Misurabilità
mi si dice:
1) se $M$ è una $sigma$-algebra nell'insieme $X$, allora $X$ si chiama spazio misurabile e gli elementi di $M$ si chiama insiemi misurabili.
2) sia $F$ una qualsiasi collezione di sottoinsiemi di $X$, allora esiste una $sigma$-algebra $M*$ tale che $FsubM*$.
a questo punto l'esercizio è:
dimostrare che l'insieme dei punti ai quali converge una successione di funzioni reali e misurabili è misurabile.
ma dal punto 2) non segue che ogni insieme è misurabile basta prendere come $F$ l'insieme delle sue parti?
grazie
1) se $M$ è una $sigma$-algebra nell'insieme $X$, allora $X$ si chiama spazio misurabile e gli elementi di $M$ si chiama insiemi misurabili.
2) sia $F$ una qualsiasi collezione di sottoinsiemi di $X$, allora esiste una $sigma$-algebra $M*$ tale che $FsubM*$.
a questo punto l'esercizio è:
dimostrare che l'insieme dei punti ai quali converge una successione di funzioni reali e misurabili è misurabile.
ma dal punto 2) non segue che ogni insieme è misurabile basta prendere come $F$ l'insieme delle sue parti?
grazie
Risposte
beh ma allora la matematica che fai tu è senza assioma di scelta?????
credo che la $2)$ sia scorretta o meglio sia troppo nel senso che se tutti sono misurabili l'esercizio è banale...
credo che la $2)$ sia scorretta o meglio sia troppo nel senso che se tutti sono misurabili l'esercizio è banale...
Ciao 
No, da 2) non segue che ogni sottoinsieme è misurabile: 1) non dice che se M è una sigma-algebra allora ogni suo elemento è misurabile (altrimenti il concetto di misurabilità sarebbe banale: parti di X è una sigma-algebra), ti dice solo che su un insieme X puoi fissare una sigma-algebra M e chiamare misurabili i suoi elementi.
Oh insomma: il fatto che K sia una sigma-algebra non significa che K sia proprio la M che tu hai scelto all'inizio!
No, da 2) non segue che ogni sottoinsieme è misurabile: 1) non dice che se M è una sigma-algebra allora ogni suo elemento è misurabile (altrimenti il concetto di misurabilità sarebbe banale: parti di X è una sigma-algebra), ti dice solo che su un insieme X puoi fissare una sigma-algebra M e chiamare misurabili i suoi elementi.
Oh insomma: il fatto che K sia una sigma-algebra non significa che K sia proprio la M che tu hai scelto all'inizio!
lo sapevo che il mio era un post idiota, però vi chiedo di perdonarmi ma sto studiando tutto ciò da solo, e la cosa non affatto facile...
vi chiedo perciò ancora un attimo di pazienza:
@ miuemia, il fatto che ogni insieme sia misurabile implichi la mancanza del teorema di scelta è per via del teorema di Vitali?
@martino: il testo (Rudin, Real and Complex Analysis) dice:
quel smallest vuol dire che la $M$*$subM$? in tal caso, l'esercizio che ho postato non dovrebbe specificare di che tipo di $sigma$-algebra si tratta?
grazie ad entrambi,e scusate ancora
vi chiedo perciò ancora un attimo di pazienza:
@ miuemia, il fatto che ogni insieme sia misurabile implichi la mancanza del teorema di scelta è per via del teorema di Vitali?
@martino: il testo (Rudin, Real and Complex Analysis) dice:
"If $F$ is any collection of subsets of $X$, there exists a smallest $sigma$-algebra $M$* in $X$ such that $FsubM$*"
quel smallest vuol dire che la $M$*$subM$? in tal caso, l'esercizio che ho postato non dovrebbe specificare di che tipo di $sigma$-algebra si tratta?
grazie ad entrambi,e scusate ancora
Ecco, il fatto è questo: dato un insieme X, una $\sigma$-algebra su X è un sottoinsieme di parti di X con certe proprietà che non sto ad elencare. Orbene, se tu prendi un qualunque insieme di sottoinsiemi di X, chiamalo F, allora esiste una $\sigma$-algebra M su che lo contiene; ciò è ovvio, basta prendere parti di X stesso. Il tuo testo dice che ne esiste una minimale che contiene F, ok (immagino che ciò si dimostri usando il lemma di Zorn).
