Minimo di una funzione in tre variabili
Ciao,
ho da poco iniziato a fare esercizi su problemi di minimo in più variabili e mi sono imbattuto su questo problema. Premetto che il problema richiede unicamente di trovare il minimo assoluto, quindi non va studiata l'hessiana. Riporto qui il testo del problema:
Determinare, se esiste, min f in C
dove
$C={(x,y,z) in RR^3 : 4(x^2 + y^2) ≤ z^2 , 0 ≤ z ≤ 1}$
e
$f(x,y,z)=x(z-1/2)^2$
Grazie mille
ho da poco iniziato a fare esercizi su problemi di minimo in più variabili e mi sono imbattuto su questo problema. Premetto che il problema richiede unicamente di trovare il minimo assoluto, quindi non va studiata l'hessiana. Riporto qui il testo del problema:
Determinare, se esiste, min f in C
dove
$C={(x,y,z) in RR^3 : 4(x^2 + y^2) ≤ z^2 , 0 ≤ z ≤ 1}$
e
$f(x,y,z)=x(z-1/2)^2$
Grazie mille
Risposte
"cesare1":
Premetto che il problema richiede unicamente di trovare il minimo assoluto, quindi non va studiata l'hessiana.
Per quale motivo?
"anonymous_0b37e9":
[quote="cesare1"]
Premetto che il problema richiede unicamente di trovare il minimo assoluto, quindi non va studiata l'hessiana.
Per quale motivo?[/quote]
Perché dei candidati(punti stazionari) che trovo studiando interno e bordo, basta che calcolo il valore della funzione in quei punti e prendo il valore più basso
Hai ragione, se non devi classificarli esplicitamente. Immagino che tu abbia dei problemi sul bordo. Quale metodo sei solito usare?
P.S.
Eviterei di chiamare "punti stazionari" quelli sul bordo.
P.S.
Eviterei di chiamare "punti stazionari" quelli sul bordo.
Sinceramente ho problemi anche sull'interno perché ponendo il gradiente della funzione uguale a zero, l'unico candidato che mi esce è $A=(x,0,1/2)$ e non mi convince molto.
Per il bordo ho considerato la funzione $F=4(x^2 + y^2) -z^2=0$
Innanzitutto, essendo la funzione F differenziabile, ho calcolato la Jacobiana di F e cercato per quali valori essa non avesse rango massimo trovando così un secondo candidato: $B=(0,0,0)$
Dopodiché per trovare i restanti candidati ho risolto il sistema con le seguenti equazioni in x,y,z,a
$F(x,y,z)=0$ e $\nabla f=a \nabla F(x,y,z))$
e ho trovato gli altri candidati:
$D={(x,y,z) in RR^3 : z=1/2 , 4x^2 + 4y^2 = z}$
$E={(x,y,z) in RR^3 : y=0 , 4x^2 - z^2 = 0}$
Io ho pensato di risolvere il problema come se l'insieme non fosse limitato su z, e dopo andare ad escludere i candidati che non obbedissero alla condizione su z del dominio, ma non so se sia la strategia corretta
Per il bordo ho considerato la funzione $F=4(x^2 + y^2) -z^2=0$
Innanzitutto, essendo la funzione F differenziabile, ho calcolato la Jacobiana di F e cercato per quali valori essa non avesse rango massimo trovando così un secondo candidato: $B=(0,0,0)$
Dopodiché per trovare i restanti candidati ho risolto il sistema con le seguenti equazioni in x,y,z,a
$F(x,y,z)=0$ e $\nabla f=a \nabla F(x,y,z))$
e ho trovato gli altri candidati:
$D={(x,y,z) in RR^3 : z=1/2 , 4x^2 + 4y^2 = z}$
$E={(x,y,z) in RR^3 : y=0 , 4x^2 - z^2 = 0}$
Io ho pensato di risolvere il problema come se l'insieme non fosse limitato su z, e dopo andare ad escludere i candidati che non obbedissero alla condizione su z del dominio, ma non so se sia la strategia corretta
Veramente, i punti stazionari interni sono:
$(x,y,1/2) ^^ [x^2+y^2<1/16]$
Tuttavia:
$[f(x,y,1/2)=0]$
Non ti rimane che studiare il bordo. Il vertice del cono deve essere valutato separatamente:
$[f(0,0,0)=0]$
Per quanto riguarda il resto, ti consiglio il metodo dei moltiplicatori di Lagrange sui seguenti insiemi:
Insieme 1 (superficie, 1 moltiplicatore $\lambda$): $[4(x^2 + y^2)=z^2] ^^ [0
Insieme 2 (superficie, 1 moltiplicatore $\lambda$): $[z=1] ^^ [x^2+y^2<1/4]$
Insieme 3 (curva, 2 moltiplicatori $\lambda$ e $\mu$): $[z=1] ^^ [x^2+y^2=1/4]$
P.S.
