Minimi e massimi vincolati funzione logaritmo
Ciao, avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio:
Studiare massimi e minimi nell'insieme $E={(x,y,)| x^2+y^2<=4}$
della funzione:
$f(x,y)= xylogy+xylogx$
Allora ho calcolato il dominio che è:
$D={(x,y)| x>0 , y >0}$
Cerco i punti di estremo interni a E. ossia in:
int (E)=${(x,y,)| x^2+y^2<4}$
calcolando i punti critici ottengo che:
$\frac{\delta }{\delta x}f(x,y)=y(lnx+ly+1)$
e
$\frac{\delta }{\delta y}f(x,y)=x(lnx+ly+1)$
eguagliando il gradiente a zero:
${ (y(lnx+ly+1)),(x(lnx+ly+1)):}$
da cui:
${ (x=0),(y=0):}$
da scartare poichè di frontiera, e rimane:
$lnx+ly+1=0$$\rightarrow $ $xy=\frac{1}{e}$
mi sono bloccato qui.
non riesco a proseguire.
se mi potete aiutare.
grazie.
Studiare massimi e minimi nell'insieme $E={(x,y,)| x^2+y^2<=4}$
della funzione:
$f(x,y)= xylogy+xylogx$
Allora ho calcolato il dominio che è:
$D={(x,y)| x>0 , y >0}$
Cerco i punti di estremo interni a E. ossia in:
int (E)=${(x,y,)| x^2+y^2<4}$
calcolando i punti critici ottengo che:
$\frac{\delta }{\delta x}f(x,y)=y(lnx+ly+1)$
e
$\frac{\delta }{\delta y}f(x,y)=x(lnx+ly+1)$
eguagliando il gradiente a zero:
${ (y(lnx+ly+1)),(x(lnx+ly+1)):}$
da cui:
${ (x=0),(y=0):}$
da scartare poichè di frontiera, e rimane:
$lnx+ly+1=0$$\rightarrow $ $xy=\frac{1}{e}$
mi sono bloccato qui.
non riesco a proseguire.
se mi potete aiutare.
grazie.
Risposte
Una volta determinati i punti stazionari cosa si deve calcolare?
"alere":
$xy=\frac{1}{e}$
ciao
hai che il prodotto di $x$ e $y$ è uguale a una costante $1/e$ se lo dovessi disegnare nel primo quadrante, che cosa ti verrebbe?
Proviamo a intersecarlo con lo spicchio (settore circolare) di cerchio?
devo determinare la matrice hessiana.
si ha che:
$\frac{\delta^2 }{\delta^2 x}f(x,y)=\frac{y}{x}$
$\frac{\delta^2 }{\delta^2 y}f(x,y)=\frac{x}{y}$
$\frac{\delta^2 }{\delta x \delta y}f(x,y)=\frac{1}{x}$
$\frac{\delta^2 }{\delta x \delta y}f(x,y)=\frac{1}{y}$
ne segue che la matrice hessiana di f in (x,y) è:
$Hf(x,y)=$ \begin{pmatrix}
\frac{y}{x} & \frac{1}{y}\\
\frac{1}{y} & \frac{x}{y}
\end{pmatrix}
e giusto?
ora però non mi ritrovo con i calcoli sostituendo il punto $xy=\frac{1}{e}$.
se mi potete aiutare.
grazie.
si ha che:
$\frac{\delta^2 }{\delta^2 x}f(x,y)=\frac{y}{x}$
$\frac{\delta^2 }{\delta^2 y}f(x,y)=\frac{x}{y}$
$\frac{\delta^2 }{\delta x \delta y}f(x,y)=\frac{1}{x}$
$\frac{\delta^2 }{\delta x \delta y}f(x,y)=\frac{1}{y}$
ne segue che la matrice hessiana di f in (x,y) è:
$Hf(x,y)=$ \begin{pmatrix}
\frac{y}{x} & \frac{1}{y}\\
\frac{1}{y} & \frac{x}{y}
\end{pmatrix}
e giusto?
ora però non mi ritrovo con i calcoli sostituendo il punto $xy=\frac{1}{e}$.
se mi potete aiutare.
grazie.
secondo me c'è un modo più facile per risolvere il problema
proviamo a ragionare sulla funzione di partenza: magari vien fuori qualche raccoglimento, sostituzione di variabile che ci può aiutare...
proviamo a ragionare sulla funzione di partenza: magari vien fuori qualche raccoglimento, sostituzione di variabile che ci può aiutare...
gio73 a me non mi vivente in mente nulla.
se mi puoi aiutare.
