui)? Grazie.
P.S.: Potresti inserire un'immagine più piccola? Oppure disegnare il grafico con il componente ASCIIsvg (per imparare ad usarlo clicca qui)? Grazie.
Ah si credo di aver capito. I conti mi torando per [tex]x-->+\infty[/tex] Risulta [tex]+\infty[/tex] quindi cerco gli asintoti obliqui:
[tex]\lim_{x\to \infty}\frac{log(e^x+1)}{x}[/tex]
Io ad occhio direi che fa 0, non so se sbaglio, il numeratore non è un infinito di ordine inferiore rispetto al denominatore?
P.S. Ci sono dei casi dove si capisce che non esiste l'asintoto obliquo senza bisogno di calcolarlo? Intendo in base aagli altri asintoti?
[tex]\lim_{x\to \infty}\frac{log(e^x+1)}{x}[/tex]
Io ad occhio direi che fa 0, non so se sbaglio, il numeratore non è un infinito di ordine inferiore rispetto al denominatore?
P.S. Ci sono dei casi dove si capisce che non esiste l'asintoto obliquo senza bisogno di calcolarlo? Intendo in base aagli altri asintoti?
Ma guarda bene... Non tirare ad indovinare sui limiti (almeno all'inizio 
).
Metti in evidenza [tex]$e^x$[/tex], applica qualche proprietà del logaritmo e calcola il limite.
Per quanto riguarda il poscritto, sì, ci sono casi in cui non c'è bisogno di calcolare (ad esempio, quando hai a che fare coi polinomi); però bisogna farci un po' d'occhio... All'inizio è sempre meglio mettere le mani in pasta.
).Metti in evidenza [tex]$e^x$[/tex], applica qualche proprietà del logaritmo e calcola il limite.
Per quanto riguarda il poscritto, sì, ci sono casi in cui non c'è bisogno di calcolare (ad esempio, quando hai a che fare coi polinomi); però bisogna farci un po' d'occhio... All'inizio è sempre meglio mettere le mani in pasta.
Mh, io qualcosa l'ho scritta, ma non so se come al solito ho inventato qualche proprietà 
Tu quando dici metti in evidenza [tex]e^x[/tex] dici ovviamente all'interno dell'argomento.
[tex]\frac{log[e^x(1+\frac{1}{e^x})]}{x}[/tex]
[tex]\frac{log(e^x)}{x}[/tex]
[tex]\frac{xlog(e)}{x}[/tex]
E' qui che spero si possa fare:
[tex]x*\frac{log(e)}{x}[/tex]
E qui risulta 1?
Tu quando dici metti in evidenza [tex]e^x[/tex] dici ovviamente all'interno dell'argomento.
[tex]\frac{log[e^x(1+\frac{1}{e^x})]}{x}[/tex]
[tex]\frac{log(e^x)}{x}[/tex]
[tex]\frac{xlog(e)}{x}[/tex]
E' qui che spero si possa fare:
[tex]x*\frac{log(e)}{x}[/tex]
E qui risulta 1?
Per quanto sia intuitivo, il passaggio dal primo al secondo mi pare azzardato; per formalizzare bene ti conviene non omettere il limite nei vari passaggi, detto ciò, hai il logaritmo di un prodotto, e potrà servirti anche il fatto che il limite di una somma è la somma dei limiti, qualora esistano.
Il passaggio dal primo al secondo è scorretto?
Dato che ottengo all'interno della parentesi tonda 1 ho pensato di scrivere direttamente [tex]loge^x[/tex]
Dato che ottengo all'interno della parentesi tonda 1 ho pensato di scrivere direttamente [tex]loge^x[/tex]
Alla fine non si rivela sbagliato, però è come se stai calcolando il limite di un pezzo, cioè la parentesi tonda, e lasciando il resto da calcolare in un secondo tempo. In generale questo non si può fare, per cui è preferibile sprecare qualche passaggio in più, in modo da utilizzare solamente proprietà e teoremi noti.
Solo che non mi è venuto in mente niente...in un' altra occasione l'ho vista fare questa cosa quindi l'ho applicata. Non saprei come uscirne. Sti logaritmi non li capisco proprio.