Si potrebbe tentare anche con il metodo della restrizione, non so se lo conosci.
$(x,y,1/2) ^^ [x^2+y^2<1/16]$
Tuttavia:
$[f(x,y,1/2)=0]$
Non ti rimane che studiare il bordo. Il vertice del cono deve essere valutato separatamente:
$[f(0,0,0)=0]$
Per quanto riguarda il resto, ti consiglio il metodo dei moltiplicatori di Lagrange sui seguenti insiemi:
Insieme 1 (superficie, 1 moltiplicatore $\lambda$): $[4(x^2 + y^2)=z^2] ^^ [0
Insieme 2 (superficie, 1 moltiplicatore $\lambda$): $[z=1] ^^ [x^2+y^2<1/4]$
Insieme 3 (curva, 2 moltiplicatori $\lambda$ e $\mu$): $[z=1] ^^ [x^2+y^2=1/4]$
P.S.
Si potrebbe tentare anche con il metodo della restrizione, non so se lo conosci.
Come hai fatto a trovare quei punti interni?
Si in effetti dividere il bordo del cono in 3 insiemi mi sembra ragionevole, adesso provo. Non mi è molto chiaro come usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange sul secondo insieme, ma ora provo.
Si in effetti dividere il bordo del cono in 3 insiemi mi sembra ragionevole, adesso provo. Non mi è molto chiaro come usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange sul secondo insieme, ma ora provo.
"cesare1":
Come hai fatto a trovare quei punti interni?
$[f(x,y,z)=x(z-1/2)^2] rarr \{((delf)/(delx)=(z-1/2)^2),((delf)/(dely)=0),((delf)/(delz)=2x(z-1/2)):}$
$\{((delf)/(delx)=0),((delf)/(dely)=0),((delf)/(delz)=0):} rarr \{((z-1/2)^2=0),(0=0),(2x(z-1/2)=0):} rarr \{(z=1/2),(x=0 vv z=1/2):} rarr \{(x=\alpha),(y=\beta),(z=1/2):} ^^ [\alpha^2+\beta^2<1/16]$
Ok grazie mille.
