Misurabilità
mi si dice:
1) se $M$ è una $sigma$-algebra nell'insieme $X$, allora $X$ si chiama spazio misurabile e gli elementi di $M$ si chiama insiemi misurabili.
2) sia $F$ una qualsiasi collezione di sottoinsiemi di $X$, allora esiste una $sigma$-algebra $M*$ tale che $FsubM*$.
a questo punto l'esercizio è:
dimostrare che l'insieme dei punti ai quali converge una successione di funzioni reali e misurabili è misurabile.
ma dal punto 2) non segue che ogni insieme è misurabile basta prendere come $F$ l'insieme delle sue parti?
grazie
1) se $M$ è una $sigma$-algebra nell'insieme $X$, allora $X$ si chiama spazio misurabile e gli elementi di $M$ si chiama insiemi misurabili.
2) sia $F$ una qualsiasi collezione di sottoinsiemi di $X$, allora esiste una $sigma$-algebra $M*$ tale che $FsubM*$.
a questo punto l'esercizio è:
dimostrare che l'insieme dei punti ai quali converge una successione di funzioni reali e misurabili è misurabile.
ma dal punto 2) non segue che ogni insieme è misurabile basta prendere come $F$ l'insieme delle sue parti?
grazie
Risposte
ok perdonami evidentemente ho tante idee che sembrano belle nella mia testa e che fuori vengono brutte.
intendevo dire che, siccome quello che ho studiato è che:
una successione di funzioni converge puntualmente se
fissato $epsilon >0 , AA x in X , EEN = N (epsilon, x)$ t.c.
$|f_n$$(x) - f(x)| < epsilon AA n > N$
allora dati $epsilon$ e $N$, dove per $N$ prendo il massimo così va bene per tutti gli $x$, l'insieme dove ciò avviene, cioè
{$x|f_n$$(x) - f(x) < epsilon$} dovrebbe essere l'insieme di convergenza (effettivamente avevo dimenticato il modulo...)
in ogni caso la tua formulazione è più corretta della mia.
a questo punto mi sono rifatto alla proprietà di funzione reale misurabile, cioè che:
$f^-1$$((t, +oo]) in M$ $AAt in RR$
--dove $M$ è la solita--
cioè che la controimmagine degli intervalli del tipo $(t, +oo)$ è un insieme misurabile
e poi ho cercato di vedere l'insieme di convergenza come intersezione di due insiemi che avessero questa proprietà oppure che fossero riconducibili ad essa.
forse lo stesso percorso è ripercorribile con la tua formulazione, più corretta...
cosa ne dici?
intendevo dire che, siccome quello che ho studiato è che:
una successione di funzioni converge puntualmente se
fissato $epsilon >0 , AA x in X , EEN = N (epsilon, x)$ t.c.
$|f_n$$(x) - f(x)| < epsilon AA n > N$
allora dati $epsilon$ e $N$, dove per $N$ prendo il massimo così va bene per tutti gli $x$, l'insieme dove ciò avviene, cioè
{$x|f_n$$(x) - f(x) < epsilon$} dovrebbe essere l'insieme di convergenza (effettivamente avevo dimenticato il modulo...)
in ogni caso la tua formulazione è più corretta della mia.
a questo punto mi sono rifatto alla proprietà di funzione reale misurabile, cioè che:
$f^-1$$((t, +oo]) in M$ $AAt in RR$
--dove $M$ è la solita--
cioè che la controimmagine degli intervalli del tipo $(t, +oo)$ è un insieme misurabile
e poi ho cercato di vedere l'insieme di convergenza come intersezione di due insiemi che avessero questa proprietà oppure che fossero riconducibili ad essa.
forse lo stesso percorso è ripercorribile con la tua formulazione, più corretta...
cosa ne dici?
"e^iteta":
allora dati $epsilon$ e $N$, dove per $N$ prendo il massimo così va bene per tutti gli $x$, l'insieme dove ciò avviene, cioè
{$x|f_n$$(x) - f(x) < epsilon$} dovrebbe essere l'insieme di convergenza (effettivamente avevo dimenticato il modulo...)
Avrei qualche osservazione. Innanzitutto non hai ancora specificato cosa sia f(x) quando x non appartiene a L.