Grazie.
se mi puoi aiutare.
Grazie.
Come diceva gio73, è più comodo ragionare in modo diverso per questa funzione. Puoi osservare che la funzione stessa si scrive al modo seguente
$$f(x,y)=xy\log(xy)$$
e pertanto essa risulta costante sulle iperboli equilatere di equazione $xy=t$ con $t>0$. Puoi allora considerare questa funzione
$$F(t)=t\log t$$
che, usando con i classici metodi utili per determinare gli estremi di una funzione di una variabile reale, presenta un minimo in $t=1/e$ (la derivata risulta $F'(t)=\log t+1$ che è positiva per $t>1/e$). Dal momento che $E$ rappresenta il quarto di circonferenza di raggio 2 e che $1/e<2$ possiamo concludere che vi è un minimo interno ad $E$.... di che tipo di minimo si tratta? Assoluto o relativo? Inoltre, usando un ragionamento analogo, cosa puoi dire sul bordo di $E$?
$$f(x,y)=xy\log(xy)$$
e pertanto essa risulta costante sulle iperboli equilatere di equazione $xy=t$ con $t>0$. Puoi allora considerare questa funzione
$$F(t)=t\log t$$
che, usando con i classici metodi utili per determinare gli estremi di una funzione di una variabile reale, presenta un minimo in $t=1/e$ (la derivata risulta $F'(t)=\log t+1$ che è positiva per $t>1/e$). Dal momento che $E$ rappresenta il quarto di circonferenza di raggio 2 e che $1/e<2$ possiamo concludere che vi è un minimo interno ad $E$.... di che tipo di minimo si tratta? Assoluto o relativo? Inoltre, usando un ragionamento analogo, cosa puoi dire sul bordo di $E$?
Allora si tratta di un minimo relativo.
per quanto riguardo il bordo, dobbiamo cercare i punti di estremo, ossia:
$E={(x,y,)| x^2+y^2=4$
procedendo con il metodo del moltiplicatori di langrange, posto:
$g(x,y)=x^2+y^-4$
ottengo:
$L(x,y, \lambda )= F(x,y)-\lambdag(x,y)=xylog(xy)-\lambda (x^2+y^2-4)$
con il cambio di variabile $t=xy$ si ha:
$tlog(t)-\lambda (x^2+y^2-4)$
cerco i punti stazionari di L, ossia:
{ (log(t)+1=0),(x^2+y^2-4=0):}
quindi si ha:
$t=\frac{1 }{e}$
si ha un minimo assoluto.
non sò se giusto.
se mi potete aiutare.
grazie.
per quanto riguardo il bordo, dobbiamo cercare i punti di estremo, ossia:
$E={(x,y,)| x^2+y^2=4$
procedendo con il metodo del moltiplicatori di langrange, posto:
$g(x,y)=x^2+y^-4$
ottengo:
$L(x,y, \lambda )= F(x,y)-\lambdag(x,y)=xylog(xy)-\lambda (x^2+y^2-4)$
con il cambio di variabile $t=xy$ si ha:
$tlog(t)-\lambda (x^2+y^2-4)$
cerco i punti stazionari di L, ossia:
{ (log(t)+1=0),(x^2+y^2-4=0):}
quindi si ha:
$t=\frac{1 }{e}$
si ha un minimo assoluto.
non sò se giusto.
se mi potete aiutare.
grazie.
alere, hai una confusione in testa che neanche il Giappone dopo lo tsunami! 
Se vuoi usare il cambio di variabile, dovresti trasformare anche $x^2+y^2$ (cosa che non fai) e per usare il metodo dei moltiplicatori, devi studiare tutta la funzione, senza dividerla in due pezzi!
Le derivate della funzione $L$ sono
$$L_x=y\log(xy)+y-2\lambda x=0,\qquad L_y=x\log(xy)+x-2\lambda y=0,\qquad x^2+y^2-4=0$$
Ora, come puoi vedere da te, mettersi a risolvere questo sistema non è proprio semplicissimo, per cui conviene procedere in un altro modo.
La cosa migliore da fare è considerare ancora la funzione precedente $F(t)=t\log(t)$: abbiamo già visto che su tutti i punti dell'iperbole $xy=1/e$ si ha un minimo, che bisogna stabilire di che tipo sia. Per prima cosa, osserva che
$$\lim_{t\to 0^+} F(t)=0$$
mentre $F(1/e)=-1/e$. Ora, osserva che $0
e quindi l'unica soluzione $y=\sqrt{2},\ x=2/\sqrt{2}=\sqrt{2}$
Cosa possiamo dedurre? Man mano che la $t$ aumenta, le iperboli si allontanano dall'origine e mantengono due punti di intersezione con il bordo di $E$ fino al valore $t=2$. Ma la funzione $F$ decresce da zero (per $t=0$) fino a $t=1/e$ e poi cresce: pertanto i punti della iperbole $xy=1/e$ sono tutti di minimo assoluto, mentre il punto $A(\sqrt{2},\sqrt{2})$ è di massimo assoluto (e la funzione vale $F(2)=2\log 2$).