Comunque ho usato il metodo dei moltiplicatori di Lagrange sull'insieme 1 e 3 e mi escono i seguenti sistemi:
$4x^2 +4y^2 -z^2 =0$
$a8x=(z-1/2)^2$
$0=a8y$
$2x(z-1/2)=-2za$
da cui mi escono le seguenti soluzioni:
$A=(-1/12,0,1/6) B={(x,y,z) : 4x^2 + 4y^2 = 1/4} $
Mentre il sistema 3:
$x^2 + y^2 = 1/4$
$z-1=0$
$(z-1/2)^2=a2x$
$0=a2y$
$2x(z-1/2)=b$
da cui ricavo $C=(1/2,0,1) D=(-1/2,0,1)$
Comunque ho usato il metodo dei moltiplicatori di Lagrange sull'insieme 1 e 3 e mi escono i seguenti sistemi:
$4x^2 +4y^2 -z^2 =0$
$a8x=(z-1/2)^2$
$0=a8y$
$2x(z-1/2)=-2za$
da cui mi escono le seguenti soluzioni:
$A=(-1/12,0,1/6) B={(x,y,z) : 4x^2 + 4y^2 = 1/4} $
Mentre il sistema 3:
$x^2 + y^2 = 1/4$
$z-1=0$
$(z-1/2)^2=a2x$
$0=a2y$
$2x(z-1/2)=b$
da cui ricavo $C=(1/2,0,1) D=(-1/2,0,1)$
L'insieme 2 non lo considero già con l'interno? perché io vado a cercare i punti stazionari sull'interno di C ma considerandolo senza la limitazione su z, che considero solo dopo sui punti trovati, escludendo gli eventuali punti con z non compreso tra 0 e 1.
Per quanto riguarda il primo insieme:
$\{((z-1/2)^2=8\lambdax),(0=8\lambday),(2x(z-1/2)=-2\lambdaz):} ^^ [4(x^2 + y^2)=z^2] ^^ [0
le soluzioni mi risultano essere:
$[A(1/12,0,1/6)] vv [B(-1/12,0,1/6)] vv [C(\alpha,\beta,1/2) ^^ \alpha^2+\beta^2=1/16]$
Per quanto riguarda il secondo insieme:
$\{((z-1/2)^2=0),(0=0),(2x(z-1/2)=\lambda):} ^^ [z=1] ^^ [x^2+y^2<1/4]$
non mi risultano soluzioni.
Per quanto riguarda il terzo insieme:
$\{((z-1/2)^2=8\lambdax),(0=8\lambday),(2x(z-1/2)=-2\lambdaz+\mu):} ^^ [z=1] ^^ [x^2+y^2=1/4]$
le soluzioni mi risultano essere:
$[D(1/2,0,1)] vv [E(-1/2,0,1)]$
Non ho ben compreso che cosa tu intendessi fare con il secondo insieme. Ad ogni modo, anche procedendo come sopra, è il più semplice da evadere.
$\{((z-1/2)^2=8\lambdax),(0=8\lambday),(2x(z-1/2)=-2\lambdaz):} ^^ [4(x^2 + y^2)=z^2] ^^ [0
le soluzioni mi risultano essere:
$[A(1/12,0,1/6)] vv [B(-1/12,0,1/6)] vv [C(\alpha,\beta,1/2) ^^ \alpha^2+\beta^2=1/16]$
Per quanto riguarda il secondo insieme:
$\{((z-1/2)^2=0),(0=0),(2x(z-1/2)=\lambda):} ^^ [z=1] ^^ [x^2+y^2<1/4]$
non mi risultano soluzioni.
Per quanto riguarda il terzo insieme:
$\{((z-1/2)^2=8\lambdax),(0=8\lambday),(2x(z-1/2)=-2\lambdaz+\mu):} ^^ [z=1] ^^ [x^2+y^2=1/4]$
le soluzioni mi risultano essere:
$[D(1/2,0,1)] vv [E(-1/2,0,1)]$
Non ho ben compreso che cosa tu intendessi fare con il secondo insieme. Ad ogni modo, anche procedendo come sopra, è il più semplice da evadere.
Perfetto, grazie mille.
Non mi è usuale fare come tu hai fatto per il secondo insieme perché io solitamente definisco una F tale che $C={F=0}$ (intendo la frontiera di C), ma qui per il secondo insieme avrei dovuto definire una F tale che $F(x,y,z)=(x^2+y^2-1/4 <0, z-1=0)$
non so se mi hai compreso
Non mi è usuale fare come tu hai fatto per il secondo insieme perché io solitamente definisco una F tale che $C={F=0}$ (intendo la frontiera di C), ma qui per il secondo insieme avrei dovuto definire una F tale che $F(x,y,z)=(x^2+y^2-1/4 <0, z-1=0)$
non so se mi hai compreso
A me pare la stessa cosa. Ho calcolato il gradiente di $[F(x,y,z)=z-1]$. La condizione $[x^2+y^2<1/4]$ è a parte.