Ma, cosa più importante, prendi per N il massimo? Ma come fai, avendo uno sconosciuto sottoinsieme di $\mathbb{N}$, dire che in esso esiste un massimo? Potrebbe non esistere. Ovvero, l'insieme degli n associati ai vari $\varepsilon>0$ potrebbe essere superiormente illimitato.
E poi cosa significa che $\varepsilon$ è "dato"? Significa forse che è fissato in modo arbitrario? Attento: per quanto piccolo sia il $\varepsilon$ che scegli, possono esistere punti x di X tali che la successione $f_n(x)$, pur distando meno di $\varepsilon$ da $f(x)$ da un certo n in poi, non converga ad f(x)! Questo perché ci possono essere $\varepsilon$ più piccoli di quello scelto tali che non esista nessun N tale che $f_n(x)$ disti da $f(x)$ meno di $\varepsilon$ per ogni $n>N$.
Insomma, $\varepsilon$ e $N$ non possono essere globali e universalmente validi per ogni punto di X.
Non so se mi spiego.
Insomma, mi spiace ma io non riesco a capire. Potrebbe benissimo essere una mia incapacità a capire.
Provo a pensare un po' ad una possibile soluzione.
se quello che sto dicendo è vero, non capisco perchè dovrei definire f(x) all'infuori di L. tanto lì la successione di funzioni non converge, e se io prendo l'insieme che hai citato, dovrebbe coincidere con L, per cui all'esterno di esso f(x) non dovrebbe nemmeno essere definita. ripeto, se quello che dico sulla convergenza è giusto.
per quanto riguarda la scelta di $N$, hai ragione stupidamente non ci ho pensato, però è possibile che non ci sia un modo per ovviare a questo problema?
$epsilon$, invece, in teoria dovrebbe essere fissato abitrariamente piccolo, come nella solita definizione di limite.
forse dicendo:
prendo $L_epsilon$ = {$x|f_n$$(x) - f(x) < epsilon$} e considero che "al limite", scegliendo $epsilon$ sempre più piccoli ($epsilon>0$) questo insieme dovrebbe coincidere con L, le cose migliorano?
in ogni caso, mi daresti la tua definizione di convergenza puntuale, ed una conseguente caratterizzazione corretta dell'insieme nel quale la funzione converge?
grazie mille
per quanto riguarda la scelta di $N$, hai ragione stupidamente non ci ho pensato, però è possibile che non ci sia un modo per ovviare a questo problema?
$epsilon$, invece, in teoria dovrebbe essere fissato abitrariamente piccolo, come nella solita definizione di limite.
forse dicendo:
prendo $L_epsilon$ = {$x|f_n$$(x) - f(x) < epsilon$} e considero che "al limite", scegliendo $epsilon$ sempre più piccoli ($epsilon>0$) questo insieme dovrebbe coincidere con L, le cose migliorano?
in ogni caso, mi daresti la tua definizione di convergenza puntuale, ed una conseguente caratterizzazione corretta dell'insieme nel quale la funzione converge?
grazie mille
In definitiva la tua idea è ragionevole, ma ancora ho voglia di rompere un po' le balle 
Spero sia chiaro che stiamo discutendo con tranquillità. A me piace cercare di spiegarmi meglio.
Sì, quello che dici ha senso. Però discutevo l'aspetto formale della cosa. Insomma, se io ti dicessi che l'insieme dei numeri reali che ammettono una radice quadrata è $\{x \in \mathbb{R}\ |\ \sqrt{x}>0\}$ tu cosa mi diresti? Forse obietteresti: "ma non è detto che l'espressione $\sqrt{x}$ abbia sempre senso!" e avresti ragione. Il concetto è questo: dato un qualsiasi elemento di X, la caratterizzazione che tu dai di L deve permettermi di capire se x appartiene ad L oppure no. Bene, effettuando questo controllo mi rendo conto, se ho scelto x fuori da L, che f(x) non so nemmeno cosa significhi! Tu dirai: ok, è sottointeso che se non sai cosa significa allora x non soddisfa la caratterizzazione. Io dico: no! La caratterizzazione deve produrre un risultato, una risposta chiara alla domanda "ma x appartiene all'insieme?". Nulla nella caratterizzazione dev'essere sottointeso.