Come vedi finora non ho accennato minimamente ad insiemi misurabili (non mi serviva). In effetti quel risultato vale per ogni insieme X, non c'è nessun bisogno che X sia uno "spazio misurabile".
Penso che la tua confusione nasca dal fatto di confondere un elemento di una $\sigma$-algebra con un insieme misurabile. Non è così. è come per la topologia: il fatto che un dato insieme di sottoinsiemi di uno spazio topologico abbia la struttura di topologia non significa che i suoi elementi siano insiemi aperti (altrimenti tutti i sottoinsiemi dello spazio sarebbero aperti: parti di X è una topologia!), e via dicendo...
Ah, permettimi di questionare:
Dovresti prima dire cosa sia una funzione misurabile. E poi una successione di funzioni al massimo convergerà ad una funzione, non ad un punto, o ad un insieme di punti
Dovresti spiegarti meglio, credo.
Come vedi finora non ho accennato minimamente ad insiemi misurabili (non mi serviva). In effetti quel risultato vale per ogni insieme X, non c'è nessun bisogno che X sia uno "spazio misurabile".
Penso che la tua confusione nasca dal fatto di confondere un elemento di una $\sigma$-algebra con un insieme misurabile. Non è così. è come per la topologia: il fatto che un dato insieme di sottoinsiemi di uno spazio topologico abbia la struttura di topologia non significa che i suoi elementi siano insiemi aperti (altrimenti tutti i sottoinsiemi dello spazio sarebbero aperti: parti di X è una topologia!), e via dicendo...
Ah, permettimi di questionare:
a questo punto l'esercizio è:
dimostrare che l'insieme dei punti ai quali converge una successione di funzioni reali e misurabili è misurabile.
Dovresti prima dire cosa sia una funzione misurabile. E poi una successione di funzioni al massimo convergerà ad una funzione, non ad un punto, o ad un insieme di punti
Dovresti spiegarti meglio, credo.
esatto per quello
ciao ragazzi
purtroppo i dubbi persistono:
penso che questa frase sia l'origine dei miei dubbi, qual è la definizione vostra di insieme misurabile? Ahimè il problema sussiste analogo per gli aperti e gli spazi topologici.
Una funzione $f$ $X->Y$ è misurabile se $f^-1$$(V)$ è un insieme numerabile in $X$ $AA V$ aperto in $Y$.
Per quanto riguarda la convergenza penso che intendesse l'insieme delle immagini della funzione a cui converge la successione, o forse l'insieme delle controimmagini...
Scusatemi ma sto maledetto Rudin è più criptico di un papiro egizio
...
purtroppo i dubbi persistono:
" if $M$ is a $sigma$-algebra the members of $M$ are called the measurable sets in $X$"
penso che questa frase sia l'origine dei miei dubbi, qual è la definizione vostra di insieme misurabile? Ahimè il problema sussiste analogo per gli aperti e gli spazi topologici.
Una funzione $f$ $X->Y$ è misurabile se $f^-1$$(V)$ è un insieme numerabile in $X$ $AA V$ aperto in $Y$.
Per quanto riguarda la convergenza penso che intendesse l'insieme delle immagini della funzione a cui converge la successione, o forse l'insieme delle controimmagini...
Scusatemi ma sto maledetto Rudin è più criptico di un papiro egizio
...
"e^iteta":
Una funzione $f$ $X->Y$ è misurabile se $f^-1$$(V)$ è un insieme numerabile in $X$ $AA V$ aperto in $Y$.
