Moltiplicatori di Lagrange - Esercizio
Buonasera, sto facendo un esercizio in cui viene chiesto di trovare l'immagine di una funzione su un insieme, in questo caso sull'ellisse data.
Vorrei sapere cosa ne pensate del mio metodo di risoluzione.
Data la funzione $f(x,y) = sqrt(6)/2 * xy - y^2$, calcolare la sua immagine in $D {(x,y): x^2 /4 + y^2 / 6 =1}$
In questo caso la cosa più intelligente da fare sarebbe effettuare una parametrizzazione della funzione passando alle coordinate ellittiche. Tuttavia, dato che l'ho appena studiato, ho voluto utilizzare il metodo di Lagrange, per vedere se fosse efficiente.
Tuttavia tale metodo non mi porta da nessuna parte.
Vorrei sapere se ho commesso qualche errore secondo voi.
1)Funzione Lagrangiana = $sqrt(6)/2 * xy - y^2 - \lambda*(x^2 /4 + y^2 / 6 - 1)$ ;
2)Derivo rispetto ad $x$, rispetto ad $y$ e rispetto a $\lambda$;
3)Pongo il gradiente della funzione Lagrangiana uguale a zero ed ottengo:
$lambda=-6$
$P_1=+2/(sqrt(5)) ; +2*(sqrt(6)) / (sqrt(5))$
$P_2= - 2/(sqrt(5)) ; +2*(sqrt(6)) / (sqrt(5))$
Osservo il valore di $f$ nei punti trovati.
Ovvio che la soluzione da me trovata non corrisponde a quella del libro.
Qualcuno sa dirmi se ho sbagliato qualcosa nell'applicazione di questo metodo?
P.s. Mi sono iscritto a questo forum perché me l'ha consigliato un mio amico e compagno di studi. Dando un occhio ai vari post, sono contento di aver dato ascolto al suo consiglio!!!
Vorrei sapere cosa ne pensate del mio metodo di risoluzione.
Data la funzione $f(x,y) = sqrt(6)/2 * xy - y^2$, calcolare la sua immagine in $D {(x,y): x^2 /4 + y^2 / 6 =1}$
In questo caso la cosa più intelligente da fare sarebbe effettuare una parametrizzazione della funzione passando alle coordinate ellittiche. Tuttavia, dato che l'ho appena studiato, ho voluto utilizzare il metodo di Lagrange, per vedere se fosse efficiente.
Tuttavia tale metodo non mi porta da nessuna parte.
Vorrei sapere se ho commesso qualche errore secondo voi.
1)Funzione Lagrangiana = $sqrt(6)/2 * xy - y^2 - \lambda*(x^2 /4 + y^2 / 6 - 1)$ ;
2)Derivo rispetto ad $x$, rispetto ad $y$ e rispetto a $\lambda$;
3)Pongo il gradiente della funzione Lagrangiana uguale a zero ed ottengo:
$lambda=-6$
$P_1=+2/(sqrt(5)) ; +2*(sqrt(6)) / (sqrt(5))$
$P_2= - 2/(sqrt(5)) ; +2*(sqrt(6)) / (sqrt(5))$
Osservo il valore di $f$ nei punti trovati.
Ovvio che la soluzione da me trovata non corrisponde a quella del libro.
Qualcuno sa dirmi se ho sbagliato qualcosa nell'applicazione di questo metodo?
P.s. Mi sono iscritto a questo forum perché me l'ha consigliato un mio amico e compagno di studi. Dando un occhio ai vari post, sono contento di aver dato ascolto al suo consiglio!!!
Risposte
A livello teorico è grossomodo corretto, solo che non capisco cosa voglia dire \(x=\text{questo}; \text{quello}\). I punti critici sono, appunto, punti, quindi dovresti darli sottoforma di coppie \((x, y)\). Può darsi che sia lì che ti incarti. Altrimenti è un problema di conti.
Possibilmente ho sbagliato i conti ma mi risultano 8 puni critici vincolati.
Ma la domanda non era "trova l'immagine" e non "trova i max e min vincolati"?
P.S. ...e pensandoci, visto che la funzione è un'iperboloide e il dominio è un ellisse, ha perfettamente senso che vengano fuori 8 punti critici.
Ma la domanda non era "trova l'immagine" e non "trova i max e min vincolati"?
