Nabla e notazioni vettoriali

[Raptorista1]

Buon giorno a tutti!
In un interessante romanzo che sto leggendo [Fluid Mechanics] l'autore [sua eccellenza Lev Landau] si sbizzarrisce nell'uso di notazioni in qualche modo strane.

Senza ulteriore indugio, passo all'esempio che ho sott'occhio: partendo da
\[
\frac{d \mathbf{v}}{d t} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial x} x'(t) + \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial y} y'(t) + \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial z} z'(t)
\]
[da ora in poi scriverò le derivate parziali in maniera compatta \(\frac{\partial}{\partial x} = \partial_x\)] arriva a
\[
\frac{d \mathbf{v}}{d t} = \partial_t \mathbf{v} + (\mathbf{v} \cdot \text{grad}) \mathbf{v}.
\]
Ora, io ho cercato di rendere questa scrittura in una forma equivalente ma "più bella": considero il vettore \(\mathbf{v}\) e l'operatore differenziale vettoriale \(\nabla\) che penso come
\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} \qquad \qquad
\nabla = \begin{pmatrix} \partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z \end{pmatrix}
\]
[\('\) denota la derivazione rispetto a \(t\)] e cerco di riscrivere la formula, però non ci riesco!
Che cosa significa fare il prodotto scalare tra \(\mathbf{v}\) e \(\text{grad}\)? Io so fare il prodotto scalare [formale] tra \(\mathbf{v}\) e \(\nabla\), e facendo questo viene
\[
<\mathbf{v},\nabla> = \partial_x x' + \partial_y y' + \partial_z z' = \text{div } \mathbf{v},
\]
che non è troppo lontano dalla formula ad inizio post.
Mi accorgo infatti che basta moltiplicare tutto per \(\mathbf{v}\) e quello che ottengo è
\[
\mathbf{v} \cdot \text{div } \mathbf{v} = \partial_x x' \mathbf{v} + \partial_y y' \mathbf{v} + \partial_z z' \mathbf{v}
\]
che è [sommando il mancante \(\partial_t \mathbf{v}\)] "quasi" l'espressione di partenza.

Ora chiedo: quanto c'è di buono in quello che ho scritto?
\[
(\mathbf{v} \cdot \text{grad})\mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \text{div } \mathbf{v} \ \ ?
\]

[baldo891]

In un interessante romanzo che sto leggendo [Fluid Mechanics] l'autore [sua eccellenza Lev Landau] 

è tu lo chiami romanzo? è un mattone....

Ora chiedo: quanto c'è di buono in quello che ho scritto?

prendiamo la formula finale:
La divergenza di un vettore è uno scalare, il prodotto scalare si fa tra vettori quindi......

[Raptorista1]

"baldo89":
prendiamo la formula finale:
La divergenza di un vettore è uno scalare, il prodotto scalare si fa tra vettori quindi......

\(\mathbf{v} \cdot \text{div }\mathbf{v}\) non è un prodotto scalare tra due vettori, è il prodotto di un vettore (\(\mathbf{v}\)) per uno scalare (\(\text{div }\mathbf{v}\)).