Mostrare che una funzione definita implicitamente è limitata
Salve a tutti,
vorrei chiedere un chiarimento riguardo a un punto un esercizio sul teorema della funzione implicita (o del Dini). Posto il testo completo così potete sapere cosa ho già fatto e che informazioni ho:
Sia $ G: R^2 \rightarrow R $
definita da $ G(x,y)= \frac {e^(-y^2)}{1+x^2} +2y-1 $
1.verificate che l'equazione $G(x,y)=0$ definisce in un intorno di $(0,0)$ un'unica funzione $y=y(x)$ continua e derivabile.
2.calcolate il polinomio di Taylor del secondo ordine di$ y(x) $ con centro in x=0.
3.Provate che la funzione $y=y(x)$ è definita e continua per ogni $x \in R $e che $ 0\leq y(x)\leq2$. Provateche $x=0$ è punto di minimo assoluto per la funzione $y(x)$.
Sono riuscita a fare tutto tranne provare che $0\leqy(x)\leq2$. Ho provato a ragionare sul fatto che
$ lim_(x -> \infty ) G(x,y) =lim_(x -> \infty )0=0 $ , ma non mi porta al risultato. Ho provato a ricavare una forma esplicita di $y(x)$ , cioè $y(x) = 1-\frac{1}{e^(y(x)^2(x^2+1)} $ e a fare un limite di quest'ultima per $x \rightarrow +\infty$, ma neancora nulla.
Inoltre penso di essere confusa su una cosa: io penso che se il limite di una funzione esiste finito, sia esso $\lambda$, non significa che la funzione sia limitata con $\lambda$ come massimo . La funzione può fare quello che vuole, purchè da un certo punto in poi tenda effettivamente a $\lambda$. Eppure l'ho visto utilizzare in parecchi esercizi, quindi suppongo di sbagliarmi io, mi spieghereste perchè?
vorrei chiedere un chiarimento riguardo a un punto un esercizio sul teorema della funzione implicita (o del Dini). Posto il testo completo così potete sapere cosa ho già fatto e che informazioni ho:
Sia $ G: R^2 \rightarrow R $
definita da $ G(x,y)= \frac {e^(-y^2)}{1+x^2} +2y-1 $
1.verificate che l'equazione $G(x,y)=0$ definisce in un intorno di $(0,0)$ un'unica funzione $y=y(x)$ continua e derivabile.
2.calcolate il polinomio di Taylor del secondo ordine di$ y(x) $ con centro in x=0.
3.Provate che la funzione $y=y(x)$ è definita e continua per ogni $x \in R $e che $ 0\leq y(x)\leq2$. Provateche $x=0$ è punto di minimo assoluto per la funzione $y(x)$.
Sono riuscita a fare tutto tranne provare che $0\leqy(x)\leq2$. Ho provato a ragionare sul fatto che
$ lim_(x -> \infty ) G(x,y) =lim_(x -> \infty )0=0 $ , ma non mi porta al risultato. Ho provato a ricavare una forma esplicita di $y(x)$ , cioè $y(x) = 1-\frac{1}{e^(y(x)^2(x^2+1)} $ e a fare un limite di quest'ultima per $x \rightarrow +\infty$, ma neancora nulla.
Inoltre penso di essere confusa su una cosa: io penso che se il limite di una funzione esiste finito, sia esso $\lambda$, non significa che la funzione sia limitata con $\lambda$ come massimo . La funzione può fare quello che vuole, purchè da un certo punto in poi tenda effettivamente a $\lambda$. Eppure l'ho visto utilizzare in parecchi esercizi, quindi suppongo di sbagliarmi io, mi spieghereste perchè?
Risposte
Non so se quello che sto per dire ti possa aiutare,ma,hai provato a trovare il punto di minimo e di massimo di $y(x)$,studiando $y'(x)$(che per il teorema di Dini è uguale a $-G_x/G_y$,dove $G_x,G_y$ sono le derivate parziali di G)?
Sì, e in effetti ora che mi ci fai pensare ho già mostrato che $y'(x)$ ha u minimo in $x=0$; e fra l'altro x=0 è l'unico punto in cui si annulla la derivata prima, quindi mi resta il problema del massimo/estremo superiore che non so come affrontare. Grazie per il suggerimento.
Prego,se ci fai caso,si vede che $y'$ si annulla sia per quando $x=0$ e $y=0$,sia per quando $x=0$ e $y=2$.
Hai sbagliato a scrivere la traccia, controlla per favore. Me ne accorgo perché \(G(0,0)\) è diverso da \(0\).
hai ragione, il segno dell'ultimo termine era sbgliato. ora è a posto.
Io farei così: $0=G(x,y)=e^(-y^2)/(1+x^2)+2y-1=>e^(-y^2)/(1+x^2)=1-2y$, ma essendo $0-1<-2y<=0=>0<=2y<1=>0<=y<1/2$.
Grazie, anche a me risultava $y<\ frac{1}{2}$ con un altro ragionamento, ma il tuo è migliore. A questo punto direi che la funzione implicita è limitata superiormente da $\frac{1}{2}$, non da $2$. Forse si è perso il numeratore della frazione nella stampa 
Grazie a tutti per l'aiuto!
Grazie a tutti per l'aiuto!
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