Ehm... forse qui c'è qualcosa che non va
. Forse per "numerabile" e "aperto" intendevi "misurabile" in ambo i casi?Purtroppo la definizione che conosco io di insieme misurabile presume l'esistenza di una misura esterna su X, ovvero di una funzione da parti di X ai reali non negativi che faccia zero sul vuoto, che sia monotona e numerabilmente subadditiva
Poi... un sottoinsieme A di X si dice misurabile rispetto alla misura esterna $\mu$ se $\mu(E)=\mu(E \cap A)+\mu(E \setminus A)$ per ogni $E \subseteq X$. ...
Però c'è il simpatico teorema di Caratheodory (sto guardando sui miei vecchi appunti eh
) che assicura, tra le altre cose, che l'insieme dei misurabili è una $\sigma$-algebra. Quindi a partire da una misura esterna su X si è costruita una $\sigma$-algebra su X.Non mi pare accettabile la definizione " if $M$ is a $\sigma$-algebra the members of $M$ are called the measurable sets in $X$", perché ciò significherebbe che se un sottoinsieme di X appartiene ad una $\sigma$-algebra su X allora esso è misurabile! Ma siccome P(X) (parti di X) è una $\sigma$-algebra su X, ciò significherebbe che ogni sottoinsieme di X è misurabile, e quindi la definizione di sottoinsieme misurabile perderebbe di qualsiasi utilità ed interesse, perché sarebbe equivalente alla definizione di sottoinsieme. Sei sicuro che la definizione di insieme misurabile sul Rudin sia proprio quella?
1.
"dimostrare che l'insieme dei punti ai quali converge una successione di funzioni reali e misurabili è misurabile"
l'unica frase sensata si ha sostituendo "ai" con "nei"
immagino che il Rudin stia palando di convergenza puntuale, ma chi passa da 'ste parti non è un mago e quindi dovresti specificarlo
2.
"Una funzione $f$ $X->Y$ è misurabile se $f^-1$$(V)$ è un insieme numerabile in $X$ $AA V$ aperto in $Y$"
ovviamente "numerabile" leggasi "misurabile"
ed ora i commenti:
@Martino.
Sarebbe meglio avere sottomano "la" definizione di funzione misurabile, la quale è: controimmagine di ogni insieme misurabile è un insieme misurabile. Ovviamente (ça va sans dire), hai una funzione da $X$ a $Y$, dove $X$ e $Y$ sono spazi misurabil, ovvero è definita una $\sigma$-algebra $A$ di sottoinsiemi di $X$, bla. bla. bla.
L'uso di misure esterne, di Carathedory non è vietato, anzi consegue un ottimo scopo: non fa capire cosa significhi misurabilità di una funzione... Che, per la definizione di misurabilità, serva parlare di misure equivale a "mettere il carro davanti ai buoi".
La def. di Rudin, è, poi, il max del ridicolo da questo punto di vista. Costui ha in mente di dare la definizione di funzione misurabile, definita su uno spazio misurabile e a valori in uno spazio topologico. Che si fa? Ovvio. Si va a vedere se la struttura topologica induce oppure no una struttura di spazio misurabile che possa essere considerata "naturalmente" associata alla struttura topologica. La risposta è ovvia: si prende la $\sigma$-algebra generata dalla topologia, etc. Ovviamente, grazie alle formulette che si imparano all'asilo sulle controimmagini degli insiemi, ciò equivale a dire che la controimmagine di un aperto è misurabile. Et voilà. Certo, se quello stitico di Rudin lo dicesse, sarebbe tanto di guadagnato.
@e^itheta.
Rudin è stringato, Molto. E' la cosa che mi ricordo meglio di quel libro, assieme alla sua copertina rosa e alle sue piccole dimensioni e peso (un po' di fisicità in mate, che diamine!).
Un libro stringato può piacere o no. A me no, ma sono gusti.
Una cosa è sicura: se non leggi con attenzione quello che viene detto in un libro stringato, allora meglio leggere "Topolino". Mi preoccupa vedere due citazioni sbagliate in un solo thread.