Spero sia chiaro.
P.S.: potresti trovare esplicitamente le coordinate dei punti sul bordo di $E$ corrispondenti all'iperbole $xy=1/e$ mettendo questa equazione a sistema con $x^2+y^2=4$.
Se vuoi usare il cambio di variabile, dovresti trasformare anche $x^2+y^2$ (cosa che non fai) e per usare il metodo dei moltiplicatori, devi studiare tutta la funzione, senza dividerla in due pezzi!
Le derivate della funzione $L$ sono
$$L_x=y\log(xy)+y-2\lambda x=0,\qquad L_y=x\log(xy)+x-2\lambda y=0,\qquad x^2+y^2-4=0$$
Ora, come puoi vedere da te, mettersi a risolvere questo sistema non è proprio semplicissimo, per cui conviene procedere in un altro modo.
La cosa migliore da fare è considerare ancora la funzione precedente $F(t)=t\log(t)$: abbiamo già visto che su tutti i punti dell'iperbole $xy=1/e$ si ha un minimo, che bisogna stabilire di che tipo sia. Per prima cosa, osserva che
$$\lim_{t\to 0^+} F(t)=0$$
mentre $F(1/e)=-1/e$. Ora, osserva che $0
e quindi l'unica soluzione $y=\sqrt{2},\ x=2/\sqrt{2}=\sqrt{2}$
Cosa possiamo dedurre? Man mano che la $t$ aumenta, le iperboli si allontanano dall'origine e mantengono due punti di intersezione con il bordo di $E$ fino al valore $t=2$. Ma la funzione $F$ decresce da zero (per $t=0$) fino a $t=1/e$ e poi cresce: pertanto i punti della iperbole $xy=1/e$ sono tutti di minimo assoluto, mentre il punto $A(\sqrt{2},\sqrt{2})$ è di massimo assoluto (e la funzione vale $F(2)=2\log 2$).
Spero sia chiaro.
P.S.: potresti trovare esplicitamente le coordinate dei punti sul bordo di $E$ corrispondenti all'iperbole $xy=1/e$ mettendo questa equazione a sistema con $x^2+y^2=4$.
NOTA: Il simbolo di derivata parziale è "partial" o "del" in ASCIIMathML:
\$ partial x = del x\$ produce $ partial x = del x$
(In LaTeX si scrive \partial.)
\$ partial x = del x\$ produce $ partial x = del x$
(In LaTeX si scrive \partial.)
Ciao ciampax,
scusami ma avrei alcuni dubbi..
dall'osservazione del limite cosa deduciamo?
cosa vuol dire che le iperbole hanno intersezione non vuota..
scusami ma non mi è molto chiaro.
se mi puoi aiutare.
grazie.
scusami ma avrei alcuni dubbi..
dall'osservazione del limite cosa deduciamo?
cosa vuol dire che le iperbole hanno intersezione non vuota..
scusami ma non mi è molto chiaro.
se mi puoi aiutare.
grazie.
Dal limite deduci che la funzione non va mai ad infinito sul tuo dominio, quindi i massimi e minimi presenti sono assoluti (quelli con valore più grande in modulo) oppure relativi.
Intersezione non vuota significa che c'è almeno un punto di intersezione tra le iperboli e la circonferenza (il bordo di $E$)...
Ora, io non vorrei sembrare antipatico (adesso intervengono TeM, dissonance, Gugo e Luca.Lussardi a dire che sono "s...o" in effetti) ma a me non pare che tu stia messo/a proprio bene, visto che mi sembra ci siano concetti di base e molto elementari che ti sfuggono. Già l'approccio allo studio di questa funzione non mi pare ti sia ben chiaro (anche quello che avevi fatto tu) e sebbene questa non sia una delle funzioni più meccaniche (effettivamente ci si deve ragionare un po' cercando degli escamotage per semplificare il ragionamento) a me pare che ti manchino proprio alcuni concetti (tipo i passi fondamentali e i metodi da usare per uno studio di funzione).