Un altro esempio: $\{x \in \mathbb{R}\ |\ x \ne 0\}=\{x \in \mathbb{R}\ |\ \frac{x}{x}=1\}$. Prima di domandarci se questa relazione è vera, dobbiamo domandarci se essa ha senso. Proviamo a determinare se 0 appartiene o no al secondo insieme. Saremo costretti a dare un significato all'espressione 0/0. Ma questa espressione di significati non ne ha. Se tu allora decidi che x/x quando x=0 significa 2 (o un qualunque numero che non sia 1), ecco che il secondo insieme ha un significato e la relazione è vera.
Mi sono dilungato un po', per chiarire il mio pensiero. Forse se vuoi chiarire questa faccenda sarebbe meglio che trovassi qualcuno con cui parlarne. Scriverci su è difficile
Ma andiamo avanti.
Presumo che tu intendessi dire $L_{\varepsilon}=\{x \in X\ |\ \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}\ t.c.\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\ \forall n > n_{\varepsilon}\}$ (è questo che intendevi? In tal caso perché non hai scritto così?). In tal caso sono d'accordo che $L=\bigcap_{\varepsilon>0}L_{\varepsilon}$. Anzi, vale addirittura che $L=\bigcap_{k \in \mathbb{N}_{\geq 1}}L_{\frac{1}{k}}$ (così hai un'intersezione numerabile! Se tu non potessi esprimere questa intersezione tramite una numerabile non riusciresti a concludere: le sigma-algebre non sono, che io sappia, chiuse per intersezione arbitraria).
Non è ancora finita: ora bisogna dimostrare che i $L_{\varepsilon}$ sono misurabili. Probabilmente basta osservare che $L_{\varepsilon}=\bigcap_{n>n_{\varepsilon}}(f_n-f)^{-1}(B(0,\varepsilon))$, con qualche ulteriore osservazione sulla misurabilità di f che ora come ora sono troppo stanco per fare
.
Ecco, diciamo così: se esiste una estensione di f a tutto X che sia misurabile (quella che ho proposto io, che voleva f identicamente nulla su X-L, potrebbe non andare bene), allora abbiamo finito. Altrimenti, c'è ancora lavoro da fare.
Mi dispiace darti addosso così, si capisce che l'idea che hai è giusta, ma dopo abbastanza fatica.
La caratterizzazione che hai dato tu, con qualche aggiustamento qua e là di cui ho or ora accennato, va bene.
Ti prego, cerca di curare i dettagli! Non ci si può sempre permettere di lasciarli perdere
Ciao (pace! 
)
Spero sia chiaro che stiamo discutendo con tranquillità. A me piace cercare di spiegarmi meglio.
"e^iteta":
se quello che sto dicendo è vero, non capisco perchè dovrei definire f(x) all'infuori di L. tanto lì la successione di funzioni non converge, e se io prendo l'insieme che hai citato, dovrebbe coincidere con L, per cui all'esterno di esso f(x) non dovrebbe nemmeno essere definita. ripeto, se quello che dico sulla convergenza è giusto.
Sì, quello che dici ha senso. Però discutevo l'aspetto formale della cosa. Insomma, se io ti dicessi che l'insieme dei numeri reali che ammettono una radice quadrata è $\{x \in \mathbb{R}\ |\ \sqrt{x}>0\}$ tu cosa mi diresti? Forse obietteresti: "ma non è detto che l'espressione $\sqrt{x}$ abbia sempre senso!" e avresti ragione. Il concetto è questo: dato un qualsiasi elemento di X, la caratterizzazione che tu dai di L deve permettermi di capire se x appartiene ad L oppure no. Bene, effettuando questo controllo mi rendo conto, se ho scelto x fuori da L, che f(x) non so nemmeno cosa significhi! Tu dirai: ok, è sottointeso che se non sai cosa significa allora x non soddisfa la caratterizzazione. Io dico: no! La caratterizzazione deve produrre un risultato, una risposta chiara alla domanda "ma x appartiene all'insieme?". Nulla nella caratterizzazione dev'essere sottointeso.
