Minimi e massimi vincolati funzione logaritmo
Ciao, avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio:
Studiare massimi e minimi nell'insieme $E={(x,y,)| x^2+y^2<=4}$
della funzione:
$f(x,y)= xylogy+xylogx$
Allora ho calcolato il dominio che è:
$D={(x,y)| x>0 , y >0}$
Cerco i punti di estremo interni a E. ossia in:
int (E)=${(x,y,)| x^2+y^2<4}$
calcolando i punti critici ottengo che:
$\frac{\delta }{\delta x}f(x,y)=y(lnx+ly+1)$
e
$\frac{\delta }{\delta y}f(x,y)=x(lnx+ly+1)$
eguagliando il gradiente a zero:
${ (y(lnx+ly+1)),(x(lnx+ly+1)):}$
da cui:
${ (x=0),(y=0):}$
da scartare poichè di frontiera, e rimane:
$lnx+ly+1=0$$\rightarrow $ $xy=\frac{1}{e}$
mi sono bloccato qui.
non riesco a proseguire.
se mi potete aiutare.
grazie.
Studiare massimi e minimi nell'insieme $E={(x,y,)| x^2+y^2<=4}$
della funzione:
$f(x,y)= xylogy+xylogx$
Allora ho calcolato il dominio che è:
$D={(x,y)| x>0 , y >0}$
Cerco i punti di estremo interni a E. ossia in:
int (E)=${(x,y,)| x^2+y^2<4}$
calcolando i punti critici ottengo che:
$\frac{\delta }{\delta x}f(x,y)=y(lnx+ly+1)$
e
$\frac{\delta }{\delta y}f(x,y)=x(lnx+ly+1)$
eguagliando il gradiente a zero:
${ (y(lnx+ly+1)),(x(lnx+ly+1)):}$
da cui:
${ (x=0),(y=0):}$
da scartare poichè di frontiera, e rimane:
$lnx+ly+1=0$$\rightarrow $ $xy=\frac{1}{e}$
mi sono bloccato qui.
non riesco a proseguire.
se mi potete aiutare.
grazie.
Risposte
ciao alere
non disperare, magari si riesce a tirar fuori qualcosa.
Non sono d'accordo, secondo me te ne sono stati dati troppi.
Ora ti annoierò un po', ma è agosto: possiamo perderci un po' in chiacchiere
La matematica non è per niente difficile, basta non saltare i pezzi. Tu sai fare alcune cose, ma te ne mancano altre che dovrebbero venire prima, tutto qui. Si tratta di capire cosa ti manca.
Nella nostra funzione il trucco era guardare cosa succede quando il prodotto $x*y=costante$, in quel caso il valore z sarà?
(prova a rispondere)
come si rappresenta sul piano il prodotto costante di 2 variabili?
E' un'iperbole equilatera (programma di II media, ma ti assicuro non ti sto giudicando), le curve di livello della nostra funzione sono dunque delle iperboli equilatere, una in particolare rappresenta il minimo della nostra funzione $xy=1/e$
Ora il problema è trovare il massimo, idee?
Adesso il pistolotto, [size=70]che puoi anche saltare[/size]
non disperare, magari si riesce a tirar fuori qualcosa.
"alere":
ma non ho ricevuto nessun chiarimento.
Non sono d'accordo, secondo me te ne sono stati dati troppi.
Ora ti annoierò un po', ma è agosto: possiamo perderci un po' in chiacchiere
La matematica non è per niente difficile, basta non saltare i pezzi. Tu sai fare alcune cose, ma te ne mancano altre che dovrebbero venire prima, tutto qui. Si tratta di capire cosa ti manca.
Nella nostra funzione il trucco era guardare cosa succede quando il prodotto $x*y=costante$, in quel caso il valore z sarà?
(prova a rispondere)
come si rappresenta sul piano il prodotto costante di 2 variabili?
E' un'iperbole equilatera (programma di II media, ma ti assicuro non ti sto giudicando), le curve di livello della nostra funzione sono dunque delle iperboli equilatere, una in particolare rappresenta il minimo della nostra funzione $xy=1/e$
Ora il problema è trovare il massimo, idee?
Adesso il pistolotto, [size=70]che puoi anche saltare[/size]
@gio73: 
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