P.S. ...e pensandoci, visto che la funzione è un'iperboloide e il dominio è un ellisse, ha perfettamente senso che vengano fuori 8 punti critici.
"dissonance":
A livello teorico è grossomodo corretto, solo che non capisco cosa voglia dire \(x=\text{questo}; \text{quello}\). I punti critici sono, appunto, punti, quindi dovresti darli sottoforma di coppie \((x, y)\). Può darsi che sia lì che ti incarti. Altrimenti è un problema di conti.
ciao! Mi sono esposto in maniera confusionaria in quel frangente.
Esistono due punti che soddisfano il sistema , quindi due $x$ e due $y$.
Sarebbe stato meglio scrivere i punti, dopo correggo.
Ad ogni modo come dice bokonon, avrei dovuto ottenere OTTO punti.
Non so dove ho sbagliato.
{}
ciao Bokonon!
Potrei chiedere quale metodo hai adottato? Secondo te, cosa ho sbagliato nella mia risoluzione attraverso il metodo dei moltiplicatori di Lagrange?
"Bokonon":
Possibilmente ho sbagliato i conti ma mi risultano 8 puni critici vincolati.
Ma la domanda non era "trova l'immagine" e non "trova i max e min vincolati"?
P.S. ...e pensandoci, visto che la funzione è un'iperboloide e il dominio è un ellisse, ha perfettamente senso che vengano fuori 8 punti critici.
ciao Bokonon!
Potrei chiedere quale metodo hai adottato? Secondo te, cosa ho sbagliato nella mia risoluzione attraverso il metodo dei moltiplicatori di Lagrange?
2)Derivo rispetto ad x, rispetto ad y e rispetto a λ;
3)Pongo il gradiente della funzione Lagrangiana uguale a zero ed ottengo:
1)
$ sqrt(6) y - \lambda x =0 $
2)
$ 3 sqrt(6) x - 6 y - \lambda y / 3 = 0 $
3)
$ x^2 /4 + y^2 / 6 = 1 $
Se sostituisci la 1 nella 2 ottieni un'equazione quadratica in $\lambda$, quindi hai due soluzioni.
Con queste due soluzioni torni alla 1 e trovi due relazioni tra $x$ e $y$.
Per ognuna di questa relazioni, usando la 3, hai una quadratica di nuovo, per cui in tutto hai 4 soluzioni.
Siccome la funzione e' un paraboloide iperbolico, cioe' una sella, (non un iperboloide), e' plausibile che ci siano 4 soluzioni, due massimi e due minimi.
3)Pongo il gradiente della funzione Lagrangiana uguale a zero ed ottengo:
1)
$ sqrt(6) y - \lambda x =0 $
2)
$ 3 sqrt(6) x - 6 y - \lambda y / 3 = 0 $
3)
$ x^2 /4 + y^2 / 6 = 1 $
Se sostituisci la 1 nella 2 ottieni un'equazione quadratica in $\lambda$, quindi hai due soluzioni.
Con queste due soluzioni torni alla 1 e trovi due relazioni tra $x$ e $y$.
Per ognuna di questa relazioni, usando la 3, hai una quadratica di nuovo, per cui in tutto hai 4 soluzioni.
Siccome la funzione e' un paraboloide iperbolico, cioe' una sella, (non un iperboloide), e' plausibile che ci siano 4 soluzioni, due massimi e due minimi.
"Quinzio":
2)Derivo rispetto ad x, rispetto ad y e rispetto a λ;
3)Pongo il gradiente della funzione Lagrangiana uguale a zero ed ottengo:
1)
$ sqrt(6) y - \lambda x =0 $
2)
$ 3 sqrt(6) x - 6 y - \lambda y / 3 = 0 $
3)
$ x^2 /4 + y^2 / 6 = 1 $
Se sostituisci la 1 nella 2 ottieni un'equazione quadratica in $\lambda$, quindi hai due soluzioni.
Con queste due soluzioni torni alla 1 e trovi due relazioni tra $x$ e $y$.
Per ognuna di questa relazioni, usando la 3, hai una quadratica di nuovo, per cui in tutto hai 4 soluzioni.
Siccome la funzione e' un paraboloide iperbolico, cioe' una sella, (non un iperboloide), e' plausibile che ci siano 4 soluzioni, due massimi e due minimi.
grazie mille!!!
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