Un altro esempio: $\{x \in \mathbb{R}\ |\ x \ne 0\}=\{x \in \mathbb{R}\ |\ \frac{x}{x}=1\}$. Prima di domandarci se questa relazione è vera, dobbiamo domandarci se essa ha senso. Proviamo a determinare se 0 appartiene o no al secondo insieme. Saremo costretti a dare un significato all'espressione 0/0. Ma questa espressione di significati non ne ha. Se tu allora decidi che x/x quando x=0 significa 2 (o un qualunque numero che non sia 1), ecco che il secondo insieme ha un significato e la relazione è vera.
Mi sono dilungato un po', per chiarire il mio pensiero. Forse se vuoi chiarire questa faccenda sarebbe meglio che trovassi qualcuno con cui parlarne. Scriverci su è difficile
Ma andiamo avanti.
per quanto riguarda la scelta di $N$, hai ragione stupidamente non ci ho pensato, però è possibile che non ci sia un modo per ovviare a questo problema?
$epsilon$, invece, in teoria dovrebbe essere fissato abitrariamente piccolo, come nella solita definizione di limite.
forse dicendo:
prendo $L_epsilon$ = {$x|f_n$$(x) - f(x) < epsilon$} e considero che "al limite", scegliendo $epsilon$ sempre più piccoli ($epsilon>0$) questo insieme dovrebbe coincidere con L, le cose migliorano?
Presumo che tu intendessi dire $L_{\varepsilon}=\{x \in X\ |\ \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}\ t.c.\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\ \forall n > n_{\varepsilon}\}$ (è questo che intendevi? In tal caso perché non hai scritto così?). In tal caso sono d'accordo che $L=\bigcap_{\varepsilon>0}L_{\varepsilon}$. Anzi, vale addirittura che $L=\bigcap_{k \in \mathbb{N}_{\geq 1}}L_{\frac{1}{k}}$ (così hai un'intersezione numerabile! Se tu non potessi esprimere questa intersezione tramite una numerabile non riusciresti a concludere: le sigma-algebre non sono, che io sappia, chiuse per intersezione arbitraria).
Non è ancora finita: ora bisogna dimostrare che i $L_{\varepsilon}$ sono misurabili. Probabilmente basta osservare che $L_{\varepsilon}=\bigcap_{n>n_{\varepsilon}}(f_n-f)^{-1}(B(0,\varepsilon))$, con qualche ulteriore osservazione sulla misurabilità di f che ora come ora sono troppo stanco per fare
.Ecco, diciamo così: se esiste una estensione di f a tutto X che sia misurabile (quella che ho proposto io, che voleva f identicamente nulla su X-L, potrebbe non andare bene), allora abbiamo finito. Altrimenti, c'è ancora lavoro da fare.
Mi dispiace darti addosso così, si capisce che l'idea che hai è giusta, ma dopo abbastanza fatica.
in ogni caso, mi daresti la tua definizione di convergenza puntuale, ed una conseguente caratterizzazione corretta dell'insieme nel quale la funzione converge?
grazie mille
La caratterizzazione che hai dato tu, con qualche aggiustamento qua e là di cui ho or ora accennato, va bene.
Ti prego, cerca di curare i dettagli! Non ci si può sempre permettere di lasciarli perdere
Ciao
(pace! )
ciao! due precisazioni di carattere non matematico:
e io sono di testa dura! però sono contentissimo che tu mi stia seguendo, spero che la cosa almeno un po' ti interessi! comunque a me fa molto piacere parlarne con te!
hai ragione, putroppo non sono mai molto attento...farò uno sforzo d'ora in poi!
venendo alle cose serie...
wow hai fatto dei numeri pazzeschi!
allora prendo $L_epsilon$$={x$$inX$ $|$ $EEn_epsilon$$inNNt.c.$ $| f_n$$(x)-f(x)|n_epsilon}$
e osservo che, come hai detto tu $L=nnn_{kinNN>=1}$$L_{1/k}$ così ho l'intersezione numerabile che è fondamentale.
proseguendo: $|f_{n}(x) - f(x)|$ è misurabile perchè il modulo e la sottrazione preservano la misurabilità.
per la misurabilità degli $L_epsilon$ forse basta osservare che
$L_epsilon = (|f_{n}(x) - f(x)|)^{-1}([-oo, epsilon)) = (|f_{n}(x) - f(x)|)^{-1}([epsilon,+oo]^c)$ e quindi abbiamo la misurabilità.