"dimostrare che l'insieme dei punti ai quali converge una successione di funzioni reali e misurabili è misurabile"
l'unica frase sensata si ha sostituendo "ai" con "nei"
immagino che il Rudin stia palando di convergenza puntuale, ma chi passa da 'ste parti non è un mago e quindi dovresti specificarlo
2.
"Una funzione $f$ $X->Y$ è misurabile se $f^-1$$(V)$ è un insieme numerabile in $X$ $AA V$ aperto in $Y$"
ovviamente "numerabile" leggasi "misurabile"
ed ora i commenti:
@Martino.
Sarebbe meglio avere sottomano "la" definizione di funzione misurabile, la quale è: controimmagine di ogni insieme misurabile è un insieme misurabile. Ovviamente (ça va sans dire), hai una funzione da $X$ a $Y$, dove $X$ e $Y$ sono spazi misurabil, ovvero è definita una $\sigma$-algebra $A$ di sottoinsiemi di $X$, bla. bla. bla.
L'uso di misure esterne, di Carathedory non è vietato, anzi consegue un ottimo scopo: non fa capire cosa significhi misurabilità di una funzione... Che, per la definizione di misurabilità, serva parlare di misure equivale a "mettere il carro davanti ai buoi".
La def. di Rudin, è, poi, il max del ridicolo da questo punto di vista. Costui ha in mente di dare la definizione di funzione misurabile, definita su uno spazio misurabile e a valori in uno spazio topologico. Che si fa? Ovvio. Si va a vedere se la struttura topologica induce oppure no una struttura di spazio misurabile che possa essere considerata "naturalmente" associata alla struttura topologica. La risposta è ovvia: si prende la $\sigma$-algebra generata dalla topologia, etc. Ovviamente, grazie alle formulette che si imparano all'asilo sulle controimmagini degli insiemi, ciò equivale a dire che la controimmagine di un aperto è misurabile. Et voilà. Certo, se quello stitico di Rudin lo dicesse, sarebbe tanto di guadagnato.
@e^itheta.
Rudin è stringato, Molto. E' la cosa che mi ricordo meglio di quel libro, assieme alla sua copertina rosa e alle sue piccole dimensioni e peso (un po' di fisicità in mate, che diamine!).
Un libro stringato può piacere o no. A me no, ma sono gusti.
Una cosa è sicura: se non leggi con attenzione quello che viene detto in un libro stringato, allora meglio leggere "Topolino". Mi preoccupa vedere due citazioni sbagliate in un solo thread.
Ok, sono andato in una opportuna biblioteca e ho sfogliato le pagine del famoso Rudin. Le sue definizioni possono in effetti confondere. Quando dice "se M è una sigma-algebra su X allora X si dice spazio misurabile e gli elementi di M insiemi misurabili" intende che lo spazio misurabile è (più propriamente indicato con) (X,M), la coppia dell'insieme X e della sigma-algebra M. Ovvero, M è fissato e diventa qualcosa di intrinseco ad X, qualcosa di sottointeso ogni volta che si parla di X.
Per esempio, sappiamo che $(2,+\infty)$ è un aperto di R non perché Qualcuno ce l'ha ordinato, ma perché è sottointeso che gli aperti sono gli elementi della più piccola topologia contenente gli insiemi del tipo (a,b) con a
Per esempio, sappiamo che $(2,+\infty)$ è un aperto di R non perché Qualcuno ce l'ha ordinato, ma perché è sottointeso che gli aperti sono gli elementi della più piccola topologia contenente gli insiemi del tipo (a,b) con a
vero
d'altronde è una prassi normale, mica solo del Rudin! Se parlo di $RR^n$, dò per scontato che ci siano sopra tutte le strutture "solite": spazio vettoriale, norma euclidea, prodotto scalare, etc. E le uso come e quando voglio, senza starlo a ripetere tutte le volte.
Così come si dice: "$RR$ è un campo ordinato e completo", mentre si dovrebbe dire: "$(RR,+,\cdot,\le)$ è un campo ordinato e completo"
PS: "sono andato in una opportuna biblioteca" fra le 6:21 (o le 00:02) e 9:13 di domenica, a fine luglio? Mi auguro che sia la tua biblioteca di casa...
d'altronde è una prassi normale, mica solo del Rudin! Se parlo di $RR^n$, dò per scontato che ci siano sopra tutte le strutture "solite": spazio vettoriale, norma euclidea, prodotto scalare, etc. E le uso come e quando voglio, senza starlo a ripetere tutte le volte.
Così come si dice: "$RR$ è un campo ordinato e completo", mentre si dovrebbe dire: "$(RR,+,\cdot,\le)$ è un campo ordinato e completo"
PS: "sono andato in una opportuna biblioteca" fra le 6:21 (o le 00:02) e 9:13 di domenica, a fine luglio? Mi auguro che sia la tua biblioteca di casa...
"Fioravante Patrone":
PS: "sono andato in una opportuna biblioteca" fra le 6:21 e 9:13 di domenica, a fine luglio? Mi auguro che sia la tua biblioteca di casa...
Sì.. sì esatto, la biblioteca di casa.
Certo, dicevo che per chi non è abituato alle omissioni, il tutto può apparire un "nonsense"!
scusatemi, ho sbagliato a scrivere numerabile al posto di misurabile, però l'esercizio è esattamente così:
chiedo scusa di nuovo, mi spiace avervi fatto perdere del tempo prezioso, forsesicuramente non sono abbastanza in grado di interpretare "l'inglese matematico".
però se mi dite che quando parlo di spazio misurabile intendo anche una $sigma$-algebra intrinseca ad esso, nell'eserizio dovrebbe spiegarmi a quale si riferisce, oppure ce n'è una standard per $R$? qual è?
come al solito grazie mille per la disponibilità[/quote]
show that the set of points AT which a sequence of measurable real functions converges is a measurable set.
chiedo scusa di nuovo, mi spiace avervi fatto perdere del tempo prezioso, forsesicuramente non sono abbastanza in grado di interpretare "l'inglese matematico".
però se mi dite che quando parlo di spazio misurabile intendo anche una $sigma$-algebra intrinseca ad esso, nell'eserizio dovrebbe spiegarmi a quale si riferisce, oppure ce n'è una standard per $R$? qual è?
come al solito grazie mille per la disponibilità[/quote]
"e^iteta":
show that the set of points AT which a sequence of measurable real functions converges is a measurable set.
... forsesicuramente non sono abbastanza in grado di interpretare "l'inglese matematico".
Sì, è un errore di traduzione. Questo "AT" non si traduce con "ai"
"e^iteta":
chiedo scusa di nuovo, mi spiace avervi fatto perdere del tempo prezioso
??? A me no di certo, sennò non avrei risposto.
Quello che ti dicevo, da vecchio e noioso prof, era molto chiaro. E lo ritrovo confermato dalla lettura della tua domanda successiva:
"e^iteta":
però se mi dite che quando parlo di spazio misurabile intendo anche una $sigma$-algebra intrinseca ad esso, nell'eserizio dovrebbe spiegarmi a quale si riferisce, oppure ce n'è una standard per $R$? qual è?
come al solito grazie mille per la disponibilità
se rileggi i miei post, ci trovi già la risposta (vedi "@Martino"). Ribadisco la "morale": leggere con attenzione!
Forse ho capito, l'esercizio è questo:
Sia $f_n:X \to \mathbb{R}$ una funzione misurabile per ogni $n \in \mathbb{N}$, e sia $L$ l'insieme dei punti $x \in X$ tali che la successione $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ converge in $\mathbb{R}$. Mostrare che $L \subseteq X$ è misurabile.
Ok, se l'esercizio è questo, non vedo un modo immediato per risolverlo. Non ancora almeno.