Il mio problema poi era anche calcolando il termine noto visto che tutto ciò nasce per un asintoto obliquo:
[tex]log(e^x+1)-x[/tex] di cui devo sempre calcolarmi il limite, ma non vedo proprietà.
[tex]log(e^x+1)-logx[/tex] Posso scriverlo come quoziente:
[tex]\frac{log(e^x+1)}{logx}[/tex]
Posso mettere in evidenza come prima, ma non arrivo lontano..
Il mio problema poi era anche calcolando il termine noto visto che tutto ciò nasce per un asintoto obliquo:
[tex]log(e^x+1)-x[/tex] di cui devo sempre calcolarmi il limite, ma non vedo proprietà.
[tex]log(e^x+1)-logx[/tex] Posso scriverlo come quoziente:
[tex]\frac{log(e^x+1)}{logx}[/tex]
Posso mettere in evidenza come prima, ma non arrivo lontano..
Sul primo limite il mio suggerimento era questo:
$lim_{x to +infty} (log(e^x (1+1/(e^x))))/x =lim_{x to +infty} [(log(e^x))/x +(log(1+1/(e^x)))/x ]= lim_{x to +infty} (xloge)/x +lim_{x to +infty} (log(1+1/(e^x)))/x =1+0=1$
Per il secondo ti ricordo che:
$x=log(e^x)$
Prova a partirci da qua.
$lim_{x to +infty} (log(e^x (1+1/(e^x))))/x =lim_{x to +infty} [(log(e^x))/x +(log(1+1/(e^x)))/x ]= lim_{x to +infty} (xloge)/x +lim_{x to +infty} (log(1+1/(e^x)))/x =1+0=1$
Per il secondo ti ricordo che:
$x=log(e^x)$
Prova a partirci da qua.
Mh, non ci avevo pensato.
Per il secondo, io sapevo queste proprietà:
[tex]y=\log_{a}x[/tex]
[tex]a^y=x[/tex]
[tex]y=logx[/tex]
[tex]e^y=x[/tex]
[tex]a^\log{a}x=x[/tex]
[tex]e^\log{a}x=x[/tex]
La tua assomiglia alla prima, è quella?
Ti riporto qualche passaggio:
[tex]log(e^x+1)-log(e)^x[/tex]
[tex]\frac{log(e^x+1)}{loge^x}[/tex]
Facendo come prima metto in evidenza e^x e poi scrivo separatamente come somma di limiti:
[tex]\lim_{x\to +\infty}\frac{log(e^x)}{log(e^x)}+\lim_{x\to +\infty}\frac{log(1+\frac{1}{e^x})}{log(e^x)}[/tex]
Ma non mi pare ci siamo.
Per il secondo, io sapevo queste proprietà:
[tex]y=\log_{a}x[/tex]
[tex]a^y=x[/tex]
[tex]y=logx[/tex]
[tex]e^y=x[/tex]
[tex]a^\log{a}x=x[/tex]
[tex]e^\log{a}x=x[/tex]
La tua assomiglia alla prima, è quella?
Ti riporto qualche passaggio:
[tex]log(e^x+1)-log(e)^x[/tex]
[tex]\frac{log(e^x+1)}{loge^x}[/tex]
Facendo come prima metto in evidenza e^x e poi scrivo separatamente come somma di limiti:
[tex]\lim_{x\to +\infty}\frac{log(e^x)}{log(e^x)}+\lim_{x\to +\infty}\frac{log(1+\frac{1}{e^x})}{log(e^x)}[/tex]
Ma non mi pare ci siamo.
$y=log_a x$, $y=logx$, $a^y =x$, $e^y =x$, sono funzioni, non identità, proprio come lo possono essere $y=x^2 $, $y=senx$, quindi non vedo come usarle nei calcoli di qualsiasi cosa, non esprimono nessuna proprietà.
$x=log(e^x)$ è un'identità per, cioè è una proprietà sempre vera. Vacci al contrario per rendertene conto: $log(e^x) =$l'esponente che devo dare alla base del logaritmo, cioè $e$, per ottenere $e^x$.