ora ho un ultimo dubbio: perchè ho bisogno che l'estensione di $f$ sia misurabile su $L-X$? non mi basta trovare un'estensione t.c. $EEn_{epsilon}inNN | |f_{n}(x) - f(x)| > epsilon$ $AA x $$in$$ X-L$ , $AA n > n_{epsilon}$? in questo modo di sicuro i punti della f(x) non apparterranno mai agli $L_epsilon$ e quindi non mi daranno fastidio...di sicuro sto sbagliando ma non riesco proprio a capire perchè chiedi la misurabilità al di fuori di L.
in tal caso basterebbe (?!) mettere $f(x) = +oo$ $AAx$$in$$X-L$ credo che ciò sia lecito, o perlomeno il Rudin lo fa.
in ogni caso questa cosa mi sta "scimmiando" moltissimo, ma ti prego, giusto per sapere quanto devo sentirmi scemo, che corso frequenti? e a che anno sei?
ovviamente non sei obbligato a rispondere qualora non lo volessi, ti sono grato comunque per la quantità di tempo che mi stai dedicando
PS noto en passant la mancanza di Fioravante che, da saggio prof quale mi è sembrato, ci lascia discutere in pace...benedetta maieutica!
Spero sia chiaro che stiamo discutendo con tranquillità. A me piace cercare di spiegarmi meglio.
e io sono di testa dura!
però sono contentissimo che tu mi stia seguendo, spero che la cosa almeno un po' ti interessi! comunque a me fa molto piacere parlarne con te!Ti prego, cerca di curare i dettagli! Non ci si può sempre permettere di lasciarli perdere
hai ragione, putroppo non sono mai molto attento...farò uno sforzo d'ora in poi!
venendo alle cose serie...
wow hai fatto dei numeri pazzeschi!
allora prendo $L_epsilon$$={x$$inX$ $|$ $EEn_epsilon$$inNNt.c.$ $| f_n$$(x)-f(x)|
e osservo che, come hai detto tu $L=nnn_{kinNN>=1}$$L_{1/k}$ così ho l'intersezione numerabile che è fondamentale.
proseguendo: $|f_{n}(x) - f(x)|$ è misurabile perchè il modulo e la sottrazione preservano la misurabilità.
per la misurabilità degli $L_epsilon$ forse basta osservare che
$L_epsilon = (|f_{n}(x) - f(x)|)^{-1}([-oo, epsilon)) = (|f_{n}(x) - f(x)|)^{-1}([epsilon,+oo]^c)$ e quindi abbiamo la misurabilità.
ora ho un ultimo dubbio: perchè ho bisogno che l'estensione di $f$ sia misurabile su $L-X$? non mi basta trovare un'estensione t.c. $EEn_{epsilon}inNN | |f_{n}(x) - f(x)| > epsilon$ $AA x $$in$$ X-L$ , $AA n > n_{epsilon}$? in questo modo di sicuro i punti della f(x) non apparterranno mai agli $L_epsilon$ e quindi non mi daranno fastidio...di sicuro sto sbagliando ma non riesco proprio a capire perchè chiedi la misurabilità al di fuori di L.
in tal caso basterebbe (?!) mettere $f(x) = +oo$ $AAx$$in$$X-L$ credo che ciò sia lecito, o perlomeno il Rudin lo fa.
in ogni caso questa cosa mi sta "scimmiando" moltissimo, ma ti prego, giusto per sapere quanto devo sentirmi scemo, che corso frequenti? e a che anno sei?
ovviamente non sei obbligato a rispondere qualora non lo volessi, ti sono grato comunque per la quantità di tempo che mi stai dedicando
PS noto en passant la mancanza di Fioravante che, da saggio prof quale mi è sembrato, ci lascia discutere in pace...benedetta maieutica!
Eh.. rieccomi qui
Ad onor del vero $L_{\varepsilon}$ è quello che hai detto a meno di intersecare sugli n maggiori di $n_{\varepsilon}$.
Il motivo è il seguente: tu dici che $|f_n-f|$ è misurabile perché modulo e sottrazione preservano la misurabilità. Sul fatto che modulo e sottrazione preservano la misurabilità concordo. Sono dubbioso su un altro fatto: le $f_n$ sono definite su X e qui misurabili, ma la f è definita su L! Poiché devi verificare la misurabilità di L in X, l'espressione $f_n-f$ deve definire una funzione da X in $\mathbb{R}$, e di conseguenza la f deve essere estesa a tutto X. In caso contrario, $f_n-f$ rimane definita solo su L.
