Non capisco cosa sbaglio (limite)

[Lodosage]

$lim_(x -> -∞) (sqrt(x^2+4x+2)-x)= lim_(x -> -∞) (xsqrt(1+4/x+2/(x^2))-x)= lim_(x -> -∞) x(sqrt(1+4/x+2/(x^2))-1)$

e uso poi l'equivalenza asintotica per scrivere: $lim_(x -> -∞) x(2/x+1/x^2)=2$

ma il risultato secondo il libro è meno infinito...

[anto_zoolander]

Quando esci $x^2$ dalla radice hai $|x|$

[Palliit]

Se il limite è come lo hai scritto il calcolo dà $+infty$ senza (quasi) indeterminazione.

[pilloeffe]

Ciao Leoddio,

"Leoddio":ma il risultato secondo il libro è meno infinito...

Questo è un risultato che escluderei...
Ferma restando la correttezza delle risposte di coloro che mi hanno preceduto, lo risolverei senza gli sviluppi asintotici, moltiplicando numeratore e denominatore per $sqrt(x^2+4x+2) + x $:

$ lim_{x \to infty} (sqrt(x^2+4x+2)-x) = lim_{x \to infty} frac{(sqrt(x^2+4x+2)-x)(sqrt(x^2+4x+2)+x)}{sqrt(x^2+4x+2)+x} = $
$ = lim_{x \to infty} frac{x^2+4x+2-x^2}{sqrt(x^2+4x+2)+x} = lim_{x \to infty} frac{4x+2}{|x|sqrt(1+4/x+2/x^2)+x} $

Quindi per $x \to +infty $ si ha:

$ lim_{x \to +infty} frac{4x+2}{|x|sqrt(1+4/x+2/x^2)+x} = lim_{x \to +infty} frac{4x+2}{x sqrt(1+4/x+2/x^2)+x} = lim_{x \to +infty} frac{4x+2}{x (sqrt(1+4/x+2/x^2)+1)} = $
$ = lim_{x \to +infty} frac{4+2/x}{sqrt(1+4/x+2/x^2)+1} = frac{4}{1 + 1} = 2 $

Invece per $x \to -infty $ si ha:

$ lim_{x \to -infty} frac{4x+2}{|x|sqrt(1+4/x+2/x^2)+x} = lim_{x \to -infty} frac{4x+2}{- x sqrt(1+4/x+2/x^2)+x} = lim_{x \to -infty} frac{4x+2}{x (1 - sqrt(1+4/x+2/x^2))} = $
$ = lim_{x \to -infty} frac{4+2/x}{1 - sqrt(1+4/x+2/x^2)} = +\infty $

Nel caso di $x \to -infty $ in realtà come giustamente ha scritto Pallit non serviva neanche, infatti semplicemente si ha:

$ lim_{x \to -infty} (|x| sqrt(1+4/x+2/x^2)-x) = lim_{x \to -infty} (- x sqrt(1+4/x+2/x^2)-x) = + infty$