Cià--
Sia $f_n:X \to \mathbb{R}$ una funzione misurabile per ogni $n \in \mathbb{N}$, e sia $L$ l'insieme dei punti $x \in X$ tali che la successione $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ converge in $\mathbb{R}$. Mostrare che $L \subseteq X$ è misurabile.
Ok, se l'esercizio è questo, non vedo un modo immediato per risolverlo. Non ancora almeno.
Cià--
grazie mille a martino per aver finalmente dato una caratterizzazione comprensibile dell'esercizio!!mi rifaccio la suo intervento per le notazioni.
proviamo a vedere se ce la faccio:
considero
f(x) = $lim_(n->+oo)$ $f_n$$(x)$
s = $Sup_(x in X)$ f(x)
i = $Inf_(x in X)$ f(x)
s,i $in RR uu {+oo} uu {-oo}$
tali quantità dovrebbero essere ben definite in quanto la sucessione è a valori reali (almeno spero!).
si consideri V = [i, s] $sube RR uu {+oo} uu {-oo}$, allora esso è un insieme di Borel, quindi misurabile, e si ha che
Im (f) $sube$ V
dove Im (f) = insieme delle immagini di f
l'insieme $f^-1$(V) = D(f) = dominio di f = $L$
è misurabile, poiché il limite di una successione di funzioni misurabili è misurabile, da cui dovrebbe seguire la tesi.
attendo vostri commenti incrociando le dita...
proviamo a vedere se ce la faccio:
considero
f(x) = $lim_(n->+oo)$ $f_n$$(x)$
s = $Sup_(x in X)$ f(x)
i = $Inf_(x in X)$ f(x)
s,i $in RR uu {+oo} uu {-oo}$
tali quantità dovrebbero essere ben definite in quanto la sucessione è a valori reali (almeno spero!).
si consideri V = [i, s] $sube RR uu {+oo} uu {-oo}$, allora esso è un insieme di Borel, quindi misurabile, e si ha che
Im (f) $sube$ V
dove Im (f) = insieme delle immagini di f
l'insieme $f^-1$(V) = D(f) = dominio di f = $L$
è misurabile, poiché il limite di una successione di funzioni misurabili è misurabile, da cui dovrebbe seguire la tesi.
attendo vostri commenti incrociando le dita...
Credo che con questo ragionamento tu abbia dimostrato solo che L è misurabile in L, il che è ovvio dato che L appartiene ad ogni $\sigma$-algebra su L. Ma bisogna dimostrare che L è misurabile in X.
Tra l'altro invece di V potevi prendere $\mathbb{R}$ e facevi prima
Tra l'altro invece di V potevi prendere $\mathbb{R}$ e facevi prima
"e^iteta":
grazie mille a martino
mentre a quel rompiballe di Fioravante Patrone no!
questo può servire, comunque (segue la strada standard che passa attraverso il "max lim", ovvero "lim sup"):
http://www.math.gatech.edu/~carlen/6327F06/meas.pdf
mentre a quel rompiballe di Fioravante Patrone no!
i ringraziamenti a fioravante patrone non solo per il link e le varie risposte esaurienti (che mi studierò stanotte
) ma anche per essere sempre molto chiaro e diretto nell'esprimersi
proviamoci ancora: (siete tutti autorizzati a mandarmi a qualunque paese!)
l'insieme dove la funzione converge è
{$x | f_n$$(x) - f(x) < epsilon$}
lo riscrivo come:
{$x |f(x) > f_n$$(x) - epsilon$}
questo insieme lo vedo come ($AAt in RR$)
{$x | f(x) > t- epsilon$} $nn$ {$x | f_n$$(x) <= t$}
infatti: $f(x) > t - epsilon > f_n$$(x) - epsilon$
per le proprietà delle funzioni misurabili si ha:
{$x | f(x) > t- epsilon$} $in M$ poiché $f$ è misurabile ($M$ è la $sigma$-algebra in $X$)
{$x | f_n(x) <= t$} = ${x | f_n$$(x) > t}^c in M$ poiché ogni $f_n$$(x)$ è misurabile e per le proprietà delle $sigma$- algebre.
la loro intersezione appartiene nuovamente ad $M$ sempre per le proprietà delle $sigma$-algebre.
speriamo che stavolta sia quella buona...
l'insieme dove la funzione converge è
{$x | f_n$$(x) - f(x) < epsilon$}
lo riscrivo come:
{$x |f(x) > f_n$$(x) - epsilon$}
questo insieme lo vedo come ($AAt in RR$)
{$x | f(x) > t- epsilon$} $nn$ {$x | f_n$$(x) <= t$}
infatti: $f(x) > t - epsilon > f_n$$(x) - epsilon$
per le proprietà delle funzioni misurabili si ha:
{$x | f(x) > t- epsilon$} $in M$ poiché $f$ è misurabile ($M$ è la $sigma$-algebra in $X$)
{$x | f_n(x) <= t$} = ${x | f_n$$(x) > t}^c in M$ poiché ogni $f_n$$(x)$ è misurabile e per le proprietà delle $sigma$- algebre.
la loro intersezione appartiene nuovamente ad $M$ sempre per le proprietà delle $sigma$-algebre.
speriamo che stavolta sia quella buona...
Qualche nota.
Scusami ma questa scrittura non ha significato. Intendi forse che l'insieme L è
$\{x \in X\ |\ \exists r \in \mathbb{R}\ t.c.\ \forall \varepsilon > 0\ \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}\ t.c.\ |f_n(x)-r|<\varepsilon\ \forall n > n_{\varepsilon}\}$
? In tal caso definendo $r=f(x)$ è intuibile quello che intendi fare, ma dovresti definire la f(x) nei punti di X fuori da L. Ok, poniamo di definire $f(x)=0$ quando $x \in X-L$.
Qui immagino tu intenda
$\{x \in X\ |\ \forall \varepsilon > 0\ \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}\ t.c.\ f(x)-2\varepsilon n_{\varepsilon} \}$
(ho solo sviluppato la relazione $|f_n(x)-r|<\varepsilon$)
Io qui mi sto perdendo. Stai forse definendo una classe di insiemi al variare di $t \in \mathbb{R}$? Come fai a dire $\forall t \in \mathbb{R}$? La scelta di t è parte integrante della questione.
Scusa, sarò io ma... dovresti formalizzare la cosa un po' meglio..
"e^iteta":
proviamoci ancora: (siete tutti autorizzati a mandarmi a qualunque paese!)
l'insieme dove la funzione converge è
{$x | f_n$$(x) - f(x) < epsilon$}
Scusami ma questa scrittura non ha significato. Intendi forse che l'insieme L è
$\{x \in X\ |\ \exists r \in \mathbb{R}\ t.c.\ \forall \varepsilon > 0\ \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}\ t.c.\ |f_n(x)-r|<\varepsilon\ \forall n > n_{\varepsilon}\}$
? In tal caso definendo $r=f(x)$ è intuibile quello che intendi fare, ma dovresti definire la f(x) nei punti di X fuori da L. Ok, poniamo di definire $f(x)=0$ quando $x \in X-L$.
lo riscrivo come:
{$x |f(x) > f_n$$(x) - epsilon$}
Qui immagino tu intenda
$\{x \in X\ |\ \forall \varepsilon > 0\ \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}\ t.c.\ f(x)-2\varepsilon
(ho solo sviluppato la relazione $|f_n(x)-r|<\varepsilon$)
questo insieme lo vedo come ($AAt in RR$)
{$x | f(x) > t- epsilon$} $nn$ {$x | f_n$$(x) <= t$}
infatti: $f(x) > t - epsilon > f_n$$(x) - epsilon$
Io qui mi sto perdendo. Stai forse definendo una classe di insiemi al variare di $t \in \mathbb{R}$? Come fai a dire $\forall t \in \mathbb{R}$? La scelta di t è parte integrante della questione.
Scusa, sarò io ma... dovresti formalizzare la cosa un po' meglio..
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