Insomma, per dire che $|f_n-f|$ è misurabile su X devi mostrare che la f ha una estensione misurabile a X (che poi sostituirai a f). Almeno, io non vedo altri modi.
Io spero con tutto il cuore che ci sia una soluzione meno drammatica a questo esercizio
Anche a me piace discutere di ciò, anche perché non ho ancora ben apprezzato la potenza della teoria della misura!
PS: Faccio matematica e ho appena finito il primo anno di specialistica.
"e^iteta":
$L_epsilon = (|f_{n}(x) - f(x)|)^{-1}([-oo, epsilon)) = (|f_{n}(x) - f(x)|)^{-1}([epsilon,+oo]^c)$ e quindi abbiamo la misurabilità.
Ad onor del vero $L_{\varepsilon}$ è quello che hai detto a meno di intersecare sugli n maggiori di $n_{\varepsilon}$.
ora ho un ultimo dubbio: perchè ho bisogno che l'estensione di $f$ sia misurabile su $L-X$? non mi basta trovare un'estensione t.c. $EEn_{epsilon}inNN | |f_{n}(x) - f(x)| > epsilon$ $AA x $$in$$ X-L$ , $AA n > n_{epsilon}$? in questo modo di sicuro i punti della f(x) non apparterranno mai agli $L_epsilon$ e quindi non mi daranno fastidio...di sicuro sto sbagliando ma non riesco proprio a capire perchè chiedi la misurabilità al di fuori di L.
Il motivo è il seguente: tu dici che $|f_n-f|$ è misurabile perché modulo e sottrazione preservano la misurabilità. Sul fatto che modulo e sottrazione preservano la misurabilità concordo. Sono dubbioso su un altro fatto: le $f_n$ sono definite su X e qui misurabili, ma la f è definita su L! Poiché devi verificare la misurabilità di L in X, l'espressione $f_n-f$ deve definire una funzione da X in $\mathbb{R}$, e di conseguenza la f deve essere estesa a tutto X. In caso contrario, $f_n-f$ rimane definita solo su L.
Insomma, per dire che $|f_n-f|$ è misurabile su X devi mostrare che la f ha una estensione misurabile a X (che poi sostituirai a f). Almeno, io non vedo altri modi.
Io spero con tutto il cuore che ci sia una soluzione meno drammatica a questo esercizio
Anche a me piace discutere di ciò, anche perché non ho ancora ben apprezzato la potenza della teoria della misura!
PS: Faccio matematica e ho appena finito il primo anno di specialistica.
Un piccolo suggerimento?
Bene, mi sono appena accorto che dire $L_{\varepsilon}=\bigcap_{n>n_{\varepsilon}}(f_n-f)^{-1}(B(0,\varepsilon))$ non ha senso in quanto $n_{\varepsilon}$ dipende dal particolare $x$ 
Altrimenti si poteva osare in modo proficuo il suggerimento di Sandokan...
Che bellezza...
Altrimenti si poteva osare in modo proficuo il suggerimento di Sandokan...
Che bellezza...
Ho capito...
ciao, fa piacere vedere che qualcun altro ci ha seguito! (o forse non ne puoi più delle mie cavolate e quindi vuoi aiutarci a risolverla in fretta! )
ho un po' di domande:
1) scusatemi se sono sempre un po' indietro, ma come sarebbe utilizzabile il consiglio di sandokan?
2) per quanto rigurda l'intersezione per $n>n_epsilon$, quella dell'ultimo post di Martino, noi non possiamo farla semplicemente su tutto $NN$?tanto così siamo sicuri che qualsiasi $n_epsilon$ prima o poi lo supera, e siccome è un'intersezione tutto ciò che non ci interessa viene comunque eliminato. inoltre penso che la successione degli
$(f_{n}-f)^{-1}(B(0,epsilon))$ sia "discendente". non so se mi sono spiegato intendo che ogni insieme della successione è contenuto nei precedenti...può essere?