Fatta sta sostituzione:
$log(e^x +1) - log(e^x) =log((e^x +1)/(e^x))$ di cui è facile calcolare il limite.
I passaggi che hai riportato erano sbagliati:
La differenza di due logaritmi è uguale al logaritmo del rapporto degli argomenti, non al rapporto dei logaritmi.
$x=log(e^x)$ è un'identità per, cioè è una proprietà sempre vera. Vacci al contrario per rendertene conto: $log(e^x) =$l'esponente che devo dare alla base del logaritmo, cioè $e$, per ottenere $e^x$.
Fatta sta sostituzione:
$log(e^x +1) - log(e^x) =log((e^x +1)/(e^x))$ di cui è facile calcolare il limite.
I passaggi che hai riportato erano sbagliati:
La differenza di due logaritmi è uguale al logaritmo del rapporto degli argomenti, non al rapporto dei logaritmi.
Ah perfetto ti ringrazio...la stanchezza mi ha fatto scrivere una stupidata.
Un' ultima domanda, praticamente l'asintoto orizzontale l'ho trovato.
Avrei m=1.
Adesso la retta che rappresenta il mio asintoto dato che il termine noto non esiste, sarà:
y=1 oppure y=1*x-->y=x?
per rappresentarla come devo fare?
Lo chiedo perchè sono incerto, se fosse corretta la seconda, come devo fare, sostituire i valori alla funzione iniziale e ottengo i punti a partire dai quali troverò la retta che rappresenta il mio asintoto obliquo?
Grazie della disponibilità a tutti.
Un' ultima domanda, praticamente l'asintoto orizzontale l'ho trovato.
Avrei m=1.
Adesso la retta che rappresenta il mio asintoto dato che il termine noto non esiste, sarà:
y=1 oppure y=1*x-->y=x?
per rappresentarla come devo fare?
Lo chiedo perchè sono incerto, se fosse corretta la seconda, come devo fare, sostituire i valori alla funzione iniziale e ottengo i punti a partire dai quali troverò la retta che rappresenta il mio asintoto obliquo?
Grazie della disponibilità a tutti.
Il termine noto esiste ed è $0$, se fosse venuto infinito o inesistente avremmo concluso che non c'era nessun asintoto obliquo.
Giusta la seconda: $y=1*x+0 => y=x$
Giusta la seconda: $y=1*x+0 => y=x$
E quindi, scusa se insisto fammi capire, per tracciare l'asintoto come faccio?
Semplicemente assegnando dei valori casuali a x, otterrò y che è uguale e traccio una retta, o il valore di x lo devo sostituire alla funzione di partenza?
Semplicemente assegnando dei valori casuali a x, otterrò y che è uguale e traccio una retta, o il valore di x lo devo sostituire alla funzione di partenza?
La prima che hai detto. L'asintoto infatti è una retta e ha la sua equazione, che abbiamo trovato, ed è questa che devi usare per disegnarlo.
Ah, si diciamo che non avrei altro da chiedere....tranne che tramite derive però non mi risulta questa cosa che per l'asintoto ad ogni x corrisponde y, infatti se la x vale 1.5 la funzione non si trova su y= 1.5.
Scusa se sono insistente:
http://www.allfreeportal.com/imghost/im ... magine.JPG
Sbaglio o non c'è questa corrispondenza x, y ?
Oppure devo tracciare la retta e poi semplicemente fare in modo che la curva della funzione la incontri?
Scusa se sono insistente:
http://www.allfreeportal.com/imghost/im ... magine.JPG
Sbaglio o non c'è questa corrispondenza x, y ?
Oppure devo tracciare la retta e poi semplicemente fare in modo che la curva della funzione la incontri?
I punti dell'asintoto non sono punti della funzione. Il senso è che la funzione si avvicina all'asintoto per valori alti di $x$ ma senza toccarlo (in generale). Ti cosiglio di guardare cosa è un asintoto su qualche libro di teoria per vedere anche graficamente cosa significa, oltre che ovviamente le definizioni date per benino.
Grazie fratello.
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