Minimo di una funzione

[domenico.migl]

In un compito di esame di analisi 1 ho la seguente funzione:

$f(x)=x^3/3+(3sqrt(2)-2)x^2/2-6sqrt(2)x+5sqrt(2)$

e devo calcolare il minimo assoluto della funzione e scegliere tra varie risposte entro quale intervallo si trova il minimo assoluto.
Ho fatto la derivata prima: $f'(x)=x^2+(3sqrt(2)-2)x-6sqrt(2)$ , ho calcolato i punti in cui si annulla la derivata, ovvero $x=2$ e $x=3sqrt(2)$ ed essendo $x<=-3sqrt(2) vv x>=2$ dico che $-3sqrt(2)$ è il massimo della funzione mentre $-2$ è il minimo.
Tra gli intervalli proposti, avendo trovato $-2$ come minimo, avevo scelto $]1,3]$ e $[0,5]\Q$ mentre nelle soluzioni mi dice che la risposta corretta comprende i seguenti insiemi: $[-5,-4[$ e $]-1,3]$.
1) Com'è possibile la risposta del testo essendo che i due insiemi non hanno punti in comune e quindi solo uno dei due può contenere il minimo assoluto?
2) Ho sbagliato qualcosa?
3) Plottando su un calcolatore online la funzione mi vengono gli stessi valori di minimi e massimi ma mi dice che sono relativi, e che la funzione non ha minimo ASSOLUTI .....
4) Questa è ignoranza mia: come faccio a vedere se i valori di massimo e minimo trovati sono relativi o assoluti??

Grazie per l'attenzione!

[donald_zeka]

Sei sicuro che quello sia il testo originale del problema? se si la soluzione corretta proposta è completamente sbagliata.
La tua "ignoranza", diciamo, è abbastanza grave in questo caso, ossia il non sapere la differenza tra massimi assoluti e massimi relativi, dovresti ridarci un'occhiata a questi concetti

[domenico.migl]

"Vulplasir":Sei sicuro che quello sia il testo originale del problema? se si la soluzione corretta proposta è completamente sbagliata.

Si il testo è giusto. Hai detto che la risposta data dal testo è sbagliata ma non hai detto se è giusta quello che ho trovato io

[donald_zeka]

Quello che hai trovato te non può chiaramente essere giusto dato che non sai la differenza tra massimi relativi e assoluti, e il fatto che tu non ti renda conto da solo di dove sbagli significa che devi rivederti questi due concetti

[domenico.migl]

"Vulplasir":Quello che hai trovato te non può chiaramente essere giusto dato che non sai la differenza tra massimi relativi e assoluti, e il fatto che tu non ti renda conto da solo di dove sbagli significa che devi rivederti questi due concetti

$x=-3sqrt(2)$ e $x=2$ non sono quindi rispettivamente massimo e minimo relativi come dice il calcolatore?

[donald_zeka]

x=−32√ e x=2 non sono quindi rispettivamente massimo e minimo relativi come dice il calcolatore?

Si lo sono, ma l'esercizio chiedeva quelli assoluti

[domenico.migl]

"Vulplasir":Si lo sono, ma l'esercizio chiedeva quelli assoluti

. Ok su questo ci sono, l'avevo anche detto,ma premesso che odio fare affidamento sui calcolatori online e che non mi fido mai al 100% del risultato che mi restituisce, il calcolatore non mi da punti di massimo o di minimo assoluto perche tende a $-\infty$ a sinistra e a $+\infty$ a destra. Adesso mi chiedo: questa funzione possiede o non possiede dei massimi e minimi assoluti?

[donald_zeka]

Prima devi rivederti e darmi la definizione di massimo/minimo assoluto e massimo/minimo relativo di una funzione nel suo dominio...se no si parla del nulla

[domenico.migl]

"Vulplasir":Prima devi rivederti e darmi la definizione di massimo/minimo assoluto e massimo/minimo relativo di una funzione nel suo dominio...se no si parla del nulla

Le definizioni le sapevo anche da prima:
Sia $f(x):I \to R$ dove $I \sube R$
$x_0 \in Dom(f)$ è un punto di max relativo [min. relativo] per $f(x) <=>f(x_0)>=f(x) [f(x_0)<=f(x)] \forall x\in Dom(f)$

Per quanto riguarda quello assoluto le disuguaglianze diventano strette.

[donald_zeka]

Assolutamente NO! Tutto sbagliato!

Sia $f:A->RR$,

$x_0 in A$ si dice punto di massimo assoluto per $f$ in $A$ se risulta $f(x)<=f(x_0) AAx in A$

$x_0 in A$ si dice punto di massimo relativo per $f$ in $A$ se esiste un intorno $I_(x_0)$ di $x_0$ tale che $f(x)<=f(x_0) AA x in I_(x_0)$

[domenico.migl]

[quote=Vulplasir]:| Assolutamente NO! Tutto sbagliato!/quote]

Ok ho fatto una figuraccia .... Grazie per la correzione

[donald_zeka]

Quindi adesso puoi capire il perché hai sbagliato l'esercizio, ammette quella funzione un massimo o minimo assoluti?

[domenico.migl]

No! essendo $x\in ]-\infty, +\infty[$.. Concordi?

[domenico.migl]

O per lo meno, mi sono espresso malissimo.. Non possiede massimi/minimi assoluti poichè la funzione tende a $-\infty$ per $x\to -\infty$ mentre tende a $+\infty$ per $x\to +\infty$.. Giusto?

[donald_zeka]

Si, esatto

[domenico.migl]

Quindi sbaglia sia a supporre che ci sia un minimo assoluto sia a calcolare i minimi relativi (nell'ipotesi in cui volesse calcolato il minimo relativo anziché quello assoluto)?


(La risposta che lui da per esatta è la b)

[donald_zeka]

Eh no, allora il testo che hai riportato non è quello dell'esercizio, l'esercizio chiede tutt'altro, ossia gli insiemi in cui quella f ammette massimo e minimo assoluti "in quell'insieme", in pratica, considerato l'intervallo $[a,b]$ si tratta di applicare la definizione di massimo e minimo data prima con $A=[a,b]$...in pratica devi prendere ognuno di quei insiemi dati dall'esercizio e verificare se in essi è rispettata la definizione data prima

[domenico.migl]

"Vulplasir":in pratica devi prendere ognuno di quei insiemi dati dall'esercizio e verificare se in essi è rispettata la definizione data prima

In termini matematici come faccio a verificare che $\exists x_0$ appartenente ad uno degli intervalli proposti tale che $f(x_0)<= f(x) \forall x$ appartenente a quell'intervallo?

[donald_zeka]

Data una funzione in un intervallo di estremi $a$ e $b$ (chiuso o aperto), il massimo e minimo della funzione in quell'intervallo, se esistono, si possono trovare solo in:

1) Punti in cui si annulla la derivata della funzione
2) Punti di non derivabilità
3) Agli estremi $a$ e $b$

Quindi devi trovare il valore che f assume in ognuno di questi punti e vedere qual è rispettivamente il più grande e il più piccolo, quelli saranno il massimo e minimo.