Nabla e funzioni in un'incognita
Non riesco a trovare una dimostrazione semplice per questa uguaglianza:
\(\nabla^2c=1/r*d^2rc/dr^2\)
Mi spiego: ho a che fare con l'equazione di diffusione in regime stazionario. Una sorgente di soluto puntiforme diffonde uniformemente in un solvente in tutte le direzioni, dunque si vuole passare da coordinate cartesiane (in cui è espresso il nabla quadrato) in coordinate polari in cui non compaiano angoli di sorta, dal momento che la diffusione, appunto, avviene allo stesso modo in ogni direzione. "c" è la concentrazione del soluto (in funzione di r) e "r" è la distanza dalla sorgente puntiforme. Perdonate l'intrusione, non sono un matematico ma un chimico, mendico aiuto e comprensione! Buon san Silvestro a voi!
\(\nabla^2c=1/r*d^2rc/dr^2\)
Mi spiego: ho a che fare con l'equazione di diffusione in regime stazionario. Una sorgente di soluto puntiforme diffonde uniformemente in un solvente in tutte le direzioni, dunque si vuole passare da coordinate cartesiane (in cui è espresso il nabla quadrato) in coordinate polari in cui non compaiano angoli di sorta, dal momento che la diffusione, appunto, avviene allo stesso modo in ogni direzione. "c" è la concentrazione del soluto (in funzione di r) e "r" è la distanza dalla sorgente puntiforme. Perdonate l'intrusione, non sono un matematico ma un chimico, mendico aiuto e comprensione! Buon san Silvestro a voi!
Risposte
E' una semplice applicazione della regola della catena per le derivate di funzioni composte. Dal momento che $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ e si ha $c(x,y,z)=c(r)=c(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$ abbiamo (indico con un pedice le derivate rispetto ad una variabile)
$$c_x=c_r\cdot r_x=c_r\cdot\frac{2x}{2r}=\frac{x}{r}\cdot c_r$$
in quanto $r_x=(\sqrt{x^2+y^2+z^2})_x=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{x}{r}$. Pertanto
$$c_{xx}=\left(\frac{x}{r}\cdot c_r\right)_x=\left(\frac{x}{r}\right)_x\cdot c_r+\frac{x}{r}\cdot(c_r)_x=\frac{r-x\ r_x}{r^2}\cdot c_r+\frac{x}{r}\cdot c_{rr}\cdot r_x=\frac{r^2-x^2}{r^3}\cdot c_r+\frac{x^2}{r^2}\cdot c_{rr}$$
Analogamente
$$c_{yy}=\frac{r^2-y^2}{r^3}\cdot c_r+\frac{y^2}{r^2}\cdot c_{rr},\qquad c_{zz}=\frac{r^2-z^2}{r^3}\cdot c_r+\frac{z^2}{r^2}\cdot c_{rr}$$
da cui
$$\nabla^2 c=c_{xx}+c_{yy}+c_{zz}=\frac{3r^2-(x^2+y^2+z^2)}{r^3}\cdot c_r+\frac{x^2+y^2+z^2}{r^2}\cdot c_{rr}=\frac{2}{r}\cdot c_r+c_{rr}$$
Per riportare l'ultimo risultato alla forma voluta, osserviamo che si può scrivere
$$\nabla^2 c=\frac{1}{r}\left(2c_r+r c_{rr}\right)$$
Se integriamo il termine tra parentesi una volta si ha
$$\int(2c_r+r c_{rr})\ dr=2c+r c_r-\int c_r\ dr=2c+rc_r-c=c+rc_r=(rc)_r$$
per cui otteniamo che
$$\nabla^2 c=\frac{1}{r}\cdot\frac{d^2}{dr^2}(rc)$$
come si voleva.
$$c_x=c_r\cdot r_x=c_r\cdot\frac{2x}{2r}=\frac{x}{r}\cdot c_r$$
in quanto $r_x=(\sqrt{x^2+y^2+z^2})_x=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{x}{r}$. Pertanto
$$c_{xx}=\left(\frac{x}{r}\cdot c_r\right)_x=\left(\frac{x}{r}\right)_x\cdot c_r+\frac{x}{r}\cdot(c_r)_x=\frac{r-x\ r_x}{r^2}\cdot c_r+\frac{x}{r}\cdot c_{rr}\cdot r_x=\frac{r^2-x^2}{r^3}\cdot c_r+\frac{x^2}{r^2}\cdot c_{rr}$$
Analogamente
$$c_{yy}=\frac{r^2-y^2}{r^3}\cdot c_r+\frac{y^2}{r^2}\cdot c_{rr},\qquad c_{zz}=\frac{r^2-z^2}{r^3}\cdot c_r+\frac{z^2}{r^2}\cdot c_{rr}$$
da cui
$$\nabla^2 c=c_{xx}+c_{yy}+c_{zz}=\frac{3r^2-(x^2+y^2+z^2)}{r^3}\cdot c_r+\frac{x^2+y^2+z^2}{r^2}\cdot c_{rr}=\frac{2}{r}\cdot c_r+c_{rr}$$
Per riportare l'ultimo risultato alla forma voluta, osserviamo che si può scrivere
$$\nabla^2 c=\frac{1}{r}\left(2c_r+r c_{rr}\right)$$
Se integriamo il termine tra parentesi una volta si ha
$$\int(2c_r+r c_{rr})\ dr=2c+r c_r-\int c_r\ dr=2c+rc_r-c=c+rc_r=(rc)_r$$
per cui otteniamo che
$$\nabla^2 c=\frac{1}{r}\cdot\frac{d^2}{dr^2}(rc)$$
come si voleva.
Ciao Cini94 e benvenuta/o sul forum
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