Ricorda che i metodi di Analisi in una variabile possono essere usati ampiamente in questi casi e, anzi, sarebbe la cosa migliore da fare come hai potuto vedere.
E la cosa che mi lascia più stranito è che tu mi abbia posto proprio quelle due domande, senza invece andare a riflettere sul perché usare la funzione $F(t)$ sia cosa buona e giusta in questo caso...
Intersezione non vuota significa che c'è almeno un punto di intersezione tra le iperboli e la circonferenza (il bordo di $E$)...
Ora, io non vorrei sembrare antipatico (adesso intervengono TeM, dissonance, Gugo e Luca.Lussardi a dire che sono "s...o" in effetti) ma a me non pare che tu stia messo/a proprio bene, visto che mi sembra ci siano concetti di base e molto elementari che ti sfuggono. Già l'approccio allo studio di questa funzione non mi pare ti sia ben chiaro (anche quello che avevi fatto tu) e sebbene questa non sia una delle funzioni più meccaniche (effettivamente ci si deve ragionare un po' cercando degli escamotage per semplificare il ragionamento) a me pare che ti manchino proprio alcuni concetti (tipo i passi fondamentali e i metodi da usare per uno studio di funzione).
Ricorda che i metodi di Analisi in una variabile possono essere usati ampiamente in questi casi e, anzi, sarebbe la cosa migliore da fare come hai potuto vedere.
E la cosa che mi lascia più stranito è che tu mi abbia posto proprio quelle due domande, senza invece andare a riflettere sul perché usare la funzione $F(t)$ sia cosa buona e giusta in questo caso...
Ciao ciampax,
scusami se ti faccio passare per "s..o", ma non é nelle mie intenzioni.
in effetti a me non era chiaro tutto il ragionamento.
scusami ancora.
scusami se ti faccio passare per "s..o", ma non é nelle mie intenzioni.
in effetti a me non era chiaro tutto il ragionamento.
scusami ancora.
Ok, allora andiamo con ordine. Cosa non ti è chiaro?
allora
il metodo della sostituzione, mi è chiaro, non capisco il fatto dell'utilizzo del tuo metodo e come utilizzarlo sul bordo dell'insieme.
il metodo della sostituzione, mi è chiaro, non capisco il fatto dell'utilizzo del tuo metodo e come utilizzarlo sul bordo dell'insieme.
[ot]
Non mi pare. Eri molto più stronzo prima. Con l'età stai diventando un bonaccione.
[/ot]
"ciampax":
Ora, io non vorrei sembrare antipatico (adesso intervengono TeM, dissonance, Gugo e Luca.Lussardi a dire che sono "s...o"
Non mi pare. Eri molto più stronzo prima. Con l'età stai diventando un bonaccione.
[/ot]
"dissonance":
[ot][quote="ciampax"]
Ora, io non vorrei sembrare antipatico (adesso intervengono TeM, dissonance, Gugo e Luca.Lussardi a dire che sono "s...o"
Non mi pare. Eri molto più stronzo prima. Con l'età stai diventando un bonaccione.
[/ot][/quote]Colpa dei miei studenti, secondo me. E della vecchiaia, vecchiezza, vecchitudine...
"alere":
allora
il metodo della sostituzione, mi è chiaro, non capisco il fatto dell'utilizzo del tuo metodo e come utilizzarlo sul bordo dell'insieme.
Qui ci vuole il metodo feynman
spiega con le tue parole, nel modo più semplice possibile cosa hai capito di questa funzione
a me viene bene immaginare le funzioni in due variabili attraverso le curve di livello, ma questo dipende dalla mia formazione.
ciao,
della funzione ho capito veramente poco.
ma credo che qui nessuno sia più disposto ad aiutarmi.
della funzione ho capito veramente poco.
ma credo che qui nessuno sia più disposto ad aiutarmi.
"alere":
ciao,
della funzione ho capito veramente poco.
già
"alere":
ma credo che qui nessuno sia più disposto ad aiutarmi.
farti completamente l'esercizio NON è aiutarti
cerca piuttosto di individuare dove iniziano le tue difficoltà e parti da lì, ma è necessario uno sforzo da parte tua.
tu hai ragione io non voglio che mi facciate l'esercizio completamente.
le mie difficoltà mi sembra che le ho già espresse ma non ho ricevuto nessun chiarimento.
da parte mia ci sto mettendo tutta la volontà per capire l'esercizio ma non riesco proprio.
le mie difficoltà mi sembra che le ho già espresse ma non ho ricevuto nessun chiarimento.
da parte mia ci sto mettendo tutta la volontà per capire l'esercizio ma non riesco proprio.
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