Ah ok ok, perfetto grazie mille. Potrei chiederti un altro esercizio? se hai tempo
Se posso aiutarti, certamente.
Sempre problema di minimo:
$C={(x,y,z) in RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1 , z≥y$
f$(x,y,z)=x(z-y)^2 $
Ho trattato i punti interni e non mi risultano esserci candidati.
Quindi sono passato al bordo. Ho diviso il bordo in due insiemi
Insieme 1 = ${(x,y,z) in RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1 , z=y}$
Ho usato il metodo dei moltiplicatori di lagrange e il risultato del sistema è:
A=${(x,y,z) in RR^3 : x^2 +2y^2=1, z=y$
Adesso stavo considerando l'altro insieme
Insieme 2 ${(x,y,z) in RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1 , z>y}$
e mi ritrovo a dover risolvere il sistema formato dalle seguenti equazioni:
$x^2 + y^2 + z^2 =1$
$(z-y)^2=2xa$
$-2x(z-y)=2ya$
$2x(z-y)=2za$
con la condizione $z>y$
E' giusto per ora?
$C={(x,y,z) in RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1 , z≥y$
f$(x,y,z)=x(z-y)^2 $
Ho trattato i punti interni e non mi risultano esserci candidati.
Quindi sono passato al bordo. Ho diviso il bordo in due insiemi
Insieme 1 = ${(x,y,z) in RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1 , z=y}$
Ho usato il metodo dei moltiplicatori di lagrange e il risultato del sistema è:
A=${(x,y,z) in RR^3 : x^2 +2y^2=1, z=y$
Adesso stavo considerando l'altro insieme
Insieme 2 ${(x,y,z) in RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1 , z>y}$
e mi ritrovo a dover risolvere il sistema formato dalle seguenti equazioni:
$x^2 + y^2 + z^2 =1$
$(z-y)^2=2xa$
$-2x(z-y)=2ya$
$2x(z-y)=2za$
con la condizione $z>y$
E' giusto per ora?
Per quanto riguarda i punti interni, sono d'accordo. Per quanto riguarda il bordo, ti consiglio di analizzare prima le superfici, un solo moltiplicatore di Lagrange, quindi la curva, due moltiplicatori di Lagrange. Questa sera ti posto le soluzioni.
Si esatto ho fatto così, per l'insieme 1 ho usato due moltiplicatori, mentre per il 2 uno. Le soluzioni ottenute mi sembrano abbastanza plausibili considerando il dominio e la funzione, sono:
$B=(2^(1/2)/2,1/2,-1/2)$ ESCLUSO
$C=(2^(1/2)/2,-1/2,1/2)$
$D=(-2^(1/2)/2,1/2,-1/2)$ ESCLUSO
E=$(-2^(1/2)/2,-1/2,+1/2)$ MINIMO ASSOLUTO
$B=(2^(1/2)/2,1/2,-1/2)$ ESCLUSO
$C=(2^(1/2)/2,-1/2,1/2)$
$D=(-2^(1/2)/2,1/2,-1/2)$ ESCLUSO
E=$(-2^(1/2)/2,-1/2,+1/2)$ MINIMO ASSOLUTO
Per quanto riguarda il primo insieme:
$\{((z-y)^2=2\lambdax),(-2x(z-y)=2\lambday),(2x(z-y)=2\lambdaz):} ^^ [x^2 + y^2+z^2=1] ^^ [z>y]$
le soluzioni mi risultano essere:
$[A(-sqrt3/3,-sqrt3/3,sqrt3/3)] vv [B(sqrt3/3,-sqrt3/3,sqrt3/3)]$
Per quanto riguarda il secondo insieme:
$\{((z-y)^2=0),(-2x(z-y)=-\lambda),(2x(z-y)=\lambda):} ^^ [z=y] ^^ [x^2 + y^2+z^2<1]$
le soluzioni mi risultano essere:
