Momento di inerzia

[Sk_Anonymous]

ciao a tutti,

mi chiedevo una cosa.. per definizione il momento di inerzia rispetto, ad esempio, all'asse x in R^3, è uguale all'integrale $ ∫ (y^2 +z^2) * ρ * dydz $, mentre in R^2 $ ∫ (y^2) * ρ * dy $... dove ρ è la densità del materiale e il primo termine tra parentesi è la distanza dall'asse di rotazione considerato,rispetto a cui vincere l'inerzia...

mi chiedo: come mai r (la distanza dall'asse di rotazione, in questo caso asse x) è uguale a y^2 + z^2 in R^3 e uguale a y^2 in R^2?

grazie

[ciampax]

Se hai 2 assi, hai solo le coordinate $(x,y)$, se hai tre assi, tre coordinate $(x,y,z)$. Devo aggiungere altro?

[Sk_Anonymous]

ciao ciampax, grazie per la risposta se ci troviamo in R^2 è piuttosto semplice , la distanza punto generico-asse x è uguale a $ |y| $ e siccome per definizione si considera la $ r^2 $ si ha $ y^2 $.. però in R^3 non ci arrivo.. aiutino?

[ciampax]

Per quanto riguarda la distanza in $\mathbb{R}^3$: prendi il punto $P(x,y,z)$ nello spazio e prendi l'asse rispetto a cui vuoi calcolare tale distanza, nel nostro caso l'asse $x$. Ora, la distanza di tale punto dall'asse si determina, geometricamente, prendendo il segmento ortogonale all'asse $x$ che passa per il punto dato e il cui alto estremo è proprio l'intersezione tra la retta che contiene tale segmento e l'asse. Non è difficile vedere, anche graficamente, che questo altro punto ha coordinate $(x,0,0)$, e pertanto la distanza al quadrato è data da
$$(x-x)^2+(y-0)^2+(z-0)^2=y^2+z^2$$.

[Sk_Anonymous]

grazie, non ci sarei arrivato facilmente