3)ancora ho dei dubbi sul trovare un'estensione misurabile su tutto $X$ alla $f(x)$. trovarla non significherebbe riuscire a dimostrare che $X-L=L^c$ è msurabile, e quindi anche $L$ senza bisogno di tutti i nostri passaggi?
grazie
)ho un po' di domande:
1) scusatemi se sono sempre un po' indietro, ma come sarebbe utilizzabile il consiglio di sandokan?
2) per quanto rigurda l'intersezione per $n>n_epsilon$, quella dell'ultimo post di Martino, noi non possiamo farla semplicemente su tutto $NN$?tanto così siamo sicuri che qualsiasi $n_epsilon$ prima o poi lo supera, e siccome è un'intersezione tutto ciò che non ci interessa viene comunque eliminato. inoltre penso che la successione degli
$(f_{n}-f)^{-1}(B(0,epsilon))$ sia "discendente". non so se mi sono spiegato intendo che ogni insieme della successione è contenuto nei precedenti...può essere?
3)ancora ho dei dubbi sul trovare un'estensione misurabile su tutto $X$ alla $f(x)$. trovarla non significherebbe riuscire a dimostrare che $X-L=L^c$ è msurabile, e quindi anche $L$ senza bisogno di tutti i nostri passaggi?
grazie
Veramente nell'ultimo post ho messo la soluzione completa... sono 3/4 righe
Si Sandokan, mi hai convinto. Io ero preso dal nostro procedimento, e in effetti il tuo e' sostanzialmente diverso (e piu' efficace...). Questo tipo di problemi mi ha sempre fatto sputare un po' di sangue..
Mi aggiorno.
Mi aggiorno.
"e^iteta":
ciao, fa piacere vedere che qualcun altro ci ha seguito! (o forse non ne puoi più delle mie cavolate e quindi vuoi aiutarci a risolverla in fretta!
ho un po' di domande:
1) scusatemi se sono sempre un po' indietro, ma come sarebbe utilizzabile il consiglio di sandokan?
Detto in modo terra-terra, alla luce del consiglio di Sandokan si puo' sostituire le f a qualche opportuna $f_n$ nella definizione (che ancora non sono riuscito ad esplicitare) di $L_{\varepsilon}$.
2) per quanto rigurda l'intersezione per $n>n_epsilon$, quella dell'ultimo post di Martino, noi non possiamo farla semplicemente su tutto $NN$?tanto così siamo sicuri che qualsiasi $n_epsilon$ prima o poi lo supera, e siccome è un'intersezione tutto ciò che non ci interessa viene comunque eliminato. inoltre penso che la successione degli
$(f_{n}-f)^{-1}(B(0,epsilon))$ sia "discendente". non so se mi sono spiegato intendo che ogni insieme della successione è contenuto nei precedenti...può essere?
Non puoi intersecare su tutti gli n perche' l'appartenenza alla palla B(0,epsilon) ce l'hai solo definitivamente, e non per tutti gli n.
3)ancora ho dei dubbi sul trovare un'estensione misurabile su tutto $X$ alla $f(x)$. trovarla non significherebbe riuscire a dimostrare che $X-L=L^c$ è msurabile, e quindi anche $L$ senza bisogno di tutti i nostri passaggi?
grazie
Non credo. Come fai esattamente a dire che se f ammette una estensione misurabile allora X-L e' misurabile?
"Martino":
Si Sandokan, mi hai convinto. Io ero preso dal nostro procedimento, e in effetti il tuo e' sostanzialmente diverso (e piu' efficace...). Questo tipo di problemi mi ha sempre fatto sputare un po' di sangue..
Mi aggiorno.
Veramente il procedimento non e' mio, e' preso dal trattato del Fremlin, che sia detto per inciso non posso fare a meno di consigliare caldamente a tutti gli appassionati di teoria della misura.
Comunque vorrei anche ''spezzare una lancia'' a favore del Rudin, che io (a differenza del prof. Padrone) considero uno dei migliori testi di analisi. Gli esercizi pero' sono discretamente difficili...
ok grazie mille a tutti,mi aggiorno anch'io.
siete stati molto pazienti e mi avete aiutato a capire un sacco di cose...
alla prossima
siete stati molto pazienti e mi avete aiutato a capire un sacco di cose...
alla prossima
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