$[C(\alpha,\beta,\beta) ^^ \alpha^2+2\beta^2<1]$
Per quanto riguarda il terzo insieme:
$\{((z-y)^2=2\lambdax),(-2x(z-y)=2\lambday-\mu),(2x(z-y)=2\lambdaz+\mu):} ^^ [x^2 + y^2+z^2=1] ^^ [z=y]$
le soluzioni mi risultano essere:
$[D(\alpha,\beta,\beta) ^^ \alpha^2+2\beta^2=1]$
$\{((z-y)^2=2\lambdax),(-2x(z-y)=2\lambday),(2x(z-y)=2\lambdaz):} ^^ [x^2 + y^2+z^2=1] ^^ [z>y]$
le soluzioni mi risultano essere:
$[A(-sqrt3/3,-sqrt3/3,sqrt3/3)] vv [B(sqrt3/3,-sqrt3/3,sqrt3/3)]$
Per quanto riguarda il secondo insieme:
$\{((z-y)^2=0),(-2x(z-y)=-\lambda),(2x(z-y)=\lambda):} ^^ [z=y] ^^ [x^2 + y^2+z^2<1]$
le soluzioni mi risultano essere:
$[C(\alpha,\beta,\beta) ^^ \alpha^2+2\beta^2<1]$
Per quanto riguarda il terzo insieme:
$\{((z-y)^2=2\lambdax),(-2x(z-y)=2\lambday-\mu),(2x(z-y)=2\lambdaz+\mu):} ^^ [x^2 + y^2+z^2=1] ^^ [z=y]$
le soluzioni mi risultano essere:
$[D(\alpha,\beta,\beta) ^^ \alpha^2+2\beta^2=1]$
Ogni volta questi sistemi mi danno un sacco di problemi con i calcoli. Grazie mille comunque sei stato gentilissimo. Un'ultima cosa se non ti scoccia:
Quando vado ad analizzare il bordo io solitamente faccio 4 passaggi per cercare i candidati:
Analizzo quindi
1) i punti di C in cui f non è differenziabile
2) i punti (x,y,z) di C in F non è differenziabile in un intorno di (x,y,z)
3) i punti in cui F è differenziabile, ma la Jacobiana di F non ha rango massimo
4) procedo con metodo dei moltiplicatori di Lagrange
Tu qui procedi unicamente con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, perché?
Il punto 3, nel caso ad esempio dell'insieme 1, si risolve in questo modo?
$JF(x,y,z)=(2x,2y,2z)$ e quindi ottengo che l'unico punto è $(0,0,0)$ ma non soddisfa la condizione $z>y$
Quando vado ad analizzare il bordo io solitamente faccio 4 passaggi per cercare i candidati:
Analizzo quindi
1) i punti di C in cui f non è differenziabile
2) i punti (x,y,z) di C in F non è differenziabile in un intorno di (x,y,z)
3) i punti in cui F è differenziabile, ma la Jacobiana di F non ha rango massimo
4) procedo con metodo dei moltiplicatori di Lagrange
Tu qui procedi unicamente con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, perché?
Il punto 3, nel caso ad esempio dell'insieme 1, si risolve in questo modo?
$JF(x,y,z)=(2x,2y,2z)$ e quindi ottengo che l'unico punto è $(0,0,0)$ ma non soddisfa la condizione $z>y$
Sei fin troppo rigoroso. Se il docente lo richiede, temo che ti tocchi. Tuttavia, ti posso assicurare che nella stragrande maggioranza degli esercizi, e ne ho visti tanti, è sufficiente analizzare il bordo come hai visto, senza essere troppo formali. Solo il vertice del cono è problematico e deve essere valutato manualmente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo